基于核心素養(yǎng)的概念課教學(xué)

徐沖 陳春芳

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。近幾年模擬題、高考題越來(lái)越注重對(duì)數(shù)學(xué)概念的考察，而不僅僅專注于考察數(shù)學(xué)技巧。教授李邦何曾講過(guò)“數(shù)學(xué)基本上是一個(gè)玩弄概念的問(wèn)題，而不是深?yuàn)W的技能”。理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最基本的要求。概念看似簡(jiǎn)單，但其隱藏的深層次的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和背景需要教師帶著學(xué)生一點(diǎn)點(diǎn)去探究，在研究的過(guò)程中不斷領(lǐng)略其中的奧妙。對(duì)概念的深入理解也有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)對(duì)獲得后續(xù)數(shù)學(xué)新知識(shí)方面發(fā)揮著非常關(guān)鍵的作用。數(shù)學(xué)是塑造數(shù)學(xué)視野，數(shù)學(xué)思維的人。教師可以通過(guò)概念教學(xué)將學(xué)生培養(yǎng)成為一個(gè)“數(shù)學(xué)人”。本文以《任意角》為例，探究如何在概念課的教學(xué)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、教材分析

（一） 學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)班是省重點(diǎn)中學(xué)的高一普通班學(xué)生，孩子們都有良好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，勇于提出問(wèn)題，分析問(wèn)題和交流問(wèn)題。同學(xué)之間相互合作、討論的氛圍較為濃厚。在蘇教版必修一的課本中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念以及性質(zhì)，也學(xué)習(xí)了指、對(duì)、冪函數(shù)的圖像以及性質(zhì)，掌握了研究函數(shù)圖象和性質(zhì)的一般方法。學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)角的概念。本節(jié)課將在學(xué)生原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上推廣角的定義以及角的表示方法。同時(shí)學(xué)生還要構(gòu)建出本章的大致知識(shí)體系，為后續(xù)學(xué)習(xí)整章內(nèi)容建構(gòu)宏觀的認(rèn)知。

（二）教材分析

“任意角”是蘇教版必修四第一章的起始課。本章內(nèi)容的重點(diǎn)是三角函數(shù)。三角函數(shù)是繼指、對(duì)、冪函數(shù)之后的另一個(gè)基本函數(shù)，是描述客觀周期性變化的重要函數(shù)模型，在高中數(shù)學(xué)中的意義是非常重要的。本課作為三角函數(shù)章節(jié)的第一節(jié)課，其中蘊(yùn)含的各種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)值得我們慢慢體會(huì)。其中類比思想，數(shù)形結(jié)合思想在本課中有著重要的體現(xiàn)，數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也深蘊(yùn)其中。

（三）教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)生可以講出任意角的定義，能夠在平面內(nèi)建立相應(yīng)的坐標(biāo)系對(duì)角進(jìn)行分類并進(jìn)行討論;

2.學(xué)生可以于0°至360°之間，找到與已知角度的末端邊緣相同的角度，并確定它是哪個(gè)象限;

3.學(xué)生能寫出與任一已知角終邊相同的角的集合。

（四）教學(xué)重點(diǎn)

角的概念的推廣，終邊相同角的表示

（五）教學(xué)難點(diǎn)

任意角，正角，負(fù)角等概念的形成

二、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

問(wèn)題1 同學(xué)們，必修一這本書我們學(xué)習(xí)了哪些有關(guān)函數(shù)的知識(shí)？

生1：學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，表示，性質(zhì)。然后研究了指數(shù)，對(duì)數(shù)，冪函數(shù)模型。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生回顧以前學(xué)習(xí)的函數(shù)模型，以及研究函數(shù)的方法，為本章繼續(xù)研究三角函數(shù)做鋪墊。

