2021年高考“不等式”專題命題分析

喬偉

摘? 要：2021年高考不等式相關試題，體現了與數學學科核心素養(yǎng)的相互融合，突出了不等式的內容主線，反映了數學核心概念的本質，延續(xù)了將不等式與集合、常用邏輯用語、基本初等函數、數列、函數與導數、向量、圓錐曲線、線性規(guī)劃等內容融合的考查方式，并將其作為考查數學學科核心素養(yǎng)的重要方法.

關鍵詞：2021年高考;不等式;命題分析;復習備考

不等式是高中數學必修課程主題一預備知識的重要內容，也是解決其他數學問題的重要工具，不等式命題整體體現了函數與方程、轉化與化歸、分類討論等數學思想.

2021年全國各地高考數學試卷中對不等式相關內容的考查，不僅集中在不等式的解法、均值不等式的應用、線性規(guī)劃等方面，更注重對不等式與其他知識的內在聯系和綜合考查. 例如，不等式與集合運算、常用邏輯用語、基本初等函數、向量、線性規(guī)劃等內容的融合，考查學生的基本數學學科核心素養(yǎng);不等式與數列、函數與導數及其應用、圓錐曲線相結合，考查學生更高層次的數學學科核心素養(yǎng). 對不等式的基本性質、基本運算和綜合應用的考查，不僅體現了不等式的基礎性，還體現了不等式的工具性.

一、試題分析

1. 整體分析

2021年高考數學共有8套試卷，其中全國甲卷和全國乙卷分文、理科，因此共有10份試卷. 綜觀10份高考數學試卷，直接考查不等式考點的試題很少，且主要是線性規(guī)劃問題，多數試題的考查方式是把不等式和其他知識相融合. 在研究2021年高考不等式相關試題的考點和分值分布時，很難將考點和分值分離開來，這恰恰體現了不等式的基礎性和工具性，同時體現了不等式試題的命題方向具有多面性和綜合性.

2. 內容分析

綜觀2021年各份高考數學試卷，其中對不等式相關試題的考查方式有以下七種：（1）與集合、常用邏輯用語的結合，解決簡單的不等式問題;（2）與三角函數，基本初等函數及其性質，函數與導數及其極值、最值相融合，利用不等式的工具性解決問題;（3）與冪函數、指數函數和對數函數運算相結合，考查比較大小的問題;（4）均值不等式與圓錐曲線、三角公式的結合，研究最值相關問題;（5）不等式的直接應用，解決簡單的線性規(guī)劃問題;（6）不等式與絕對值相結合，構建絕對值不等式問題;（7）與向量、數列相結合，體現不等式的應用性.

3. 題型、難度分析

不等式相關試題的考查題型比較全面，選擇題、填空題和解答題均有涉及，試題難度差異較大.

線性規(guī)劃問題，不等式與集合、常用邏輯用語、圓錐曲線定義相結合的簡單問題難度較小. 例如，浙江卷第5題、全國甲卷文科第1題、全國乙卷文（理）科第3題、全國新高考Ⅰ卷第5題. 均值不等式，不等式與函數結合問題，不等式與三角函數、曲線的切線，以及冪函數、指數函數和對數函數運算等結合考查不等式與相關知識的初步融合運用問題，難度適中. 例如，全國乙卷文科第8題、全國甲卷理科第16題、浙江卷第8題、全國新高考Ⅰ卷第7題、全國新高考Ⅱ卷第7題. 不等式與函數及其性質、數列、導數及其應用、圓錐曲線、絕對值不等式相結合的問題，難度偏大，對學生的數學學科核心素養(yǎng)要求較高. 例如，上海卷第16題、第21題，全國乙卷文科第12題和理科第10題、第12題，全國新高考Ⅱ卷第17題、第22題，浙江卷第10題、第17題、第21題，全國新高考Ⅰ卷第22題. 其中，浙江卷對不等式的考查尤為重視，在第5題，第8題，第10題，第17題，第20題，第21題，第22題中均有對不等式及其思想方法的考查.

