2021年高考“立體幾何”專(zhuān)題命題分析

金克勤 嚴(yán)永冬

摘? 要：在對(duì)2021年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試卷中的立體幾何試題內(nèi)容、題型、分值、難度、思想方法等進(jìn)行詳細(xì)分析的基礎(chǔ)上，指出2021年高考立體幾何試題命題突出了基礎(chǔ)性，兼顧了綜合性和應(yīng)用性，以樸實(shí)簡(jiǎn)潔的試題形式，突出對(duì)立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法的考查，實(shí)現(xiàn)了從多角度、多層次考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力. 以2021年高考數(shù)學(xué)試題為例，分析了高考立體幾何試題的命題思路，提出了立體幾何復(fù)習(xí)的教學(xué)建議，為2022年高考復(fù)習(xí)提供了參考.

關(guān)鍵詞：立體幾何;命題分析;復(fù)習(xí)建議

2021年高考立體幾何試題延續(xù)近幾年來(lái)的命題風(fēng)格，以樸實(shí)簡(jiǎn)潔的試題形式，突出對(duì)立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法的考查. 在不同情境中，考查學(xué)生對(duì)空間圖形的觀察和分析能力，運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言論證幾何關(guān)系的能力，以及對(duì)幾何圖形和幾何量進(jìn)行運(yùn)算求解的能力. 實(shí)現(xiàn)了從多角度、多層次考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力. 試題突出了基礎(chǔ)性，兼顧了綜合性和應(yīng)用性.

一、考查內(nèi)容分析

1. 內(nèi)容

2021年高考數(shù)學(xué)試卷中的立體幾何試題的主要內(nèi)容有三個(gè)方面：一是對(duì)空間幾何體的基本結(jié)構(gòu)和度量的考查，主要內(nèi)容有三視圖和直觀圖、簡(jiǎn)單多面體和旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)、空間線段長(zhǎng)度、表面積與體積;二是對(duì)空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的考查，主要內(nèi)容有直線、平面平行和垂直關(guān)系的判定、性質(zhì)與應(yīng)用，異面直線所成的角，直線與平面所成的角，兩平面所成的二面角;三是立體幾何的應(yīng)用問(wèn)題，主要內(nèi)容是以典型的空間幾何體為背景，以線面幾何關(guān)系為切入點(diǎn)的實(shí)際問(wèn)題，指向是實(shí)際問(wèn)題中的長(zhǎng)度、角度、面積和體積的計(jì)算.

2. 題型

2021年高考立體幾何試題涵蓋了數(shù)學(xué)試題中的所有題型，有單選題、多選題、填空題和解答題. 除了傳統(tǒng)的試題表現(xiàn)形式外，也增加了開(kāi)放題和應(yīng)用題等試題形式，豐富了立體幾何的考查方式.

3. 分值

2021年每份高考數(shù)學(xué)試卷中的立體幾何試題基本都是兩道客觀題、一道主觀題，約22分，占全卷總分的15%左右，與解析幾何試題的考查分量相當(dāng)，僅次于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的考查分量，是數(shù)學(xué)學(xué)科考查的主要內(nèi)容之一. 采用新高考模式的數(shù)學(xué)試卷中的立體幾何試題，其內(nèi)容和形式與原全國(guó)卷沒(méi)有本質(zhì)上的變化，試題的占比與以往基本相同.

4. 難度

2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷中的立體幾何試題的難度總體上保持穩(wěn)定，以容易題和中等題為主，而且試題往往都以學(xué)生熟悉的形態(tài)出現(xiàn)，文、理科立體幾何試題基本上是相同試題或相似試題. 文、理科試題類(lèi)型基本相同，難度相差較小，文科稍微容易些.

5. 思想方法

2021年高考數(shù)學(xué)試卷中的立體幾何試題突出考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，試題突出對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的要求，以直線與平面的位置關(guān)系作為空間問(wèn)題的轉(zhuǎn)化樞紐，實(shí)現(xiàn)空間問(wèn)題平面化、幾何問(wèn)題數(shù)量化的目標(biāo). 試題以對(duì)空間圖形進(jìn)行分解、組合、轉(zhuǎn)換等手段，實(shí)現(xiàn)典型問(wèn)題的變式轉(zhuǎn)化和解決問(wèn)題方法的靈活選擇，大多數(shù)立體幾何試題都能在教材中找到原型，做到了試題命制源于教材而高于教材.

