2021年高考“平面向量”專題命題分析

范美卿 鄒發(fā)明 張曉斌

摘? 要：2021年高考數(shù)學(xué)“平面向量”試題，突出考查平面向量的基本概念、基本運算、基本性質(zhì)、基本方法、基本應(yīng)用等，充分展現(xiàn)向量具有的方向與大小的二維特征、幾何與代數(shù)結(jié)合的特點、直觀與抽象結(jié)合的特性，凸顯新高考著眼對必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價值考查的特色，既服務(wù)于選才，又引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育.

關(guān)鍵詞：2021年高考;平面向量;命題分析

高中數(shù)學(xué)課程中向量的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生認(rèn)識代數(shù)與幾何的聯(lián)系，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育及應(yīng)用能力的提升，是培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要載體.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景，向量是描述直線、平面、曲面及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題的基礎(chǔ)，在解決實際問題中發(fā)揮著重要作用. 向量既具有方向與大小的二維特征，又可以通過平面的二元有序數(shù)組（二維坐標(biāo)）、空間的三元有序數(shù)組（三維坐標(biāo)）來表示，進(jìn)而為未來高維空間的數(shù)學(xué)問題學(xué)習(xí)做好鋪墊. 學(xué)生容易通過向量的幾何表示（即有向線段的圖形）認(rèn)識向量的方向與大小，但從二元有序數(shù)組[x，y]中認(rèn)識向量的方向與大小是有一定難度的. 只有解決“數(shù)”與“方向和大小”的問題，才能為學(xué)生認(rèn)識三元有序數(shù)組[x，y，z]和[n]元有序數(shù)組[x1，x2，…，xn]的方向和大小問題打下堅實基礎(chǔ). 平面向量內(nèi)容讓代數(shù)與幾何有機聯(lián)系，與函數(shù)、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何、不等式等主干內(nèi)容緊密相關(guān)，重要性不言而喻. 在2021年高考數(shù)學(xué)平面向量試題中，更多考查向量的基礎(chǔ)性、工具性作用，考查學(xué)生從多個角度、靈活多樣思考與解決此類問題的不同方法，考查轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等重要數(shù)學(xué)思想方法，考查學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法的能力，顯現(xiàn)高考試題的選拔功能. 同時，還通過高考試題引導(dǎo)平面向量教學(xué)回歸到對向量本質(zhì)屬性的認(rèn)識.

一、考查內(nèi)容分析

1. 題型、分值合理分布，考點熟悉穩(wěn)定

綜觀2021年高考數(shù)學(xué)平面向量試題，除了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用及平面向量在解析幾何中的應(yīng)用外，一般都保持一道客觀題、分值為5分的考查風(fēng)格，獨立考查向量的基礎(chǔ)知識或考查向量與其他知識之間的有機聯(lián)系. 與近幾年的高考試題比較，2021年的平面向量試題有很強的穩(wěn)定性. 在解答題中僅以平面向量的條件表述考查平行、垂直、角度、距離等幾何關(guān)系，或以空間向量為工具，在立體幾何試題中考查空間位置及數(shù)量關(guān)系，中規(guī)中矩、波瀾不驚. 具體如下表所示.

[試卷 題號 分值 知識點 全國甲卷 文科 13 5 數(shù)量積求向量模 理科 14 5 數(shù)量積運算、垂直關(guān)系求參數(shù)的值 全國乙卷 文科 13 5 數(shù)量積運算、平行關(guān)系求參數(shù)的值 理科 14 5 數(shù)量積運算、垂直關(guān)系求參數(shù)的值 全國新高考Ⅰ卷 10 5 向量的模、數(shù)量積運算 12 5 向量基本定理、數(shù)量積運算、向量關(guān)系 全國新高考Ⅱ卷 15 5 向量的模、數(shù)量積運算 浙江卷 3 5 數(shù)量積運算、垂直關(guān)系、相等向量 17 5 數(shù)量積運算、投影概念 北京卷 13 5 向量的和、數(shù)量積的坐標(biāo)運算 上海卷 4 4 數(shù)量積運算 天津卷 15 5 向量的平行、垂直、和、數(shù)量積、模 ]

2. 側(cè)重考查主干知識，設(shè)問常態(tài)基礎(chǔ)

2021年高考數(shù)學(xué)平面向量試題，重點考查平面向量的概念，平面向量的和、差、數(shù)乘、數(shù)量積運算，兩個向量的共線與垂直關(guān)系，向量表示，向量基本應(yīng)用等主干知識，方法常規(guī)、入手容易，盡顯基礎(chǔ)題特點，即便在解析幾何解答題中呈現(xiàn)幾何關(guān)系的向量表達(dá)，或者應(yīng)用于立體幾何，呈現(xiàn)空間向量在垂直、平行、夾角、長度的應(yīng)用，無一例外都考查了向量的主干知識，不偏不倚，體現(xiàn)出向量的基礎(chǔ)性、工具性作用. 例如，全國甲卷文科第13題、全國甲卷理科第14題、全國乙卷文科第13題、全國乙卷理科第14題、北京卷第13題、上海卷第4題等，都具有上述特點.