4. 文、理科命題分析

隨著課程改革的逐步推進，越來越多省份加入到新高考行列，文、理科的命題趨勢逐漸趨向于統(tǒng)一. 2021年高考全國甲卷和全國乙卷仍延續(xù)了文、理分科的命題風格，從試題難度和對思維能力的考查上看，理科試卷整體比文科試卷略高一籌. 從與不等式及其思想方法的運用有關試題的題量上看，全國乙卷文科卷要略多一些. 這兩套試卷對應的文、理科試卷中有較多的相同試題，有的根據難度的不同，做了題號的調配. 由此可見，全國甲卷和全國乙卷的命題既照顧到了文、理科學生的差異，又為將來高考數學取消文、理分科做了鋪墊.

二、命題分析

在2021年的10份高考數學試卷中，單獨考查不等式的試題并不多，但是涉及不等式知識、方法的試題卻占有較大比重，凸顯了不等式的工具性和應用性. 不等式的解法、線性規(guī)劃問題主要在選擇題和填空題的基礎題中呈現，而與不等式深度融合的試題則更多被安排在了選擇題和填空題壓軸題的位置上，甚至是解答題壓軸題的位置上. 延續(xù)了將不等式考查內容嵌入更加綜合、創(chuàng)新的問題情境中的命題風格. 重點凸顯了不等式的思想方法和工具作用，利用不等式中的比較法、分析法、放縮法等，來達到考查學生數學學科核心素養(yǎng)的目的.

1. 立足基本

（1）與集合結合，考查基本能力.

例1 （全國甲卷·文1）設集合[M=1，3，5，7，9，][N=x2x>7，] 則[M?N]等于（? ? ）.

（A）[7，9]? ? （B）[5，7，9]

（C）[3，5，7，9] （D）[1，3，5，7，9]

以集合為背景命制不等式問題是比較常見的考查方式，以考查不等式的基本解法和集合的基本概念為目的，解題時應關注對基本問題的理解.

（2）與三角函數結合，考查基本方法.

例2 （全國甲卷·理16）已知函數[fx=2cosωx+φ]的部分圖象如圖1所示，則滿足條件[fx-f-7π4 ·][fx-f4π3>0]的最小正整數[x]為? ? ? ? .

我們常常把不等問題轉化為相等問題來解決，這一點教材中已經借助一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式進行了說明. 題中[fx<0]對應圖象為[fx=0]的下方部分，[fx>1]對應圖象為[fx=1]的上方部分，結合圖象，便可求解不等式.

（3）與絕對值結合，考查轉化與化歸.

例3 （全國乙卷·文 / 理23）已知函數[fx=][x-a+x+3.]

（1）當[a=1]時，求不等式[fx≥6]的解集;

（2）若[fx>-a，] 求[a]的取值范圍.

例4 （全國甲卷·文 / 理23）已知函數[fx=][x-2，gx=2x+3-2x-1.]

（1）在圖2中畫出[y=fx]和[y=gx]的圖象;

[ ][1][x][y][O][1][圖2]

（2）若[fx+a≥gx，] 求[a]的取值范圍.

隨著課程改革的深入，對絕對值不等式的考查也轉為非直接考查. 解絕對值不等式的方法主要有零點分段法和幾何意義法. 當式子中含有兩個絕對值，且其中的[x]的系數相等時，可以考慮利用數軸上絕對值的幾何意義求解;利用絕對值三角不等式求最值也是常見的方式，但是要注意表述取等號的條件. 此題體現了對學生的數學運算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)的考查.

（4）與數列結合，考查基本理解.

例5 （全國新高考Ⅱ卷·17）記[Sn]是公差不為[0]的等差數列[an]的前[n]項和，若[a3=S5，a2a4=S4.]

（1）求數列[an]的通項公式;

（2）求使[Sn>an]成立的[n]的最小值.

借助數列的知識，將[Sn>an]轉化為一元二次不等式問題，再利用一元二次函數來解決問題，需要注意數列中[n]的取值要求，這也是高考中經常見到的考查方式.

（5）線性規(guī)劃，常規(guī)問題常規(guī)解決.

例6 （上海卷·7）已知實數[x，y]滿足約束條件[x≤3，2x-y-2≥0，3x+y-8≥0，] 則[z=x-y]的最大值為? ? ? ?.

例7 （浙江卷·5） 若實數[x，y]滿足約束條件[x+1≥0，x-y≤0，2x+3y-1≤0，] 則[z=x-12y]的最小值是（? ? ）.

