【摘 要】逆向思維是思維能力的重要組成部分，培養(yǎng)思維能力要重視逆向思維的應(yīng)用與發(fā)展。通過逆向思維在教學(xué)中的應(yīng)用可以很好地提高學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解認(rèn)知，通過逆向思維在推理、證明中的應(yīng)用實現(xiàn)對數(shù)學(xué)思路的拓寬、分析能力的提升。有效地運(yùn)用逆向思維，不僅有助于學(xué)生快速扎實的掌握數(shù)學(xué)公理、定理、公式、法則，同時也能夠幫助學(xué)生提高解題效率，化解初中數(shù)學(xué)的幾何問題。

【關(guān)鍵詞】逆向思維;思維能力;分析能力;初中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，逆向思維是思維能力的重要組成部分，培養(yǎng)思維能力要重視逆向思維的應(yīng)用與發(fā)展。應(yīng)用逆向思維就是改變原有的思維模式，在解題時一旦順向思維受阻，則大膽嘗試以問題的反方面作為切入點(diǎn)，對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行反方向的嚴(yán)密分析和解釋，從而實現(xiàn)思考、分析方式的逆向。掌握逆向的思考、分析方式，是提高思維能力的重要途徑，通過逆向思維的應(yīng)用可以很好地提高學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解認(rèn)知，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思路的拓寬、分析能力的提升，從而在解題缺乏靈感時有助于突破瓶頸，找到解題的辦法。

一、逆向思維在教學(xué)中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)中的很多知識都具有可逆性，例如數(shù)學(xué)公理、定理、公式、法則等命題都存在逆命題，分析逆命題往往能挖掘題中的隱含條件，使一些問題迎刃而解。

（一）作為公理的數(shù)學(xué)命題，學(xué)生可以根據(jù)事物性質(zhì)運(yùn)用公理判定是否成立;而逆向思考則根據(jù)公理推出事物具有哪些性質(zhì)。比如平行線的判定公理“同位角相等，兩直線平行”，根據(jù)平行線定義，當(dāng)這兩條直線被第三條直線所截，形成的同位角相等是兩直線平行的充分條件;其逆命題“兩直線平行，同位角相等”則是平行線的性質(zhì)公理，是根據(jù)兩直線平行的條件推導(dǎo)出來的數(shù)量關(guān)系，在解題時要教會學(xué)生根據(jù)題設(shè)和結(jié)論作出正確地選擇。

（二）對于定理而言，并非所有定理的逆命題都是正確的。比如“對頂角相等”成立，但“相等的角是對頂角”不成立;勾股定理成立，而其逆定理也成立。所以，引導(dǎo)學(xué)生判斷定理逆命題的真假性，把題設(shè)和結(jié)論在一定條件下進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這樣有助于更好地理解定理各量的內(nèi)在關(guān)系。

（三）逆用公式可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、變通性，可有效地突破思維定勢，順利地解決問題。七年級學(xué)習(xí)的平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差（a+b）（a-b）=a2-b2，反過來得到的就是多項式的因式分解。從而在“已知n是整數(shù)，證明：（2n+1）2-1能被8整除?！蹦嬗闷椒讲罟竭M(jìn)行因式分解，最終化簡得到4n（n+1），再利用整數(shù)性質(zhì)n和n+1必有一個數(shù)是偶數(shù)，得證這個整式能被8整除。

（四）有些問題需要正用法則求解，有些問題卻需要逆用法則才能解決。例如冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘積，代數(shù)表達(dá)式為：（am）n=amn（m、n為正整數(shù)）;積的乘方法則：把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，代數(shù)表達(dá)式為：（ab）n=anbn（n為正整數(shù)）。在解決問題“若a2n=25，b2n=16，則（ab）n=? ? ? ? ? ”，既需要逆用積的乘方法則，又需要逆用冪的乘方法則。

二、逆向思維在推理中的應(yīng)用

解決數(shù)學(xué)問題，常規(guī)的思考方法是從已知出發(fā)，由已知得結(jié)論，但有些數(shù)學(xué)問題的解決，靠常規(guī)方法很困難，用逆向思路讓人恍然大悟。有這樣一道題：“有四個相同的瓶子，怎樣擺放才能使其中任意兩個瓶口的距離都相等呢？”按照常規(guī)思維可能琢磨很久還找不到答案，那應(yīng)該怎么辦？原來，如果把4個瓶口當(dāng)作4個點(diǎn)，反過來想要使4點(diǎn)之間兩兩距離相等怎么辦，很容易想到這是正三棱錐的四個頂點(diǎn)?；氐筋}目即要把三個瓶子放在正三角形的頂點(diǎn)，將第四個瓶子倒過來放在三角形的中心位置，答案就出來了。把第四個瓶子“倒過來”，多么形象的逆向思維。