3. 適當(dāng)與其他知識融合，應(yīng)用全面廣泛

由于平面向量具有代數(shù)與幾何的雙重特性，與函數(shù)、方程、不等式、立體幾何、解析幾何等知識都可以建立有機聯(lián)系，使得平面向量與這些內(nèi)容之間有高度的融合性. 試題以向量形式呈現(xiàn)，進(jìn)一步考查學(xué)生對函數(shù)、方程、不等式等知識的理解與應(yīng)用. 例如，全國新高考Ⅰ卷第11題、浙江卷第3題和第17題、上海卷第20題等. 特別是向量知識在平行、垂直、夾角、長度等的位置或數(shù)量關(guān)系中，有極其重要的應(yīng)用價值.

4. 代數(shù)和幾何各顯神通，解法創(chuàng)新多樣

平面向量問題既可以用代數(shù)方法通過運算求解，也可以用幾何方法借助圖形分析，具有很強的靈活性. 2021年高考數(shù)學(xué)平面向量試題，一如既往地結(jié)合選擇題、填空題的解題特征，為學(xué)生多角度創(chuàng)新解決問題提供了可能. 用幾何手段研究平面向量問題，對學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理能力要求較高，要求學(xué)生能在向量的模、夾角、平行與垂直、數(shù)量積中準(zhǔn)確找出平面中相關(guān)對象的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系. 用代數(shù)手段研究平面向量問題，對學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象能力提出要求，要求學(xué)生能準(zhǔn)確運算并合理檢驗，甚至要求學(xué)生能利用代數(shù)結(jié)果反思位置關(guān)系. 試題凸顯向量在解決代數(shù)、幾何中的橋梁作用. 總體來看，2021年平面向量部分高考試題基本上都以常見的問題解決為目標(biāo)，不刻意設(shè)置障礙，沒有深入的邏輯思維與繁雜的等價轉(zhuǎn)化.

二、命題思路分析

2021年高考數(shù)學(xué)平面向量試題，以向量的代數(shù)或幾何表示為載體，突出考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想，檢查學(xué)生對平面向量基本概念、性質(zhì)、基本運算的掌握情況，突出通性、通法，以及概念理解和數(shù)學(xué)運算，讓學(xué)生體會高中主干知識間的內(nèi)在聯(lián)系，并適當(dāng)推陳出新.

1. 基本運算，大顯功力

例1 （北京卷·13）已知向量[a，b，c]在正方形網(wǎng)格中的位置如圖1所示. 若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則[a+b · c]的值為? ? ?;[a · b]的值為? ? ?.

答案：0;3.

【評析】以坐標(biāo)表示的平面向量加法、數(shù)量積基本運算，考查學(xué)生對向量代數(shù)運算的理解與熟練程度，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運算的基本要求，為容易題.

例2 （全國甲卷·文13）若向量[a，b]滿足[a=3]，[a-b=5]，[a · b=1]，則[b]的值為? ? ? .

答案：[32].

【評析】以向量的模及數(shù)量積為載體，考查學(xué)生的基本運算能力，學(xué)生需要理解向量的模與數(shù)量積的關(guān)系，進(jìn)而通過準(zhǔn)確計算得到正確答案;或者通過向量和、差運算的幾何特征，探求[a]，[b]，[a+b]，[a-b]四者在平行四邊形法則中的聯(lián)系，認(rèn)識數(shù)量積在四者之間的橋梁作用，[a · b=12a+b2-a2-b2=-12a-b2-a2-b2]. 通過此題，可以檢測學(xué)生對向量的模及數(shù)量積概念的熟悉程度，有助于考查學(xué)生的運算能力和邏輯推理能力，為容易題.

例3 （全國新高考Ⅱ卷·15）已知向量[a+b+][c=0]，滿足[a=1]，[b=c=2]，則[a · b+b · c+c · a]的值為? ? ? .