（A）[-2] （B）[-32]

（C）[-12] （D）[110]

隨著《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）的實施，線性規(guī)劃問題逐漸淡出了全國大部分地區(qū)的高中數學教材，因此大部分高考試卷中未涉及此內容. 所考查的線性規(guī)劃試題也以常規(guī)形式出現，主要以知識點覆蓋為主，用常規(guī)方法即可解決.

（6）均值不等式，條件顯威力.

例8 （全國乙卷·文8）下列函數中最小值為[4]的是（? ? ）.

（A）[y=x2+2x+4]? （B）[y=sin x+4sin x]

（C）[y=2x+22-x]? ? （D）[y=ln x+4ln x]

均值不等式是不等式部分的重要內容，也是高考的高頻考點. 均值不等式求最值，主要考查學生的邏輯推理能力和轉化與化歸能力. 解決此類問題的關鍵：一是明確是否滿足均值不等式的形式;二是靈活掌握均值不等式的使用條件，準確理解“一正、二定、三相等”的意義.

2. 注重內容交會，體現學科素養(yǎng)

（1）與冪函數、指數函數和對數函數交會，比較中凸顯不等關系.

例9 （全國乙卷·理12）設[a=2ln 1.01，b=][ln 1.02，c=1.04-1，] 則（? ? ）.

（A）[a

（C）[b

例10 （全國新高考Ⅱ卷·7）若[a=log52，b=log83，][c=12]，則（? ? ）.

（A）[c

（C）[a

比較大小問題本身就是不等式問題，大小是表象，關鍵看轉化. 這類問題可以把冪函數、指數函數和對數函數的性質及運算融入其中，考查面廣，難度可大可小，深受命題者青睞. 例9和例10立足對數式比較大小，考查對數運算及對數函數的圖象和性質，最終落腳點在利用不等式的傳遞性比較大小，屬于容易題，提示我們要注意對函數圖象和基本性質的熟練應用，要理解比較大小問題的本質.

對不等式性質的考查常與冪函數、指數函數、對數函數及其運算相結合，有時也與充要條件、函數的單調性等相結合，一般以選擇題、填空題的形式進行考查.

（2）與圓錐曲線相結合，巧妙運用均值不等式.

例11 （全國新高考Ⅰ卷·5）已知[F1，F2]是橢圓[C]：[x29+y24=1]的兩個焦點，點[M]在[C]上，則[MF1][MF2]的最大值為（? ? ）.

（A）13 （B）12

（C）9 （D）6

例12 （全國乙卷·文20）已知拋物線[C：y2=][2px p>0]的焦點[F]到準線的距離為2.

（1）求[C]的方程;

（2）已知[O]為坐標原點，點[P]在[C]上，點[Q]滿足[PQ=9QF，] 求直線[OQ]斜率的最大值.

例11求解的關鍵在于正確理解并轉化題意，結合橢圓定義，利用均值不等式求解，此題考查了基本概念和基本方法，難度較小. 例12求解的關鍵是利用圓錐曲線的相關知識得到直線[OQ]斜率的表達式，再根據表達式的形式選擇均值不等式解決問題.

求最值的方法很多，利用均值不等式求解是其中常見的一種方法. 運用均值不等式解決最值問題時，要注意“一正、二定、三相等”條件的合理運用.

（3）與三角關系式相結合，巧妙運用均值不等式.

例13 （浙江卷·8）已知[α，β，γ]是互不相同的銳角，則在[sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α]三個值中，大于[12]的個數的最大值是（? ? ）.

（A）0 （B）1

（C）2 （D）3

例13需要充分挖掘題意，解題的關鍵是根據代數式的形式（積）選擇使用均值不等式，將積轉化為三角基本關系式平方和的形式，并結合三角變換的公式特征選擇放縮的方向，再借助特殊值解決問題. 綜合性較強，難度較大，對學生的數學運算和邏輯推理素養(yǎng)要求較高.

（4）與函數相結合，利用性質研究不等式.

例14 （全國乙卷·文 / 理3）已知命題[p：?x∈R，][sin x<1﹔] 命題[q：?x∈R﹐ex≥1，] 則下列命題中為真命題的是（? ? ）.