二、命題思路分析

立體幾何試題命制的基本依據(jù)是四個(gè)基本事實(shí)，空間直線、平面位置關(guān)系的概念與空間角的概念，以及空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，空間直角坐標(biāo)系與空間向量. 通過(guò)立體幾何試題的不同呈現(xiàn)形式，要求學(xué)生能用定義、判定定理和性質(zhì)定理證明空間基本圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題，能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，會(huì)用向量方法解決立體幾何中的夾角問(wèn)題，會(huì)將立體幾何中的各種夾角問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的夾角.

2021年高考數(shù)學(xué)立體幾何試題都是以最常見(jiàn)的空間幾何體為命制背景，特點(diǎn)鮮明. 解答題主要以三棱錐、三棱柱、四棱錐、四棱柱（包括正方體）為背景，因?yàn)檫@幾個(gè)典型的空間幾何體已經(jīng)能夠表現(xiàn)豐富的幾何關(guān)系，能在學(xué)生熟悉的情境中考查最核心的內(nèi)容，不人為設(shè)置障礙、不考細(xì)枝末節(jié)問(wèn)題是立體幾何試題的特點(diǎn). 對(duì)旋轉(zhuǎn)體內(nèi)容的考查多以選擇題和填空題的形式呈現(xiàn)，主要考查旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征、性質(zhì)、表面積和體積等基礎(chǔ)知識(shí). 在選擇題和填空題的命制中，通過(guò)三視圖、線面平行或垂直關(guān)系的判斷、面積和體積的計(jì)算等內(nèi)容，以識(shí)圖、畫(huà)圖、想圖、用圖等方式考查學(xué)生的空間想象能力. 在解答題的命制中，通過(guò)直線與平面的平行或垂直關(guān)系的論證，要求從已有的正確前提到被論證的結(jié)論之間建立邏輯推理過(guò)程，考查學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和演繹推理能力，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生理性思維的考查;在直線、平面的有關(guān)夾角的計(jì)算中，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，用向量語(yǔ)言表述幾何對(duì)象，對(duì)幾何圖形和各幾何量進(jìn)行運(yùn)算求解，體現(xiàn)出對(duì)核心內(nèi)容和思想方法的重點(diǎn)考查.

具體地，2021年高考數(shù)學(xué)立體幾何試題的命題呈現(xiàn)出以下幾個(gè)方面的特點(diǎn).

1. 以三視圖為背景考查空間想象能力

例1 （全國(guó)甲卷·理6）在一個(gè)正方體中，過(guò)頂

點(diǎn)[A]的三條棱的中點(diǎn)分別為[E，F(xiàn)，G]. 該正方體截去三棱錐[A-EFG]后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖1所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（? ? ）.

[（A）][（B）][（C）][（D）]

【評(píng)析】該題以正方體為載體，以三視圖為切入點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力. 用三視圖中的一個(gè)視圖來(lái)推理辨識(shí)另外的視圖，是立體幾何試題命制形式的創(chuàng)新. 通過(guò)對(duì)原正方體的想象和還原（圖2），以達(dá)到對(duì)各個(gè)視圖的辨別，體現(xiàn)出在熟悉的情境中考查空間想象能力的要求.

[G][F][E][A][圖2]

例2 （浙江卷·4）某幾何體的三視圖如圖3所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：[cm3]）是（? ? ）.

[ ][ ] [1] [1] [1][ ] [1] [1][正視圖][俯視圖][側(cè)視圖][圖3]

（A）[32] （B）3

（C）[322] （D）[32]

【評(píng)析】該題通過(guò)三視圖考查學(xué)生的空間想象能力，要求根據(jù)三視圖還原空間幾何體（圖4），并根據(jù)線面關(guān)系判斷空間幾何體的類(lèi)型為棱柱，然后可以通過(guò)對(duì)圖形的分解或組合，構(gòu)成兩個(gè)直三棱柱體積之差，或者直接利用直四棱柱體積公式進(jìn)行計(jì)算（圖5）.

例3 （北京卷·4）某四面體的三視圖如圖6所示，該四面體的表面積為（? ? ）.