另外有些題目，如果按照常規(guī)思路來解答，順著條件一步一步地列出算式求解，過程比較繁瑣，甚至理不清楚頭緒。這時候不妨逆向思考，從所敘述應(yīng)用題或文字題的結(jié)果出發(fā)，利用已知條件一步一步倒著分析、推理，直到解決問題。如解答問題：“為了從500個外形相同的雞蛋中找到唯一一個雙黃蛋，檢查員將這些雞蛋按1-500編號排成一排，第一次先從中取出序號為單數(shù)的蛋，發(fā)現(xiàn)其中沒有雙黃蛋，他將剩下的蛋又按1-250編號（即原來的2號變?yōu)?號，原來的4號變成2號……原來的500號變成250號）。又從中取出新序號為單數(shù)的蛋進(jìn)行檢查，仍沒有發(fā)現(xiàn)雙黃蛋，如此下去……檢查到最后一個發(fā)現(xiàn)是雙黃蛋，問這只雙黃蛋最初的序號是多少？”這道題如果直接正面計算雙黃蛋的序號，序號繁多且容易出錯，但如果從剩下的蛋出發(fā)就可以輕松算出。第一次取出單號蛋，剩下的蛋的序號是2的倍數(shù)，因為原有500個蛋，所以還剩250個;第二次取出后，剩下的蛋的序號是4的倍數(shù)，且還剩125個;第三次取出后，剩下的蛋的序號是8的倍數(shù)，且還剩62個……由此計算得出，第八次取出后，剩下的蛋的序號是256的倍數(shù)，且只剩1個。所以這個雙黃蛋的序號就是256號。

三、逆向思維在證明中的應(yīng)用

逆向證明就是從問題的結(jié)論出發(fā)，由果導(dǎo)因，得出原命題成立。這主要是要求學(xué)生學(xué)會運(yùn)用分析法、反證法去解決和證明一些從正面難以推出結(jié)論的綜合性比較強(qiáng)的問題。

1.加強(qiáng)分析法教學(xué)

在數(shù)學(xué)證明中，按邏輯推理順序和要求來說，應(yīng)從題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)已知的定理和事實逐步推得要證明的結(jié)論。但在實際操作中，由已知的概念、定理和法則出發(fā)，可以推出的結(jié)論往往很多，要從中找到我們所需要的結(jié)論，往往很難，而且還容易誤入歧路。若從要證明的結(jié)論出發(fā)，往回追溯題設(shè)條件，一般情況下，都比較容易找到通往題設(shè)條件的途徑，再依此途徑反過來便可完成一個由條件到結(jié)論的證明。這種逆向思維方法就是分析法，該方法分析問題時要求學(xué)生養(yǎng)成“要證什么，需先證什么”的思維模式。

例如，在?ABC中，過C作∠BAC的平分線AD的垂線，垂足為D，DE∥AB交AC于E，求證AE=CE。

要證AE=CE，常規(guī)思路直接證明E是中點(diǎn)或者通過三角形全等使AE、CE作為對應(yīng)邊相等，但觀察圖形后發(fā)現(xiàn)缺少證明條件;要證得結(jié)論，可以嘗試讓AE、CE都等于第三邊，再利用等量代換判斷。通過∠BAC的平分線性質(zhì)和平行線DE、AB被第三線所截形成的內(nèi)錯角相等，可以判斷AE=DE，使得問題轉(zhuǎn)變成如何判斷DE=CE?？紤]到CD、AD互相垂直，分別延長AB、CD交于F點(diǎn)，通過三角形全等得到∠F、∠ACD對應(yīng)相等，再利用平行線的性質(zhì)，同位角∠F、∠CDE相等，由等角對等邊可得DE=CE。

2.加強(qiáng)反證法教學(xué)

反證法是一種假設(shè)結(jié)論的反面成立，在已知條件和“否定結(jié)論”這個新條件下，通過推理得出與題設(shè)、公理、定理矛盾的結(jié)論，從而斷定假設(shè)不成立，原命題的結(jié)論一定正確的證明方法。很多直接證明很困難的題目，用反證法可以得到很好的解決。適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反證法，既能提高解題的靈活性，又能培養(yǎng)思維的活躍性，促進(jìn)思維的發(fā)展。

例如，在?ABC中，∠BAD=60°，∠B=2∠C，BD=CD，求證：∠BAC=90°。

由于大家對直角三角形特性極其熟悉，看到題目中的描述和已知條件，直覺認(rèn)為所證結(jié)論是理所當(dāng)然的，面對這種憑直覺都覺得結(jié)論應(yīng)該成立的問題，反證法是最好方法。利用已知條件BD=CD，以BC為直徑作圓D，在圓上取一點(diǎn)A'（假設(shè)不與A點(diǎn)重合），并使∠A'BC = 60°，通過證明A與A'重合，從而說明∠BAC=90°。

逆向思維在初中數(shù)學(xué)階段教學(xué)的重要性非同一般。有效地運(yùn)用逆向思維，不僅有助于學(xué)生快速扎實地掌握數(shù)學(xué)公理、定理、公式、法則，同時也能夠幫助學(xué)生提高解題效率，化解初中數(shù)學(xué)的幾何問題。

【參考文獻(xiàn)】

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（責(zé)任編輯：周瑋凌）

深圳市龍華區(qū)行知中學(xué) 黃瑞金