（A）[p∧q] （B）[?p∧q]

（C）[p∧?q] （D）[?p∨q]

例15 （全國新高考Ⅰ卷·7）若過點[a，b]可以作曲線[y=ex]的兩條切線，則（? ? ）.

（A）[eb

（C）[0

函數是高中數學知識的主線之一，高考對函數的考查以函數性質的運用為主，而函數又與不等式有著天然的聯系，因此在函數問題的解決中，經常會用到不等式的思想方法. 解決此類問題要注重知識之間的內在聯系，更多的是運用函數的性質及不等式解決函數中的大小、取值范圍問題，體現了不等式的工具性.

（5）與導數、數列相結合，恒成立問題放光彩.

例16 （全國新高考Ⅰ卷·22）已知函數[fx=][x1-lnx].

（1）討論[fx]的單調性;

（2）設[a，b]為兩個不相等的正數，且[bln a-aln b=][a-b，] 證明：[2<1a+1b

例17 （浙江卷·20）已知數列[an]的前[n]項和為[Sn，a1=-94，] 且[4Sn+1=3Sn-9 n∈N?.]

（1）求數列[an]的通項公式;

（2）設數列[bn]滿足[3bn+n-4an=0 n∈N?，] 記[bn]的前[n]項和為[Tn，] 若[Tn≤λbn]對任意[n∈N?]恒成立，求實數[λ]的取值范圍.

導數是高考的重要考點，其包含的思想方法、數學學科核心素養(yǎng)、學科能力非常全面. 導數和數列中的證明問題和恒成立問題本質上是最值問題，考查形式多樣，難度系數便于調控，常在壓軸題中出現. 例16是極值點偏移問題，一般通過原函數的單調性，把與自變量有關的不等式問題轉化與原函數的函數值有關的不等式問題，也可以引入第三個變量，把不等式的問題轉化為與新引入變量有關的不等式問題.

數列是高中數學中重要的離散型函數，數列本身就蘊含著函數的屬性，所以像函數與不等式的組合一樣，數列與不等式也是最佳搭檔之一. 對于例17的解答，第（1）小題已知[Sn]求[an]時，不要忽略[n=1]的情況;第（2）小題恒成立選擇分離參數時，要注意變量的正、負、0的討論. 例如，當[λn-4+3n≥0]恒成立時，要對[n-4=0，n-4>0，n-4<0]三種情形進行分類討論，還要注意在[n-4<0]時，分離參數不等式要變號.

不等式的證明是高考的高頻考點，經常與導數、數列結合考查. 證明不等式的過程就是不斷進行轉化與化歸的過程. 此類問題中往往含有參數，一般要針對參數進行分類討論，因此應加強對轉化與化歸、分類討論思想方法的運用.

（6）求解范圍，巧用不等式的放縮.

例18 （浙江卷·10）已知數列[an]滿足[a1=1，][an+1=an1+an n∈N?.] 記數列[an]的前[n]項和為[Sn]，則（? ? ）.

（A）[32

（C）[4

例18由題目條件可知即證[S100]小于某數，通過觀察[a1=1，an+1=an1+an n∈N?]形式，利用倒數法先找到[an]和[an+1]之間的不等關系，由累加法可求得[an≥4n+12，] 再通過局部放縮得到[an]和[an+1]間的不等關系，改變不等式的方向，得到[an≤6n+1n+2.] 最后由裂項相消法求得[S100<3.]

不等式的放縮是不等式問題中的難點，體現了邏輯推理、分類討論、等價轉化的命題意圖，試題新穎、難度較大.

（7）借助不等式，解決范圍問題.

例19 （浙江卷·21）如圖3，已知[F]是拋物線[y2=2pxp>0]的焦點，[M]是拋物線的準線與[x]軸的交點，且[MF=2.]

（1）求拋物線的方程;

（2）設過點[F]的直線交拋物線于[A，B]兩點，若斜率為[2]的直線[l]與直線[MA，MB，AB，] [x]軸依次交于點[P，Q，R，N，] 且滿足

[RN2=PN ? QN，] 求直線[l]在[x]軸上截距的范圍.