[ ][ ] [1] [1][ ][ ] [1] [1][ ][ ] [1] [1][正（主）視圖][側(cè)（左）視圖][俯視圖][圖6]

（A）[32+32] （B）[3+3]

（C）[32+3] （D）[3+32]

【評(píng)析】該題也是以三視圖為載體，考查學(xué)生的空間想象能力和表面積、體積的相關(guān)內(nèi)容. 一般要求學(xué)生先由三視圖想象所對(duì)應(yīng)的空間圖形，然后根據(jù)空間圖形完成有關(guān)的論證和計(jì)算. 由三視圖對(duì)原空間圖形的構(gòu)建一般可以在長(zhǎng)方體中進(jìn)行，該題在正方體中完成對(duì)原空間圖形的構(gòu)建（圖7），從而完成四面體表面積的計(jì)算.

2. 在典型的情境中考查線面平行與垂直關(guān)系

例4 （浙江卷·6）已知正方體[ABCD-A1B1C1D1]，[M，N]分別是[A1D，D1B]的中點(diǎn)，如圖8所示，則（? ? ）.

[N][M][D1][C1][B1][A1][D][C][B][A][圖8]

（A）直線[A1D]與直線[D1B]垂直，直線[MN∥]平面[ABCD]

（B）直線[A1D]與直線[D1B]平行，直線[MN⊥]平面[BDD1B1]

（C）直線[A1D]與直線[D1B]相交，直線[MN∥]平面[ABCD]

（D）直線[A1D]與直線[D1B]異面，直線[MN⊥]平面[BDD1B1]

【評(píng)析】以正方體這類(lèi)最典型的空間幾何體為載體，考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系是立體幾何試題命制的一大特點(diǎn)，體現(xiàn)在熟悉的情境中考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力的設(shè)想. 直線[A1D]與直線[D1B]的位置關(guān)系的判定，涉及異面直線的判定、異面直線垂直的判定，而異面直線垂直的判定又可以通過(guò)線面垂直的判定得到. 直線[MN]與平面[ABCD]及平面[BDD1B1]關(guān)系的判定通過(guò)直線[MN]與直線[AB]的平行關(guān)系得到. 這種基于典型空間圖形線面位置關(guān)系的考查，是立體幾何試題命制的典型手法.

例5 （全國(guó)乙卷·理18）如圖9，四棱錐[P-ABCD]的底面是矩形，[PD⊥]底面[ABCD]，[PD=DC=1]，[M]為[BC]的中點(diǎn)，且[PB⊥AM].

（1）求[BC];

（2）求二面角[A-PM-B]的正弦值.

【評(píng)析】該題是以長(zhǎng)方體為載體的立體幾何試題. 這個(gè)四棱錐是長(zhǎng)方體中的一部分，是基于長(zhǎng)方體命制的試題（圖10）. 通過(guò)將線面關(guān)系[PD⊥]底面[ABCD]，[PB⊥AM]轉(zhuǎn)化為[BD⊥AM]實(shí)現(xiàn)空間幾何關(guān)系向一個(gè)平面的轉(zhuǎn)化，從而可以求得邊[BC]的長(zhǎng). 對(duì)于二面角[A-PM-B]的正弦值的問(wèn)題，試題顯然營(yíng)造了兩種計(jì)算途徑：一是建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的方法，將二面角大小的計(jì)算轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的夾角，以點(diǎn)[D]為坐標(biāo)原點(diǎn)可以方便地建立空間直角坐標(biāo)系[D-xyz];二是綜合幾何的方法，找出二面角[A-PM-B]的平面角，在四棱錐[P-ABCD]所構(gòu)成的長(zhǎng)方體中（圖11），二面角[A-PM-B]就是平面[PAM]與平面[PEBC]所成的角. 設(shè)[F]為[BE]的中點(diǎn)，則[AF⊥]平面[PBM]，四邊形[PEBC]是正方形. 因此，可設(shè)[CF]交[PM]于點(diǎn)[G]，則[∠AGF]是二面角[A-PM-B]的平面角. 于是很容易在直角三角形中求得[∠AGF]的正弦值.

3. 多選題、開(kāi)放題豐富了考查的形式和內(nèi)容

例6 （全國(guó)新高考Ⅰ卷·12）在正三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AB=AA1=1]，點(diǎn)[P]滿足[BP=λBC+][μBB1]，其中[λ∈0，1]，[μ∈0，1]，則（? ? ）.