問(wèn)題2 在以前的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)函數(shù)是用于描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。它可以用來(lái)描述我們生活中的一些現(xiàn)象。孩子們，我們生活中經(jīng)常會(huì)遇到周而復(fù)始，循環(huán)往復(fù)的現(xiàn)象。我們把按照一定規(guī)律，不斷重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象。那么同學(xué)們能不能列舉生活中周而復(fù)始，循環(huán)往復(fù)的現(xiàn)象呢？

生2：潮起潮落，日出日落。

師：這位同學(xué)回答的很好。其實(shí)在我們?nèi)粘Ｉ钪杏泻芏噙@樣的周期現(xiàn)象。地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的日變化和季節(jié)變化.我們物理里面的單擺運(yùn)動(dòng)，彈簧振子運(yùn)動(dòng)中物體的位移呈現(xiàn)周期性地變換，音叉發(fā)出的純音振動(dòng)，線圈在勻速磁場(chǎng)中按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)產(chǎn)生的交變電流等等物理現(xiàn)象均是周期現(xiàn)象，無(wú)錫太湖邊的摩天輪的運(yùn)動(dòng)也是周期現(xiàn)象。我們用什么函數(shù)模型來(lái)刻畫這種周期現(xiàn)象呢？那么我們必修一所學(xué)的指對(duì)冪函數(shù)模型能否刻畫這種周而復(fù)始的現(xiàn)象呢？本章將要學(xué)習(xí)的三角函數(shù)模型將會(huì)很好地刻畫這種周而復(fù)始的現(xiàn)象。這也是本章最重要的一個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)，今天我們?yōu)楹罄m(xù)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備工作。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生結(jié)合生活中的經(jīng)歷，回憶一些周期現(xiàn)象，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

這幾個(gè)物理中的周期現(xiàn)象是后面三角函數(shù)研究的重要模型，讓學(xué)生感受學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)性，深刻了解數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性。提出三角函數(shù)讓學(xué)生明白本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)，激發(fā)求知欲。

（二）意義建構(gòu)，形成概念

問(wèn)題3 同學(xué)們，今天我們就從大家都玩過(guò)的摩天輪開始我們的研究.我們看摩天輪，勻速圓周運(yùn)動(dòng)，一圈又一圈周期變化。在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中如果我想刻畫摩天輪上某一點(diǎn)P的位置，我們要怎么樣描繪它？下面請(qǐng)大家分組討論。

計(jì)劃目標(biāo)：這是一個(gè)團(tuán)隊(duì)合作完成，培養(yǎng)孩子們開放性思維的問(wèn)題。

生3：以摩天輪的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，摩天輪在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)p的坐標(biāo)在變，用相應(yīng)的坐標(biāo)刻畫點(diǎn)P的位置。

生4：以水平線為參照物，用角來(lái)刻畫點(diǎn)P位置。

生5：可以用弧長(zhǎng)來(lái)刻畫，以最低點(diǎn)為起始點(diǎn)，看點(diǎn)P與該點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)。

師：很好，同學(xué)們想法很多.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，最直觀的變化是角，那我們就先從角的觀點(diǎn)來(lái)刻畫點(diǎn)p的位置，我們通過(guò)旋轉(zhuǎn)的角度來(lái)確定點(diǎn)P的位置時(shí)有哪些困難？

生6：如果摩天輪旋轉(zhuǎn)超過(guò)一圈那么這個(gè)旋轉(zhuǎn)角不好表示。

師：這位同學(xué)提的問(wèn)題非常好，當(dāng)點(diǎn)P的位置旋轉(zhuǎn)超過(guò)一圈時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度就超過(guò)我們熟知的角的范圍 0°到360°了。其實(shí)，同學(xué)們?cè)谏钪杏袥](méi)有接觸過(guò)超過(guò)這個(gè)范圍的角呢？比方說(shuō)體操運(yùn)動(dòng)員旋轉(zhuǎn)?，F(xiàn)在讓我們回想一下中學(xué)角度的概念，具有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的兩條邊。同時(shí)初中教材還有這樣一句話：角可以看做一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形。也就是從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，角可以理解為旋轉(zhuǎn)而成的，平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形，所旋轉(zhuǎn)的射線的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，開始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊。從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)給角下定義，角的范圍就可以超過(guò) 可以取到任意正角。