例19考查的是直線與拋物線位置關系中的最值問題，往往需要根據問題的特征合理設直線方程的形式，以便于代數計算，對于構造出的函數關系式，要注意利用換元法等把復雜函數的范圍問題轉化為常見函數的范圍問題.

例20 （浙江卷·22）設[a，b]為實數，且[a>1，] 函數[fx=ax-bx+e2 x∈R.]

（1）求函數[fx]的單調區(qū)間;

（2）若對任意[b>2e2，] 函數[fx]有兩個不同的零點，求[a]的取值范圍;

（3）當[a=e]時，證明：對任意[b>e4，] 函數[fx]有兩個不同的零點[x1，x2，] 滿足[x2>blnb2e2x1+e2b.]

（注：[e=2.718 28…]是自然對數的底數.）

函數是高中數學中重要的知識點，導數是研究函數單調性、極值（最值）最有效的工具，函數的單調性與導數值的符號密切相關，故導數問題與不等式問題能夠自然結合. 高考非常重視對導數應用的考查，主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數的幾何意義，往往與曲線的切線相聯系;（2）利用導數研究函數的單調性問題，也可以利用已知的單調性，轉化為恒成立或存在性問題，求參數范圍;（3）利用導數求函數的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題;（4）證明不等式，借助函數解決相關問題，其中數形結合、轉化與化歸思想顯得尤其重要.

三、復習備考建議

1. 以課程標準為方向，以教材為根本

新一輪課程改革摒棄了考試大綱，取而代之的是《標準》和《中國高考評價體系》，這是我們學習數學、復習備考的指南針. 教師要充分研究《標準》提出的六大數學學科核心素養(yǎng)，在教學過程中著力培養(yǎng)學生的數學學科核心素養(yǎng)，達到數學育人的目的. 教學的抓手在課堂，課堂的主題是內容，在教學中，教師要弄清哪些為主干知識、哪些屬于關鍵能力、其所承載的核心素養(yǎng)是什么等問題，進而結合《標準》，落實“一核、四層、四翼”的高考評價體系要求.

教師要立足教材，重視對教材中不等式的基本概念、基本方法、基本原理的理解，這是學生解決問題思維的出發(fā)點，也是轉化問題的理論基礎. 近幾年的高考命題，已經逐漸淡化對特殊技巧的考查，對通性、通法要求較高. 因此，對于不等式的相關內容的復習，應加強對通性、通法的運用，同時適當對教材中的例題、習題進行延伸和挖掘，以提高學生對基本問題的理解.

2. 關注命題導向，重視知識交會

新高考對不等式的考查形式更加多樣，更加突出對學生關鍵能力和核心素養(yǎng)的考查. 因此，在復習備考過程中，教師要認真研究高考試題，通過對高考題型的研究，準確把握高考命題脈搏，增強復習的針對性和有效性. 從高考試題中可以發(fā)現，對不等式的考查多與其他知識融合，因此要特別關注不等式與集合，常用邏輯用語，三角函數，基本初等函數及其性質，函數、導數及其應用，冪函數、指數函數、對數函數運算，圓錐曲線，三角公式等的交會問題，這些問題體現了不等式的重要性和強大的工具性，需要我們拓寬不等式復習備考的廣度和深度.

3. 重視不等式思想方法體系的構建

相等關系和不等關系是數學中最基本的數量關系，是構建方程和不等式的基礎，由此，不等式才會與相關知識完美地融合. 在教學中，教師要重視函數與方程、數形結合、轉化與化歸、分類與整合等思想在解決不等式問題中的作用，進而建立解決不等式問題的思想方法體系，這對培養(yǎng)學生的思維能力和學科素養(yǎng)大有裨益.

不等式內容有著廣泛的應用，是高考考查的重點和熱點. 其中，主要考查不等式的性質、各種不等式的解法、不等式的應用、不等式的證明、含參不等式等問題，單獨考查不等式知識的試題比較少，綜合考查不等式和函數、數列、解析幾何等知識的試題較多.

簡而言之，在高考復習備考過程中，應關注不等式的工具性和實用性，緊扣通性、通法，全面提升學生綜合應用不等式解決問題的能力.

四、模擬題賞析

1. 設集合[A=xx2+x-2<0，B=x2x+3>0，] 則[A?B]等于（? ? ）.