答案：[-92].

【評析】以三個向量的和與向量的模為載體，考查學(xué)生通過類比三數(shù)和的完全平方公式，認(rèn)識向量和與數(shù)量積之間的基本關(guān)系，是例2（全國甲卷文科第13題）的“升級版”，深入考查向量模與兩個或多個向量的和、差的模及數(shù)量積的關(guān)系，考查基本運算. 試題條件與結(jié)論特征明顯，思路順暢，方法探求直接，有助于考查學(xué)生的運算能力和邏輯推理能力，為容易題.

此題也為學(xué)生用代數(shù)方法進(jìn)行常規(guī)解答提供了多種可能，除了可以類比三數(shù)和的完全平方公式，也可以將條件轉(zhuǎn)化為[a+b=-c]，統(tǒng)一成“[a=1]，[b=2]，[a+b=2]，求[a · b]”這一常見類型. 試題考查學(xué)生從整體或局部的眼光審視條件，借用方程消元的方法，對[a · b]，[b · c]，[c · a]的值各個擊破，體現(xiàn)局部與整體思維的有機統(tǒng)一. 作為填空題，此題也讓學(xué)生在構(gòu)造特殊向量、建立幾何模型上有很大想象空間，體現(xiàn)創(chuàng)新性.

例4 （上海卷·4）如圖2，正方形[ABCD]的邊長為3，則[AB · AC]的值為? ? ? .

答案：9.

【評析】此題考查數(shù)量積的基本運算，學(xué)生可從數(shù)量積的幾何意義、向量的坐標(biāo)運算、基向量轉(zhuǎn)化等方面多角度思考，考查基礎(chǔ)知識與基本方法，題目較易，解決方法較多.

2. 平行垂直，各有擔(dān)當(dāng)

向量“數(shù)”“形”兼?zhèn)?，從“形”的角度立意，考查“?shù)”的運算，是高考平面向量試題的常見考法，通過“數(shù)”的運算，降低了直觀認(rèn)識向量關(guān)系的難度，為用代數(shù)方法研究幾何問題提供了良好工具. 向量具有線性幾何特征，更便于從平行、垂直、角度、距離等視角命制試題，2021年則重點圍繞兩個平面向量的平行與垂直命制試題，以填空題的形式為主.

例5 （全國乙卷·文13）已知向量[a=2，5]，[b=λ，4]，若[a]∥[b]，則[λ]的值為? ? ? .

答案：[85].

【評析】以兩個向量的共線關(guān)系為載體，考查學(xué)生對共線向量的充要條件的識記、向量的坐標(biāo)形式（代數(shù)表達(dá)）的基本運算，考查學(xué)生的運算能力，為容易題.

例6 （全國乙卷·理14）已知向量[a=1，3]，[b=3，4]，若[a-λb]⊥[b]，則[λ]的值為? ? ? .

答案：[35].

【評析】此題是例5（全國乙卷文科第13題）的姊妹題，以兩個向量的垂直關(guān)系為載體，考查學(xué)生對垂直向量的充要條件的識記，以及向量的坐標(biāo)形式（代數(shù)表達(dá)）的差、數(shù)乘、數(shù)量積的基本運算，考查一元方程求解，為容易題.

例7 （全國甲卷·理14）已知向量[a=3，1]，[b=1，0]，[c=a+kb]. 若[a]⊥[c]，則[k]的值為? ? ? .

答案：[-103].

【評析】此題與例6（全國乙卷理科第14題）有異曲同工之妙，以向量的垂直關(guān)系為載體，考查學(xué)生對兩個向量互相垂直的充要條件的識記，以及利用兩個向量的坐標(biāo)形式（代數(shù)表達(dá)）計算其和、數(shù)乘、數(shù)量積的基本運算，考查學(xué)生的運算能力，為容易題.

3. 融會貫通，推陳出新

例8 （全國新高考Ⅰ卷·10）已知[O]為坐標(biāo)原點，點[P1cosα，sinα，P2cosβ，-sinβ，P3cosα+β，sinα+β]，[A1，0]，則（? ? ）.

（A）[OP1=OP2]

（B）[AP1=AP2]

（C）[OA · OP3=OP1 · OP2]

（D）[OA · OP1=OP2 · OP3]

答案：AC.