（A）當(dāng)[λ=1]時(shí)，[△AB1P]的周長(zhǎng)是定值

（B）當(dāng)[μ=1]時(shí)，三棱錐[P-A1BC]的體積為定值

（C）當(dāng)[λ=12]時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)[P]，使得[A1P⊥BP]

（D）當(dāng)[μ=12]時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)[P]，使得[A1B]⊥平面[AB1P]

【評(píng)析】2021年是第二年在新高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)多選題，只有全部答對(duì)才能得滿分（5分），部分答對(duì)部分得分（2分），但只要選錯(cuò)一個(gè)就得0分. 通過(guò)多選題可以實(shí)現(xiàn)多種考查目標(biāo). 該題以正三棱柱為載體，結(jié)合空間向量考查學(xué)生識(shí)圖、畫(huà)圖、讀圖的能力，以及線面的垂直關(guān)系的判定、三棱錐體積和幾何圖形性質(zhì)等內(nèi)容. 試題并沒(méi)有給出圖形，需要學(xué)生將符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，畫(huà)出相應(yīng)的空間圖形（圖12）. 由于是多選題，各個(gè)選項(xiàng)都有可能正確，所以四個(gè)選項(xiàng)相當(dāng)于四個(gè)問(wèn)題，增加了考試的容量和得分的難度. 對(duì)于[BP=λBC+μBB1]，其中[λ∈0，1]，[μ∈0，1]，根據(jù)向量基本定理，點(diǎn)[P]在正方形[BCC1B1]內(nèi)，當(dāng)[λ=1]時(shí)，點(diǎn)[P]的軌跡是線段[CC1];當(dāng)[μ=1]時(shí)，點(diǎn)[P]的軌跡是線段[B1C1];當(dāng)[λ=12]時(shí)，點(diǎn)[P]的軌跡為過(guò)[BC]與[B1C1]中點(diǎn)的線段[MN];當(dāng)[μ=12]時(shí)，點(diǎn)[P]的軌跡為過(guò)[BB1]與[CC1]中點(diǎn)的線段[EF]（圖13）. 由此可以根據(jù)線面關(guān)系的有關(guān)結(jié)論進(jìn)行判斷.

例7 （全國(guó)新高考Ⅱ卷·10）下列各正方體中，[O]為下底面的中心，[M，N]為頂點(diǎn)，[P]為所在棱的中點(diǎn)，則滿足[MN⊥OP]的是（? ? ）.

[N][M][O][P][O][N][M][P] [（A）][（B）]

[O][P][N][M] [O][P][N][M][（C）][（D）]

【評(píng)析】該題以正方體為背景，考查直線[MN]與直線[OP]在不同位置下的垂直關(guān)系的判定，由于[MN]與[OP]在不同的位置下都有可能垂直，因此設(shè)計(jì)成一個(gè)多選題可以充分考查學(xué)生對(duì)線面垂直關(guān)系的掌握情況. 兩異面直線的垂直關(guān)系的判定一般需要通過(guò)線面垂直得到，因此也考查了學(xué)生對(duì)垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化能力.

例8 （全國(guó)乙卷·理16）以圖14（1）為正視圖，在圖14（2） ～ 圖14（5）中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為? ? ? .（填符合要求的一組答案即可.）

[ ] [2][ ] [1][（1）][ ] [2][ ] [1][（2）][ ] [2][ ] [1][（3）] [ ] [2][ ] [2][（4）][ ] [2][ ] [2][（5）][圖14]

【評(píng)析】該題是條件開(kāi)放型試題，在某個(gè)三棱錐的正視圖確定的前提下，分析側(cè)視圖和俯視圖的可能性，而側(cè)視圖和俯視圖有多種可能性，需要通過(guò)想象空間圖形的各種形態(tài)來(lái)進(jìn)行選擇. 可以考慮在棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)構(gòu)建三棱錐輔助思考. 如圖15，三棱錐[S-ABC]的正視圖是圖14（1），側(cè)視圖和俯視圖分別為圖14（3）和圖14（4）;如圖16，三棱錐[S-ABC]的正視圖是圖14（1），側(cè)視圖和俯視圖分別為圖14（2）和圖14（5）. 這種有多種可能的開(kāi)放型試題，豐富了立體幾何試題的命制形式，更加體現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查. 雖然三視圖將淡出高中立體幾何教學(xué)，但該類(lèi)型的試題表現(xiàn)形式，將會(huì)更多地出現(xiàn)在高考試題之中.

