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      因式分解的常用方法

      2021-09-10 07:22:44朱菊香
      關(guān)鍵詞:最大公約數(shù)公因式因式

      朱菊香

      分解因式即把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式.它與整式乘法是互逆的關(guān)系,是代數(shù)中不可或缺的恒等變形方法,也是解答代數(shù)問(wèn)題的有力工具.因式分解的方法有很多,同學(xué)們可根據(jù)多項(xiàng)式的具體結(jié)構(gòu)特征靈活選擇.現(xiàn)將因式分解的幾種常用方法舉例說(shuō)明.

      方法一:提取公因式法

      提取公因式法是指通過(guò)提取多項(xiàng)式中的公因式達(dá)到因式分解的目的,是因式分解最為常用的方法之一.在運(yùn)用提取公因式法分解因式時(shí),同學(xué)們要把握如下幾點(diǎn):1.所提取的公因式應(yīng)一次提全、提凈,各項(xiàng)不可再出現(xiàn)公因式.因此,在提取時(shí)要注意“三取”:一是取“大”,即各項(xiàng)系數(shù)均為整數(shù)時(shí),公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的最大公約數(shù);二是取“同”,即取多項(xiàng)式中各項(xiàng)相同的字母;三是取“低”,即取多項(xiàng)式中相同字母的最低次冪.2.若多項(xiàng)式的某一項(xiàng)與公因式相同,切記不能遺漏常數(shù)項(xiàng)“1”.3.若首項(xiàng)為負(fù),應(yīng)提取負(fù)號(hào),使括號(hào)內(nèi)的首項(xiàng)系數(shù)為正,此時(shí)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都應(yīng)注意變號(hào).

      例1 因式分解:①8abc-12abcd+16abc;

      ②-6xy(a-b)-9xy(a-b)-3xy(a-b).

      解析:①仔細(xì)觀察多項(xiàng)式,8、|-12|、16的最大公約數(shù)為4,所以公因式的系數(shù)是4.a、b、c這三個(gè)相同字母最低次冪分別為a、b、c,故提取的公因式是4abc.②此多項(xiàng)式中的首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù),需要先提取“-”號(hào),括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)則變?yōu)閇6xy (a-b)+ 9xy (a-b)+3xy (a-b)].6、|-9|、|-3|最大公約數(shù)是3,所以公因式的系數(shù)為3.各項(xiàng)中相同字母x、y、(a-b)的最低次冪分別為x、y、(a-b),因而提取的公因式是-3xy(a-b).

      解:①8abc-12abcd+16abc=4abc(2bc-3ad+4bc)

      ②-6xy (a-b)-9xy(a-b)-3xy(a-b)=-3xy(a-b)(2x+3y+1)

      方法二:主元分解法

      主元分解法是一種反“客”為“主”的思維方法,也是破解因式分解問(wèn)題的有效策略.它是指在分解因式時(shí),選擇其中某個(gè)變?cè)獮橹饕?,視其他變?cè)獮槌A?,然后將原式重新整理成關(guān)于主要元素按降冪排列的多項(xiàng)式,這樣就能排除字母的干擾,簡(jiǎn)化問(wèn)題的結(jié)構(gòu).在進(jìn)行因式分解時(shí),同學(xué)們?nèi)舭l(fā)現(xiàn)對(duì)多項(xiàng)式直接分解存在很大難度時(shí),要克服思維定勢(shì),反其道而行,變“客”為“主”,使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化難為易.

      例2? 分解因式:①p-4p+(4-2q)p+4qp+q-9;

      ②a+(1-2b)a+ (b-2b-1)a+b-1

      解析:①該多項(xiàng)式是一個(gè)關(guān)于p的四次多項(xiàng)式,直接分解難度較大.借助主元分解法,把次數(shù)較低的字母q視為主元,這樣原式就可以變?yōu)殛P(guān)于q的二次多項(xiàng)式.②該多項(xiàng)式為二元三次多項(xiàng)式,直接分解比較棘手,若能利用主元法,把次數(shù)較低的字母b作為主元,那么原多項(xiàng)式就可以變?yōu)殛P(guān)于b的二次多項(xiàng)式,即可迅速解題.

      解:①p-4p+(4-2q)p+4qp+q-9=q-2(p-2p) q+ (p-4p+4p-9)

      =q-2(p-2p)q+[p(p-2)]-3

      = q-2(p-2p)q+( p-2p+3)(p-2p-3)

      =[q-(p-2p+3)][q-(p-2p-3)]

      = (p-2p-q+3)( p-2p-q-3).

      ②a+(1-2b)a+ (b-2b-1)a+b-1=(a+1)b-(2a+2a)b+(a+a-a-1)

      =(a+1)b-2a(a+1)b+(a+1)(a-1)

      =(a+1){b-[(a+1)(a-1)]b+(a+1)(a-1)}

      =(a+1)(a-b-1)(a-b+1).

      方法三:分組分解法

      分組分解法是指根據(jù)多項(xiàng)式的具體特征,有目的地將多項(xiàng)式的某些項(xiàng)組成一組,從局部考慮,使每組能夠分解,從而達(dá)到對(duì)整個(gè)多項(xiàng)式因式分解的目的.在分組時(shí),要有預(yù)見(jiàn)性,要統(tǒng)籌思考,常用思路一般有按系數(shù)分組、按公因式分組、按次數(shù)分組、按公式分組、按主元分組以及拆(添)項(xiàng)后分組等.

      例3 分解因式:①a+a+2a+2;②4xy-x+8yz-z;③9m-12mn+4n-25

      解析:①此多項(xiàng)式中的第一、三兩項(xiàng),第二、四兩項(xiàng)的系數(shù)之比都是,因此,可以按照系數(shù)分組分解因式. ②該多項(xiàng)式中的第一、三項(xiàng)存在公因式,不妨按照公因式分組因式. ③此多項(xiàng)式中第一項(xiàng)、第三項(xiàng)次數(shù)相同,對(duì)此可以按照次數(shù)分組分解因式.

      解:①原式=(a+2a)+(a+2)=a(a+2)+ (a+2)=(a+2)(a+1).

      ②原式=(4xy-+8yz)-(x-z)=4y(x+z)-(x+z)=(4y-1)(x+z).

      ③原式=(9m-12mn+4n)-25=(3m-2n)-5=(3m-2n+5)( 3m-2n-5).

      方法四:配方法

      對(duì)于形如x+2ax+a的二次三項(xiàng)式,可以用公式法將它分解成(x+a)的形式,但對(duì)于二次三項(xiàng)式x+2ax-3a就不能直接運(yùn)用公式了.此時(shí),我們可以先適當(dāng)添加一項(xiàng),使式子構(gòu)成完全平方式,再減去這個(gè)項(xiàng),使整個(gè)式子的值不變,這種方法就被稱(chēng)為“配方法”.應(yīng)用配方法進(jìn)行因式分解,常常將多項(xiàng)式配成A- B的形式,使多項(xiàng)式可用平方差公式分解為(A+B)(A-B)的形式.

      因式分解是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容,在代數(shù)的恒等變形、分式運(yùn)算、根式運(yùn)算、解方程等方面有著廣泛的應(yīng)用.因式分解的方法除了上面列舉的四種,還有很多,包括十字相乘法、待定系數(shù)法、換元法、求根公式法等.同學(xué)們要掌握好因式分解的方法,并注意靈活運(yùn)用.

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