【評析】以多項選擇題的形式，以兩角和的余弦公式推導(dǎo)的幾何背景，考查學(xué)生對三角函數(shù)、平面向量的綜合問題的分析與解決，涉及兩角和（或差）的余弦公式、兩個平面向量的數(shù)量積、向量的模等基本概念與基本運算. 試題聚焦知識的交會點，將多個知識點融會貫通，設(shè)問新穎，綜合性較強，難度適中，綜合考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)分析問題和解決問題的能力. 此題在熟悉中帶著濃濃的新鮮感，令人眼前一亮，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)有很大的引導(dǎo)意義，引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)要鉆研教材、回歸教材.

例9 （浙江卷·3）已知非零向量[a，b，c]，則“[a · c=b · c]”是“[a=b]”的（? ? ）.

（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件

（C）充分必要條件

（D）既不充分也不必要條件

答案：B.

【評析】用向量的數(shù)量積相等考查向量垂直、向量相等的充要條件. 要求學(xué)生準(zhǔn)確理解平面向量的概念與運算，正確區(qū)分向量運算法則與實數(shù)運算法則的異同，結(jié)合充分條件、必要條件考查推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，在試題中可以找到數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的影子，體現(xiàn)綜合性，屬于容易題.

例10 （天津卷·15）在邊長為1的等邊三角形[ABC]中，點[D]是線段[BC]上的動點，[DE⊥AB]且交[AB]于點[E]，[DF∥AB]交[AC]于[F]. 則[2BE+DF]的值為? ? ? ;[DE+DF · DA]的最小值為? ? ? .

答案：1;[1120].

【評析】此題以平面幾何為背景，以平行、垂直、角度、長度關(guān)系為載體，考查學(xué)生兩個向量的和、數(shù)乘、數(shù)量積、模的運算. 題目條件較多，關(guān)系也較為復(fù)雜，解決問題的手段多樣，給學(xué)生很大的發(fā)揮空間. 通過動點的巧妙設(shè)置考查學(xué)生建立函數(shù)模型，并在一定范圍內(nèi)求解函數(shù)最值，對學(xué)生的運算能力、建模能力、分析及解決問題的能力要求較高，為中檔題.

例11 （浙江卷·17）已知平面向量[a，b，c]（[c≠0]）滿足[a=1]，[b=2]，[a · b=0]，[a-b · c=0]. 記平面向量[d]在[a，b]方向上的投影分別為[x，y，d-a]在[c]方向上的投影為[z]，則[x2+y2+z2]的最小值為? ? ?.

答案：[25].

【評析】此題打破常規(guī)，考查向量投影的概念與計算方法，要求建構(gòu)三元等式關(guān)系，并能利用得到的等式靈活求解三元表達(dá)式的最值問題，體現(xiàn)出代數(shù)運算在平面向量問題求解過程中的強大功能. 知識點涉及平面向量、函數(shù)與方程、不等式等，綜合性、靈活性都較強，需要學(xué)生全面而綜合地考慮問題，對觀察與分析、數(shù)學(xué)模型建立、多變量運算、轉(zhuǎn)化與整合等方面的能力提出較高要求，屬于較難題.

4. 立足幾何，首當(dāng)其沖

例12 （全國新高考Ⅰ卷·12）在正三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AB=AA1=1]，點[P]滿足[BP=λBC+][μBB1]，其中[λ∈0，1]，[μ∈0，1]，則（? ? ）.

（A）當(dāng)[λ=1]時，[△AB1P]的周長為定值

（B）當(dāng)[μ=1]時，三棱錐[P-A1BC]的體積為定值

（C）當(dāng)[λ=12]時，有且僅有一個點[P]，使得[A1P⊥BP]

（D）當(dāng)[μ=12]時，有且僅有一個點[P]，使得[A1B⊥⊥]平面[AB1P]

答案：BD.

【評析】此題以立體幾何為載體，將平面向量問題深入拓展到空間向量問題，考查利用向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積運算，向量的坐標(biāo)運算，平面（空間）向量基本定理等解決空間中的長度、面積、體積、線線垂直、線面垂直等問題，設(shè)問綜合豐富，充分揭示向量的幾何屬性. 題目以多項選擇題形式呈現(xiàn)，以參數(shù)[λ]，[μ]的變化揭示點[P]的位置關(guān)系，動靜相得益彰，體現(xiàn)出向量在立體幾何問題研究中的重要意義，獨具匠心、新穎靈活，屬于中檔題.

例13 （上海卷·20）已知橢圓[Γ： x22+y2=1]，[F1，F(xiàn)2]分別是其左、右焦點，直線[l]過點[Pm，0][m<-2]交橢圓[Γ]于[A，B]兩點，且[A，B]在[x]軸上方，點[A]在線段[BP]上.