4. 通過(guò)應(yīng)用問(wèn)題考查數(shù)學(xué)閱讀和知識(shí)運(yùn)用

例9 （全國(guó)甲卷·理8）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為[8 848.86]（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一. 如圖17是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有[A，B，C]三點(diǎn)，且[A，B，C]在同一水平面上的投影[A，B，C]滿足[∠A′C′B′=45°]，[∠ABC=60°]. 由點(diǎn)[C]測(cè)得點(diǎn)[B]的仰角為[15°]，[BB]與[CC]的差為100;由點(diǎn)[B]測(cè)得點(diǎn)[A]的仰角為[45°]，則[A，C]兩點(diǎn)到水平面[ABC]的高度差[AA-CC]約為（? ? ）.（[3≈1.732].）

（A）346? （B）373? （C）446 ? （D）473

【評(píng)析】該題是以立體圖形為載體的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，這類(lèi)試題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)學(xué)理解能力，要求在相對(duì)短的時(shí)間內(nèi)理解題意，提煉問(wèn)題的本質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法解決問(wèn)題. 與立體幾何相關(guān)的測(cè)量問(wèn)題往往與正弦定理、余弦定理及解三角形的知識(shí)密切聯(lián)系，這類(lèi)應(yīng)用問(wèn)題也是高考應(yīng)用問(wèn)題的命題方向.

例10 （全國(guó)新高考Ⅱ卷·4）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果. 在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為[36 000 km]（軌道高度指衛(wèi)星到地球表面的最短距離）. 把地球看成一個(gè)球心為[O]、半徑為[6 400 km]的球，其上點(diǎn)[A]的緯度是指[OA]與赤道所在平面所成角的度數(shù). 地球表面能直接觀測(cè)到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星的點(diǎn)的緯度的最大值記為[α]，該衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面面積[S=2πr21-cosα]（單位：[km2]），則[S]占地球表面積的百分比為（? ? ）.

（A）26%? （B）34%? （C）42%? （D）50%

【評(píng)析】該題以實(shí)際問(wèn)題為背景考查球的有關(guān)知識(shí)，試題約有200個(gè)字，需要通過(guò)閱讀理解有關(guān)的概念，如衛(wèi)星到地球表面的最短距離、緯度、緯度的最大值、球冠的面積. 由于球冠的面積公式不屬于考試的范圍，所以試題給出了球冠面積的計(jì)算公式[S=][2πr21-cosα]，這是球冠面積公式[S=2πrh]（其中[h]是球冠的高）的另外一種表示形式. 該題考查學(xué)生的空間想象能力，需要畫(huà)出相應(yīng)的圖形（圖18），并且知道衛(wèi)星[P]到地球表面的最短距離[d]，是點(diǎn)[P]與球心[O]連線上的線段[BP]，可以通過(guò)公式進(jìn)行計(jì)算：[cosα=][rr+d]，[SS球=2πr21-cosα4πr2=1-cosα2=d2d+r=45106≈][42%]. 此題的命題者更希望學(xué)生能根據(jù)直覺(jué)和估算得出結(jié)果. 由于衛(wèi)星到地球表面的最短距離[36 000 km]是地球半徑[6 400 km]的[5.6]倍，當(dāng)衛(wèi)星處于無(wú)限遠(yuǎn)處，衛(wèi)星信號(hào)能夠覆蓋的面積占地球面積的50%，若衛(wèi)星信號(hào)能夠覆蓋的面積占地球面積的[13]，則[cosα<13]. 顯然，該問(wèn)題中的[cosα<13]. 因此，衛(wèi)星信號(hào)能夠覆蓋的面積應(yīng)大于地球面積的[13]. 由四個(gè)選項(xiàng)可以知道應(yīng)選擇的正確選項(xiàng). 這種思維發(fā)散性試題，能夠充分體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，是立體幾何試題命制的一種創(chuàng)新.

5. 創(chuàng)新型試題體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查

例11 （全國(guó)乙卷·理5）在正方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[P]為[B1D1]的中點(diǎn)，則直線[PB]與[AD1]所成的角為（? ? ）.