問(wèn)題4 請(qǐng)同學(xué)們考慮下面兩個(gè)生活中的問(wèn)題，時(shí)鐘走快了15分鐘，應(yīng)如何旋轉(zhuǎn)分針。將瓶蓋旋轉(zhuǎn)30度，瓶蓋是變松了還是變緊了。

生7：將分針逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，瓶蓋松緊不確定，因?yàn)樾D(zhuǎn)方向不定。

師：那么既然旋轉(zhuǎn)方向不同，最后達(dá)到的效果不同，那么我們?nèi)绾伪硎静煌D(zhuǎn)方向的旋轉(zhuǎn)角呢？我們以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中有沒(méi)有遇到類似地情況。初中學(xué)習(xí)正負(fù)數(shù)時(shí)候，數(shù)值0右邊的對(duì)應(yīng)數(shù)值為正，數(shù)值0左邊的數(shù)值為負(fù)。我們可以類似地將旋轉(zhuǎn)方向相反的角定為正角和負(fù)角。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)生活中的具體例子，讓學(xué)生感受旋轉(zhuǎn)方向的重要性。學(xué)生類比初中正負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程，得出正負(fù)角的定義。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，類比的思想方法是學(xué)習(xí)新知識(shí)非常重要的方法。

生8：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)是正角度，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)是負(fù)角度。

師：這位同學(xué)回答的很好，當(dāng)然你們也可以嘗試規(guī)定順時(shí)針為正角，但規(guī)定逆時(shí)針為正也符合我們數(shù)學(xué)習(xí)慣，例如初中給平面直角坐標(biāo)系規(guī)定四個(gè)象限的時(shí)候，它們也分別是逆時(shí)針?lè)较虻牡谝?、第二、第三和第四象限。即使我們?nèi)粘Ｉ钪幸脖容^偏愛(ài)逆時(shí)針，水面的漩渦，賽跑時(shí)也是繞著逆時(shí)針跑，這個(gè)跟我們天文地理以及人本身的身體機(jī)能習(xí)慣有關(guān)。數(shù)學(xué)上這樣規(guī)定正角，負(fù)角在后面我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)會(huì)有更深刻的理解。實(shí)數(shù)有正負(fù)數(shù)和0，那么角度除了正角度、負(fù)角度，我們還知道應(yīng)該還有零角度。所以，規(guī)定若該線不旋轉(zhuǎn)，則將其視為零角度。截至目前，我們做了一件很重要的事，將0°到360°的角推廣到了任意角。

師：如果我們要確定一個(gè)任意角，要知道什么？

生9：旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)量

師：前面我介紹說(shuō)了本章主要是運(yùn)用三角函數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫周期現(xiàn)象。那么我們都知道研究函數(shù)一定離不開平面直角坐標(biāo)系。同學(xué)們，我們將剛剛推廣的任意角放在坐標(biāo)系中去研究，將角的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊與x軸正半軸重合，這樣對(duì)角的研究只需要研究角的終邊。角的終邊可以落在坐標(biāo)系的第一、二、三、四象限，我們將角的終邊落在哪個(gè)象限的角就稱為第幾象限角。如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，稱之為軸線角。軸線角不屬于任何象限角。我們把角放在坐標(biāo)系中，我們很容易發(fā)現(xiàn)研究一個(gè)旋轉(zhuǎn)角只需要研究角的終邊，使問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單。

（三）數(shù)學(xué)運(yùn)用，加深認(rèn)識(shí)