（1）若[B]是上頂點，[BF1]=[PF1]，求[m]的值;

（2）若[F1A · F2A]=[13]，且原點[O]到直線[l]的距離為[41515]，求直線[l]的方程;

（3）證明：對于任意[m<-2]，使得[F1A]∥[F2B]的直線有且僅有一條.

答案：（1）-1-[2];（2）[x-3y+463=0];（3）略.

【評析】此題以解析幾何為載體，將平面向量的模、數(shù)量積、共線問題融入題意，考查利用向量的基本概念、運算、關(guān)系，合理轉(zhuǎn)化為平面圖形的長度、角度、位置關(guān)系，并通過代數(shù)或幾何的運算解決問題的能力. 需要學(xué)生在讀懂向量表述的前提下，綜合分析與解決問題，體現(xiàn)了向量在幾何問題解決中的重要工具性作用. 此題中向量關(guān)系沒有“喧賓奪主”，不復(fù)雜、不晦澀，通俗易懂，便于學(xué)生保持平和的考試心態(tài). 向量首當(dāng)其沖，這也是此類解析幾何問題的常見呈現(xiàn)方式，綜合性強，為較難題.

三、復(fù)習(xí)建議

1. 正本清源，加深概念理解

向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景，“平面向量及其應(yīng)用”一章是高中數(shù)學(xué)幾何與代數(shù)主題的重要內(nèi)容，與其他章節(jié)學(xué)習(xí)也有密切的聯(lián)系. 了解向量產(chǎn)生的背景，采用獨立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等學(xué)習(xí)方式，加強對向量概念數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，對運用向量靈活解決數(shù)學(xué)問題有很重要的意義.

平面向量及其應(yīng)用的復(fù)習(xí)教學(xué)，應(yīng)結(jié)合力、速度、位移等實際情境，從物理、幾何、代數(shù)三個角度去理解向量的概念與運算法則，認(rèn)識方向與大小在后續(xù)章節(jié)學(xué)習(xí)中的關(guān)聯(lián)性. 例如，向量加法與減法運算，既在空間向量中有體現(xiàn)，也在復(fù)數(shù)加法、減法運算中有所體現(xiàn)，其幾何特征呈現(xiàn)出來的平行四邊形、三角形特征與解三角形、三角不等式等知識存在廣泛的聯(lián)系.

向量的基本概念很多，模、相等向量、共線向量、數(shù)量積、投影等都不是一個空泛的名詞，其具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵. 高中數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，既要溯本求源，也要認(rèn)識其本質(zhì)，如果對概念內(nèi)涵認(rèn)識不足，就意味著數(shù)學(xué)問題解決中對已知條件的天然缺失，難免使數(shù)學(xué)思維受到桎梏. 因此，切不可在復(fù)習(xí)過程中對向量相關(guān)概念、運算公式一筆帶過，草草了事，為后續(xù)復(fù)習(xí)留下隱患.

2. 勤練內(nèi)功，加強運算訓(xùn)練

數(shù)學(xué)運算是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基本功，無論是平面向量還是空間向量，運算都從兩個方面展開. 一方面，是數(shù)與式的運算，展現(xiàn)向量的代數(shù)特征，和、差、數(shù)量積、平行或垂直、夾角或距離，都需要對整式、方程、不等式進(jìn)行整合、化簡;另一方面，是圖形的運算，展現(xiàn)其幾何特征，過程與結(jié)果、數(shù)與圖形、直觀與抽象，都需要理解并強化.

通過運算的強化，要讓學(xué)生熟練運用這兩種運算，這也是學(xué)生在考場上速度快、結(jié)果準(zhǔn)、心態(tài)穩(wěn)的保證. 良好的運算能力體現(xiàn)為既有運算前的謀篇布局，也有操作步驟的熟能生巧，還要保持對運算結(jié)果的良好數(shù)感. 此外，也需要具有對復(fù)雜的數(shù)與式、圖形的合理拆解、整合的技巧，這是需要經(jīng)過長期專項訓(xùn)練方能達(dá)到的.