（A）[π2]? ?（B）[π3]? ?（C）[π4]? ?（D）[π6]

【評(píng)析】這是一道看似平常的立體幾何試題，但其中蘊(yùn)含著命題者希望學(xué)生“多想少算”的愿望，檢測(cè)學(xué)生個(gè)體思維的靈活性. 在正方體[ABCD-A1B1C1D1]（圖19）中，[∠C1BP]是直線[PB]與[AD1]所成的角，而[△A1BC1]是正三角形，[P]是[A1C1]的中點(diǎn)，所以[∠C1BP=π6]. 這樣就避免了求角的運(yùn)算.

例12 （北京卷·8）某一時(shí)段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱(chēng)為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：mm）.[24 h]降雨量的等級(jí)劃分如下表所示.

[等級(jí) 24 h降雨量（精確到0.1） …… …… 小雨 0.1 ～ 0.9 中雨 10 .0 ～ 24.9 大雨 25 .0 ～ 49.9 暴雨 50.0 ～ 99.9 …… …… ]

在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為[200 mm]，高為[300 mm]的圓錐形雨量器.若一次降雨過(guò)程中，該雨量器收集的[24 h]的雨水高度是[150 mm]，如圖20所示，則這[24 h]降雨量的等級(jí)是（? ? ）.

（A）小雨? （B）中雨? （C）大雨? （D）暴雨

【評(píng)析】該題以實(shí)際問(wèn)題為背景考查圓錐、圓柱體積相關(guān)的內(nèi)容. 該題的命制頗有創(chuàng)意，給出的定義是建立起一個(gè)判斷降雨等級(jí)的數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行判斷. 該題的不同解決途徑可以反映學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 一是根據(jù)圖形先計(jì)算高為[150 mm]的圓錐的底面直徑，再計(jì)算出積水的體積，然后等體積轉(zhuǎn)化為底面直徑為[200 mm]的圓柱，計(jì)算這個(gè)圓柱的高，并做出判斷，這種做法計(jì)算量較大. 二是利用等底、等高的圓柱和圓錐的體積關(guān)系，以及圓錐的性質(zhì)做出判斷. 因?yàn)閳A錐的體積是等底、等高的圓柱體積的[13]，而圖20中積雨水的小圓錐（陰影部分）體積是大圓錐體積的[18]，因此積雨水的小圓錐轉(zhuǎn)化為圓柱后的高度應(yīng)是[300 mm]的[124]，即[12.5 mm]，便能得出正確結(jié)果，這樣就可以避免復(fù)雜的計(jì)算.

6. 綜合法和向量法為個(gè)性化解題提供可能

例13 （全國(guó)甲卷·理19）如圖21，已知直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，側(cè)面[AA1B1B]為正方形，[AB=BC=2]，[E，F(xiàn)]分別為[AC]和[CC1]的中點(diǎn)，[D]為棱[A1B1]上的點(diǎn)，[BF⊥A1B1].

（1）證明[BF⊥DE];