（A） [-32，1] （B） [-32，-1]

（C） [-1，2] （D） [-2，1]

解：由題意，得

集合[A=x-2-32.]

所以[A?B=-32，1.]

故答案選A.

2. 已知[fx=x+2+ax-3 a∈R.]

（1）當[a=3]時，求不等式[fx<13]的解集;

（2）若[?x≥12，] 不等式[fx≤x2+x+3]恒成立，求[a]的取值范圍.

解：（1）當[a=3]時，[fx=x+2+3x-1.]

① 當[x≤-2]時，[-x+2-3x-1<13.]

解得[-3

② 當[-2

解得[-2

③ 當[x≥1]時，[x+2+3x-1<13.]

解得[1≤x<72.]

綜上可知，原不等式的解集為[x-3

（2）當[x≥12]時，不等式[fx≤x2+x+3，]

即[x+2+ax-3≤x2+x+3.]

整理，得[ax-3≤x2+1.]

則[-x2+2≤ax≤x2+4.]

分離參數，得[a≥-x+2x，a≤x+4x.]

令函數[gx=-x+2x x≥12，]

顯然[gx]在[12，+∞]上單調遞減，

所以[gx≤g12=72.]

當[x≥12]時，[x+4x≥2x · 4x=4，] 當且僅當[x=2]時等號成立.

所以實數[a]的取值范圍為[72，4.]

3. 已知函數[fx=x-lnx+1，gx=ex-1.]

（1）求[fx]的單調區(qū)間;

（2）當[x∈2，+∞]時，證明：[gxxx-1>2;]

（3）證明：[1+1e2-11+1e3-1 … 1+1en-1<][53 n∈N*，n≥2.]

（參考數據：自然對數的底數[e≈2.718 28.]）

解：（1）因為函數[fx=x-ln x+1]的定義域為[-1，+∞，fx=1-1x+1=xx+1，]

所以當[-10]時，[fx>0.]

所以[fx]在區(qū)間[-1，0]上單調遞減，在區(qū)間[0，+∞]上單調遞增.

（2）證明：要證明[gxxx-1>2，] 即證明[gx>][2xx-1，] 即證明[ex-1>2xx-1.]

設[hx=ex-1-2xx-1=ex-2x2+2x-1，]

則[hx=ex-4x+2，hx=ex-4.]

當[x∈2，+∞]時，[hx=ex-4>0，]

故[hx]在區(qū)間[2，+∞]上單調遞增.

所以[hx≥h2=e2-6>0.]

所以[hx]在區(qū)間[2，+∞]上單調遞增，

故[hx≥h2=e2-5>0]恒成立.

所以當[x∈2，+∞]時，[gx>2xx-1，]

即[gxxx-1>2.]

（3）證明：要證明[1+1e2-11+1e3-1 … 1+1en-1<][53 n∈N*，n≥2，]

即證明[ln 1+1e2-1+ln 1+1e3-1+ … +ln 1+1en-1<][ln 53.]

由（1）可知，[fx]在區(qū)間[0，+∞]上單調遞增，

故[x-lnx+1>0]對于[x∈0，+∞]恒成立.

因為[?n∈N*，n≥2，0<1en-1<1，]

所以[ln 1+1en-1<1en-1.]

由（2）可知，當[x∈2，+∞]時，[ex-1>2xx-1，]

故[n≥2]時，[1en-1<12nn-1=121n-1-1n.]

故[ln 1+1e2-1+ln 1+1e3-1+ … +ln 1+1en-1<][121-12+12-13+ … +1n-1-1n=121-1n<12.]

因為[e<259=532，]

所以[e12<53，] 即[12

故[ln 1+1e2-1+ln 1+1e3-1+ … +ln 1+1en-1

則[1+1e2-11+1e3-1 … 1+1en-1<53 n∈N*，n≥2.]

結論得證.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]房增軍. 2020年高考“不等式”專題命題分析[J]. 中國數學教育（高中版），2020（10）：27-32，40.

[3]祝廣文. 2019年高考“不等式”專題命題分析[J]. 中國數學教育（高中版），2019（7 / 8）：80-86.

[4]苗孟義，張金良. 2018年高考“不等式”專題命題分析[J]. 中國數學教育（高中版），2018（7 / 8）：69-75.