摘要：接觸式輪廓儀在接觸測量時，探針存在沾污、缺陷、掃描位置不準(zhǔn)等問題，降低了工件輪廓曲線的測量精度。為此，運用閾值思想zli -（kli xi+ bli）≥δi 求解輪廓曲線的重要參數(shù)，采用Matlab插值法對數(shù)據(jù)進行歸一化處理。通過研究得到的各項參數(shù)值及完整輪廓線表明，數(shù)學(xué)建模方法針對掃描探針、物品位置等問題所造成的誤差能夠進行較好的修正。

關(guān)鍵詞：輪廓儀;擬合;閾值;插值;旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)

中圖分類號：O29

文獻標(biāo)志碼：A

收稿日期：2021-01-08

基金項目：

國家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號：51774008;51974007;51874002）資助，安徽省自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號：KJ2018A0715）資助。

通信作者：

馮英華，女，副教授，主要研究方向為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。E-mail：278894811@qq.com

接觸式輪廓儀作為一種精密的測量儀器，用于測量工件的表面幾何形狀，工作原理是觸針滑過工件表面時，獲得其輪廓參數(shù)，便于測量如溝、孔、槽等復(fù)雜的工件表面，所以在制造業(yè)中得到廣泛的應(yīng)用。輪廓的理想曲線應(yīng)該是光滑的，但在實際工作中，由于存在探針沾污、探針缺陷、掃描位置不準(zhǔn)等問題，檢測到的輪廓曲線呈現(xiàn)出粗糙不平的情況，使得測量結(jié)果產(chǎn)生誤差[1-3]。近年來，在對接觸式輪廓儀的標(biāo)注問題中，國內(nèi)外學(xué)者做了很多研究，主要表現(xiàn)為建立數(shù)學(xué)模型和回歸分析[4-6]：高瑞翔[7]利用余弦誤差分析了其校準(zhǔn)結(jié)果的影響程度以及其影響趨勢。賈寧[8]在非球面斜率測量誤差的基礎(chǔ)上建立一種補償模型。一些學(xué)者從準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性等方面進行了研究，并提出不同的解決方法，王旭剛等[9]使用輪廓儀測量雙半內(nèi)圈溝曲率的新方法，解決了輪廓儀測量雙半內(nèi)圈溝道曲率時，測量準(zhǔn)確率低和重復(fù)性不好的問題。韓志國等[10]利用在偏移量為-150～150μm內(nèi)探針判斷出輪廓儀存在探針缺陷和掃描位置不準(zhǔn)的問題。Whitehouse[11]在觸針掃描系統(tǒng)上建立數(shù)學(xué)模型通過蟻群算法補償測量誤差。Forbes[12-14]提出了一種非球面Q-type函數(shù)多項式數(shù)學(xué)表征形式的檢測方法。Indrasis等[15]利用光學(xué)表面輪廓儀在不銹鋼微型通道上進行了表面形貌測量，分析了表面粗糙度對局部和全局無量綱性能參數(shù)的影響。綜上，關(guān)于接觸式輪廓儀檢測工件輪廓線的誤差分析、準(zhǔn)確性等理論的研究已經(jīng)比較深入，但是結(jié)合待測體的輪廓變化特點，對工件的輪廓線轉(zhuǎn)折角度和轉(zhuǎn)折點的研究比較少。因此，本文運用閾值思想，利用Matlab插值法和回歸分析法求解工件的輪廓曲線，并從歸一化的角度來解決數(shù)據(jù)不穩(wěn)定的特點，進而得出各項參數(shù)值并作出工件局部以及完整的輪廓曲線，為工件輪廓線的標(biāo)注問題提供更多可參考的方法。

1 工件水平放置下輪廓曲線的求解

1.1 求解l1所在的直線方程

先做出l1的局部圖，假設(shè)此段部分可以近似看成水平線段，取其極差近似值0.01，均值近似值-1.77，且假設(shè)在范圍 （-1.775， -1.765）之間都可視為l1的部分。

求解第一個轉(zhuǎn)折點A1的坐標(biāo)，根據(jù)假設(shè)，利用Excel計算各測量數(shù)據(jù)的縱坐標(biāo)zli與均值-1.77的差值是否在-0.005，0.005的范圍內(nèi)

-0.005≤zli--1.77≤0.005（1）

因此 A1點坐標(biāo)記為49.775 38，-1.77。l1的方程記為：y=-1.77，46.596≤x≤49.766。

1.2 轉(zhuǎn)折點坐標(biāo)的求解

計算所有點坐標(biāo)中滿足-0.005≤zli--1.77≤0.005的點，并求出所有測量點中在此區(qū)間上點的個數(shù)為93 798，占比為24.42%，因此我們不妨假設(shè)其他所有水平線段均在l1所在的直線上，再利用式（1）以及Excel的篩選功能，類似計算A1的方法，計算各轉(zhuǎn)折點Aii=1，…，15的橫坐標(biāo)，見表1。