（2）當(dāng)[B1D]為何值時(shí)，面[BB1C1C]與面[DEF]所成的二面角的正弦值最??？

【評(píng)析】2021年高考立體幾何解答題一般都設(shè)置兩個(gè)小題. 其中，第（1）小題是關(guān)于直線、平面平行或垂直的位置關(guān)系的論證;第（2）小題是計(jì)算題，一般是直線、平面有關(guān)角的計(jì)算或距離、體積等計(jì)算. 對(duì)于位置關(guān)系的論證是立體幾何部分的重要考查內(nèi)容，要求學(xué)生根據(jù)已知的事實(shí)，依據(jù)定義、定理、性質(zhì)，論證某個(gè)數(shù)學(xué)命題的正確性，并寫(xiě)出完整的推理過(guò)程. 而對(duì)幾何圖形中幾何量的計(jì)算求解是考查運(yùn)算求解能力的重要方法，要求學(xué)生能夠分析運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算公式，確定運(yùn)算程序，并且能夠在實(shí)施運(yùn)算過(guò)程中遇到障礙時(shí)進(jìn)行靈活調(diào)整. 在證明[BF⊥DE]中考查學(xué)生的靈活的轉(zhuǎn)化能力，要將線與線的垂直轉(zhuǎn)化為線與面的垂直，學(xué)生需要對(duì)幾何圖形有準(zhǔn)確的判斷，從而尋找到輔助平面. 設(shè)[G]是[BC]的中點(diǎn)，將[BF⊥DE]轉(zhuǎn)化為證明[BF⊥]平面[EGB1D]（圖22）. 在探究平面[BB1C1C]與平面[DEF]所成的二面角時(shí)，如果知道二面的平面角，則問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單. 但由于圖中平面[DEF]與平面[BB1C1C]只出現(xiàn)一個(gè)公共點(diǎn)[F]，所以先要確定這兩個(gè)平面的交線. 我們可以延長(zhǎng)[EF]交[A1C1]于點(diǎn)[M]，連接[DM]交[B1C1]于點(diǎn)[N]，則[FN]是平面[DEF]與平面[BB1C1C]的交線（圖23），由于[EG⊥]平面[BB1C1C]，過(guò)點(diǎn)[G]作[GH⊥FH]于點(diǎn)[H]，則[∠EHG]是平面[DEF]與平面[BB1C1C]所成二面角的平面角. 由于[EG=1]，在[Rt△EGH]中，[GH]最大時(shí)[sin∠EHG]最小，所以當(dāng)點(diǎn)[H]與點(diǎn)[F]重合時(shí)，[GH]最大. 在對(duì)線面關(guān)系充分了解的基礎(chǔ)上，可以建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)完成二面角的計(jì)算，由于[AB⊥BC]，[BB1⊥]平面[ABC]. 因此，以點(diǎn)[B]為原點(diǎn)，[BA]所在直線為[x]軸，[BC]所在直線為[y]軸，[BB1]所在直線為[z]軸建立空間直角坐標(biāo)系[B-xyz]，運(yùn)用向量方法完成求解.

三、復(fù)習(xí)建議

高考對(duì)立體幾何的要求決定了試題側(cè)重基礎(chǔ)性，適度關(guān)注綜合性和創(chuàng)新性. 立體幾何內(nèi)容重在對(duì)直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查，突出對(duì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化、推理論證和運(yùn)算求解等關(guān)鍵能力的考查. 因此，建議在立體幾何復(fù)習(xí)中，做到以下幾點(diǎn).

1. 夯實(shí)基礎(chǔ)，用典型幾何體培養(yǎng)基本思維模式

從立體幾何試題的分析可以看出，立體幾何考查的主要內(nèi)容都基于典型的簡(jiǎn)單幾何體. 復(fù)習(xí)過(guò)程中，要梳理立體幾何知識(shí)體系，以空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征在典型幾何體中的表現(xiàn)，空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系為基礎(chǔ)，認(rèn)識(shí)刻畫(huà)空間幾何圖形位置關(guān)系的基本方法，形成以公理、定義、判定、性質(zhì)、應(yīng)用為主線的認(rèn)識(shí)空間圖形的思維模式，分析清楚各種位置關(guān)系的特征和刻畫(huà)方法. 以歷年高考試題為例，研究立體幾何部分的典型問(wèn)題，編制相應(yīng)的基礎(chǔ)問(wèn)題幫助學(xué)生形成解決立體幾何問(wèn)題的基本思維模式.

2. 突出重點(diǎn)，以線面位置關(guān)系作為基石

從以上對(duì)試題命制思路的分析我們可以知道，立體幾何的考查以直線、平面位置關(guān)系的論證和度量為重點(diǎn). 因此，在立體幾何復(fù)習(xí)中，應(yīng)以直線、平面之間的平行和垂直關(guān)系為重點(diǎn)，以平行和垂直的概念、判定定理、性質(zhì)定理的復(fù)習(xí)為基礎(chǔ)，引申出除判定定理之外的能夠得出平行和垂直的條件，平行和垂直性質(zhì)的運(yùn)用等，形成分析直線、平面之間位置關(guān)系的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使其成為立體幾何復(fù)習(xí)的基石.

3. 歸納方法，以關(guān)系論證與角的計(jì)算為重點(diǎn)

立體幾何試題的主體是空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定，空間角的計(jì)算求解. 復(fù)習(xí)中要抓住這個(gè)方面的重點(diǎn)來(lái)總結(jié)方法，解決運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題的基本步驟和方法，特別要重視論證的規(guī)范表達(dá). 要?dú)w納平行和垂直的證明應(yīng)該怎樣想、怎樣畫(huà)、怎樣做、怎樣算、怎樣寫(xiě). 歸納空間角的計(jì)算有哪些類(lèi)型，哪些基本方法、難點(diǎn)和注意事項(xiàng).