3. 縱橫捭闔，增大知識融合

向量具有“數(shù)”與“形”的特征，為其實用的工具性、廣泛的交互性確定下不錯的“江湖地位”. 高考中，向量與函數(shù)、不等式、平面幾何、立體幾何、解析幾何、復(fù)數(shù)相結(jié)合的試題比比皆是. 為加強學(xué)生在這些知識融合問題中的適應(yīng)性，就應(yīng)該從平時的訓(xùn)練做起，尋找知識間的有機聯(lián)系，抓住“數(shù)”“形”互化這一特點，從數(shù)量、位置著手，精選或編制相關(guān)題目，有針對性地進(jìn)行訓(xùn)練，積累經(jīng)驗，才能在考試中從容不迫、有條不紊.

4. 立意高遠(yuǎn)，關(guān)注終身發(fā)展

平面向量及其應(yīng)用有重要的文化價值，重視數(shù)學(xué)的文化價值是數(shù)學(xué)教育發(fā)展的趨勢，通過數(shù)學(xué)文化的滲透推動對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育也是數(shù)學(xué)教師的重要任務(wù). 從古希臘的亞里士多德（Aristotle）將速度合成，到牛頓（Newton）在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》中給出力的合成與分解的證明，到歐拉（Euler）將向量分解到笛卡兒坐標(biāo)系，再到哈密頓（Hamilton）的“四元數(shù)”，以及向量名詞的誕生，都閃耀著人類在不斷探索中的理性光芒，飽含著對這一種將方向與大小兩個要素集于一身的量的垂愛. 在教學(xué)中，教師要充分挖掘向量與數(shù)學(xué)史、向量與多維度量的學(xué)習(xí)素材，從發(fā)散、創(chuàng)新的角度展開教學(xué)，全面育人.

平面向量知識的廣泛應(yīng)用價值、多維思考途徑，是促進(jìn)學(xué)生實踐能力、思維能力、創(chuàng)新意識發(fā)展的優(yōu)質(zhì)素材，也能讓學(xué)生在問題解決中體會成功的喜悅，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 在教學(xué)中，教師要善于傾聽學(xué)生的想法，拓寬視角的廣度，增加思維的厚度，發(fā)揮向量教學(xué)“三會”的育人價值.

平面向量的教學(xué)內(nèi)容中也滲透著重要的數(shù)學(xué)思想. 在教學(xué)中，教師要有意識地選擇素材，將數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想融入其中，才有利于數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的培育，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升.

四、模擬題欣賞

1. 在[△ABC]中，[AB=2]，[BC=AC=3]，則[AB · AC]的值為（? ? ）.

（A）1? ? （B）2? ? （C）4? ? （D）6

答案：B.

2. 已知點[M]是邊長為2的正方形[ABCD]的內(nèi)切圓內(nèi)（含邊界）的動點，則[MA · MB]的取值范圍是（? ? ）.

（A）[-1，0] （B）[-1，2]

（C）[-1，3] （D）[-1，4]

答案：C.

3.（多選題）已知棱長為1的正方體[ABCD-A1B1C1D1]，點[P]滿足[BP]=[λBC]+[μBB1]，[λ∈0，1]，[μ∈0，1]，則下列結(jié)論正確的是（? ? ）.

（A）[λ=μ=1]時，[AP=3]

（B）存在[λ]，[μ]，使得[AP]∥[DD1]

（C）任意[λ]=[μ]，則[AP · A1D=0]

（D）若[λ]+[μ]=1，則三棱錐[P-A1BD]的體積為定值

答案：ACD.

4. 若向量[a，b]滿足[a=1]，[b=2]，[a-b=2]，則[a · b]的值為? ? ? .

答案：[12].

5. 已知向量[a=2，1]，[b=-1，3]，[ka+b⊥b]，則實數(shù)[k]的值為? ? ? .

答案：-10.

6. 在[△ABC]中，內(nèi)角[A，B，C]的對邊分別為[a，][b，c]，[A=60°]，點[D]滿足[BD]=2[DC]. 若[AD=1]，則[2b+c]的最大值為? ? ? .

答案：[23].

7. 橢圓的兩個頂點為[A0，-1，B0，1]，過其焦點[F1，0]的直線[l]與橢圓交于[C，D]兩點，并與[y]軸交于點[P]，直線[AC]與直線[BD]交于點[Q].

（1）當(dāng)[DC=523]時，求直線[l]的方程;

（2）當(dāng)點[P]異于[A，B]兩點時，[OP · OQ]是否為定值？如果為定值，求出該值;若不為定值，說明理由.

答案：（1）[x±2y-1=0];（2）為定值1.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]鄒發(fā)明，張曉斌. 2018年高考“平面向量”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2018（7 / 8）：46-51，58.