例1.判斷下面角屬于第幾象限角。

師：在平面直角坐標(biāo)系中畫出上述角，上述角中有哪些具有共同特征？

生10：角的終邊是重合的，角的終邊是重合的。

師：我們發(fā)現(xiàn)了上面不同的對(duì)象具有的共同的特征.和同一個(gè)角終邊終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，你們覺(jué)得接下來(lái)我們應(yīng)該研究什么問(wèn)題

生11：我們需要研究具有相同終邊的角有什么關(guān)系。

師：那你先回答一下上面兩組同終邊的角的關(guān)系

生11：

師：有沒(méi)有同學(xué)可以從這幾個(gè)具體例子抽象出與任意角 終邊相同的角的表達(dá)式

生11：

師：終邊相同的角的一般形式：，這里面我們要注意的是k是整數(shù)，的整數(shù)倍從形上面看就是相差了幾圈。寫成集合形式就是

師：由至里分別找到與下面四個(gè)角的終邊相同的角度，同時(shí)想想在哪個(gè)象限。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生利用象限角的概念進(jìn)行判斷，鞏固所學(xué)的知識(shí)。這個(gè)問(wèn)題是上一問(wèn)題的一般化形式，是數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程。數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)6大核心素養(yǎng)之一，在我們平時(shí)的教學(xué)中需要不斷滲透，不斷引導(dǎo)學(xué)生自主地去抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而描述數(shù)學(xué)現(xiàn)象，從而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在我們的平時(shí)課堂中，教師一定要注重引導(dǎo)學(xué)生從具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題中抽象出一般的數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)結(jié)論的思維，也要著重培養(yǎng)學(xué)生從特殊例子中抽象出解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法的能力，開發(fā)學(xué)生遇到問(wèn)題要透過(guò)現(xiàn)象看出問(wèn)題本質(zhì)的潛力。

（四）課堂小結(jié)

本節(jié)課我們從實(shí)際生活問(wèn)題出發(fā)，類比初中正負(fù)數(shù)的定義，將0°到360°的角推廣到任意角，為后面三角函數(shù)的學(xué)習(xí)做了準(zhǔn)備。學(xué)習(xí)過(guò)程中同學(xué)們通過(guò)具體事例得出終邊相同角的一般關(guān)系，體會(huì)了數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程。

三、教學(xué)反思

新高考，新課程標(biāo)準(zhǔn)都要求我們注重本學(xué)科核心素養(yǎng)，核心素養(yǎng)說(shuō)明白了就是教給學(xué)生一生能帶的走的能力。數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)要求我們教師教授學(xué)生在新情境，新問(wèn)題下運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題。在教學(xué)過(guò)程中，我深感概念教學(xué)的重要性?，F(xiàn)在越來(lái)越多的學(xué)生只注重題目的解答過(guò)程與結(jié)果，很少關(guān)注知識(shí)的生發(fā)過(guò)程，也就很少重視概念課的衍生過(guò)程。更有甚者，覺(jué)得概念課只需要花幾分鐘介紹一下書本概念，然后不斷練題就行。的確，這樣做短時(shí)間可能會(huì)掌握比較多的解題技巧，但隨著學(xué)習(xí)的深入，知識(shí)的聯(lián)系性加強(qiáng)，這樣的學(xué)習(xí)只會(huì)讓學(xué)生知識(shí)混亂，邏輯不清，到最后連最基本的定義，概念都不能理解性地說(shuō)出。數(shù)學(xué)課首先介紹數(shù)學(xué)教育的實(shí)質(zhì)內(nèi)容，同時(shí)按照教育法充分反映教育的社會(huì)目標(biāo)。進(jìn)行章節(jié)起始課的教學(xué)過(guò)程中，如何才能幫助學(xué)生在頭腦中能形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，章節(jié)起始課上的數(shù)學(xué)概念教授一定要注重知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程。讓學(xué)生自己探究出新知識(shí)，新概念，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)化春風(fēng)為雨，潤(rùn)物無(wú)聲的效果。