于嘉帥
對于求復合圖形的陰影面積問題,在無法直接應用公式進行計算時,可采用運動的觀點,將圖形的某個部位進行平移、旋轉、翻折,就有可能將陰影圖形轉化為可求解的規(guī)則圖形的組合,使解題過程簡單明了.
一、平移
例1 如圖1,矩形內有兩個相鄰的正方形,面積分別為4和2,那么陰影部分的面積為多少?
解析:將圖1中下部分陰影圖形向上平移,得到圖2,則所求陰影面積為矩形面積減去兩個正方形的面積.
易知[AE=2,EB=BC=2],所以[S陰影=(2+2)×2-2-4=22-2].
反思:本題巧妙之處在于通過平移得到[S陰影=S矩形-S大正方形-S小正方形].
二、旋轉
例2 已知:如圖3,矩形[ABCD]中,[AB=CD=a,AD=BC=2a],以[O]為圓心的半圓分別與矩形的[AB,AD,CD]邊交于[B,E,C]三點.求陰影部分的面積.
解析:將圖3中的[△DFE]繞點[F]按順時針(或逆時針)方向旋轉[180°],得到圖4.很顯然,[S陰影=S四分之一圓=πa24].
反思:本題利用旋轉變換將圖形進行補形,使陰影部分的面積化為四分之一圓的面積. 這種利用旋轉變換求解的方法可以使問題迎刃而解.
三、翻折
例3 如圖5,正方形[OCDE]內接于扇形,過點[A]作[AF⊥EF],交[ED]的延長線于[F],垂足為[F],如果正方形的邊長為1,那么陰影部分的面積為多少?
解析:如圖6,連接[OD],觀察發(fā)現(xiàn)區(qū)域Ⅰ與區(qū)域Ⅱ關于直線[OD]成軸對稱,所以只要把區(qū)域Ⅰ沿直線[OD]翻折到區(qū)域Ⅱ,求陰影部分的面積就轉化為求矩形[ACDF]的面積.
[∵OC=1,∴OD=OA=2],
[∴S陰影=S矩形ACDF=AC·DC] [=(2-1)×1=2-1].
反思:求組合圖形的面積,要注意觀察圖形的結構,通常應用割補法將其化歸為幾個規(guī)則圖形面積的和差.本題借助軸對稱,利用翻折變換將不規(guī)則圖形化為矩形求解.
上述三種常用圖形變換求解不規(guī)則圖形陰影面積的關鍵是通過平移、旋轉、翻折變換,將不規(guī)則圖形轉化為基本圖形后求解. 只要我們熟悉并掌握了上述三種移動靜止圖形的方法,就能化繁為簡,輕松獲解.
如圖7,在矩形[ABCD]中,橫向陰影部分是矩形,另一陰影部分是平行四邊形.根據(jù)圖中標注的數(shù)據(jù),計算圖中空白部分的面積為 .
提示:將圖7中陰影部分向左或向上平移至圖8所示位置.由于移動前后陰影部分對應的底、高均未變化,故面積未變,而陰影面積卻變?yōu)榇缶匦稳サ魞蓚€小矩形了,空白部分也為矩形,其面積為[S空白部分=(a-c)·(b-c)=ab-ac-bc+c2].