1.3 各槽口寬度及水平線段長度求解

由于各轉(zhuǎn)折點處于同一條水平線上，槽口寬度及水平線段長度等于橫坐標(biāo)的差，見表2。

2 工件傾斜放置下輪廓曲線的求解

2.1 利用旋轉(zhuǎn)后點的坐標(biāo)公式

旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)公式為

x1y1=cosθsinθ-sinθcosθxy（2）

將原坐標(biāo)（xdi，zdi）進行旋轉(zhuǎn)水平化，得到校正后輪廓線的坐標(biāo)并且繪制輪廓線，并和工件旋轉(zhuǎn)前以及水平放置的曲線進行作對比。如圖1所示。

求出水平位移誤差Δ=（0.99xd1-0.128 7zd1）-xl1=1.518 808，并利用輪廓線修正后的坐標(biāo)值求解各項參數(shù)。

2.2 工件傾斜角度的求解

根據(jù)水平線段均在同一水平直線上可知，傾斜后的也應(yīng)在同一直線上，利用（xdi，zdi）作出散點圖，從圖上先粗略取值ldi各中點坐標(biāo)（di，di）如表3所示，用這些點的坐標(biāo)并且利用Excel擬合出ld所在的直線方程y=-0.129 8x+7.736 4。傾斜角為θ=π-arctan 0.129 8=172.6°。

2.3 工件完整輪廓線的求解

利用式（2）曲線旋轉(zhuǎn)的求解方法得到傾斜圖形校正后的曲線（用Ωi表示），其中Ω1∈[30.04，45.90]，Ω2∈[30.25，45.999]，Ω3∈[35.764，50.9]，Ω4∈[37.72，51.362]。Ω1和Ω3水平方向距離為4.42，豎直方向距離為1.54，Ω1和Ω4水平方向距離為4.9，豎直方向距離為3.94，將Ω3和Ω4沿水平和豎直方向向Ω1靠近直至重合，取水平坐標(biāo)的并集，作出輪廓線，利用2.2的方法求解各參數(shù)值如表4所示。

3 測量數(shù)據(jù)優(yōu)化修正處理

3.1 關(guān)于圓的測量

關(guān)于圓的測量根據(jù)圖像顯示，去除重合部分，將9組坐標(biāo)簡化為3組，得到這3條輪廓曲線橫坐標(biāo)的交集[34.61，46.92]，由于9次測量每次取點約為6萬個，因此等距取6萬個點，并對3組曲線使用Matlab分別進插行值sji，i=1，…，80 000，j=1，2，3，令ri，13∑3j=1zji為歸一化后的坐標(biāo)，得到歸一化后的曲線，接下來利用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式獲得水平坐標(biāo)。利用2.2的求解方法得到旋轉(zhuǎn)角度arctan 0.158 9，將其旋轉(zhuǎn)后得到歸一化半圓曲線的圖像，利用2.3相同的求解方法求解各參數(shù)值如表5所示。半圓歸一化修正后的曲線如圖2所示。

3.2 關(guān)于角度的測量

關(guān)于角度的測量根據(jù)圖像顯示，去除重合部分，將9組坐標(biāo)簡化為2組，取這2組的數(shù)據(jù)，得到這2條輪廓曲線橫坐標(biāo)的交集[34.53，47.91]，由于9次測量每次取點約為4萬個，因此等距提取4萬個點，并對這2組曲線使用Matlab分別進插行值sji，i=1，…，800 00，j=1，2，令ri，12∑2j=1zji為歸一化后的坐標(biāo)，得到歸一化后的曲線，求解k=-5.7，θ=π-arctan k=100.3°。歸一化曲線如圖3所示。

4 結(jié)論

通過對接觸式輪廓儀測量數(shù)據(jù)的繪圖和分析，利用閾值的思想篩選直線上的點，求解圓弧轉(zhuǎn)折點的坐標(biāo)。對于由測量物件擺放位置造成的誤差，利用旋轉(zhuǎn)后點的坐標(biāo)公式和回歸分析對誤差進行修正，得到輪廓線的各項參數(shù)值。最后，利用插值法將多次測量的數(shù)據(jù)進行歸一化處理，提高了工件的測量精度和穩(wěn)定性。本文在求解關(guān)鍵點時運用了回歸分析的方法，計算量較大，如果采用數(shù)據(jù)平滑理論進行求解，可視化效果和計算效率會進一步提高。

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Application of Mathematical Modeling in Contour Marking

FENG Ying-hua

（School of Public Education， Huainan Union University， Huainan 232001， China）

Abstract：

The measurement of the contour curve of the workpiece is not accurate because of the problems caused by contamination， defect and inaccurate scanning position when measured by the contact profilometer. Thus， threshold idea is used to get the important parameters of the contour curve， and the data is normalized by the Matlab interpolation. It is shown that the errors caused by scanning probe and object position could be corrected through the mathematical modeling method.

Keywords：

contourgraph; fitting; threshold; interpolation; rotational coordinates