4. 提升思想，以核心素養(yǎng)的提升為目標(biāo)

高考試題的解決最終反映的是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的差異. 提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的品位，要從提高思想站位開(kāi)始. 要立足核心素養(yǎng)去培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，要以辯證的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，以轉(zhuǎn)化的思想對(duì)待問(wèn)題，以一般性和特殊性去分析問(wèn)題，始終以空間圖形的特征和位置關(guān)系作為關(guān)鍵，從有圖想圖到無(wú)圖想圖，突出立體幾何中“觀察、判斷、計(jì)算、證明”的解決問(wèn)題的途徑，綜合與靈活地應(yīng)用立體幾何的知識(shí)、思想方法，選擇有效的方法去解決問(wèn)題.

5. 適度創(chuàng)新，適應(yīng)高考改革和發(fā)展的要求

新課程、新高考出現(xiàn)了很多變化，從理念目標(biāo)到內(nèi)容形式都有新的發(fā)展，復(fù)習(xí)教學(xué)要適應(yīng)高考的變化，在保證和鞏固基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，要加強(qiáng)綜合性、應(yīng)用性問(wèn)題的訓(xùn)練，增強(qiáng)對(duì)多選題、開(kāi)放題的研究和訓(xùn)練. 要把握立體幾何的整體觀點(diǎn)，在核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下，組織復(fù)習(xí)材料，側(cè)重對(duì)立體幾何知識(shí)的理解和應(yīng)用，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)遷移能力的培養(yǎng)，減少機(jī)械訓(xùn)練，整合幾何和向量方法在立體幾何中的作用，精心設(shè)計(jì)反映空間圖形運(yùn)動(dòng)變化，體現(xiàn)思維發(fā)散性，具有一定深度和廣度的試題，以適應(yīng)新高考帶來(lái)的變化.

四、模擬題欣賞

1. 某班科技興趣小組研究在學(xué)校的圖書(shū)館頂上安裝太陽(yáng)能板的發(fā)電量問(wèn)題，要測(cè)量頂部的面積，將圖書(shū)館看成是一個(gè)長(zhǎng)方體與一個(gè)等底的正四棱錐組合而成，如圖24所示. 經(jīng)測(cè)量長(zhǎng)方體的底面正方形的邊長(zhǎng)為[26 m]，高為[9 m]，當(dāng)正四棱錐的頂點(diǎn)在陽(yáng)光照射下的影子恰好落在底面正方形的對(duì)角線的延長(zhǎng)線上時(shí)，測(cè)得光線與底面夾角為30°，正四棱錐頂點(diǎn)的影子到長(zhǎng)方體下底面最近頂點(diǎn)的距離為[11.8 m]，則圖書(shū)館頂部的面積大約為（? ? ）.（[2≈1.4]，[3≈1.7]，[233≈15.2].）

（A）990 m2 （B）890 m2 （C）790 m2 （D）690 m2

答案：C.

2. 已知棱長(zhǎng)為1的正方體[ABCD-A1B1C1D1]，[M]是[BB1]的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)[P]在正方體內(nèi)部或表面上，且[MP∥]平面[ABD1]，則動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡所形成區(qū)域的面積是（? ? ）.

（A）[22]? ?（B）[2]? ?（C）1? ?（D）2

答案：A.

3.（多選題）如圖25，平面四邊形[ABCD]中，[E，F(xiàn)]分別是[AD，BD]的中點(diǎn)，[AB=AD=CD=2，BD=22]，[∠BDC=90°]，將[△ABD]沿對(duì)角線[BD]折起至[△ABD]，使平面[ABD⊥]平面[BCD]，則四面體[ABCD]中，下列結(jié)論正確的是（? ? ）.

（A）[EF∥]平面[ABC]

（B）異面直線[CD]與[AB]所成的角為90°

（C）異面直線[EF]與[AC]所成的角為90°

（D）直線[AC]與平面[BCD]所成的角為30°

答案：ABCD.

4.（多選題）在棱長(zhǎng)為2的正方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[P，Q]分別是線段[B1D1，AC]上的動(dòng)點(diǎn)，如圖26所示. 則下列說(shuō)法正確的有（? ? ）.

（A）線段[PQ]長(zhǎng)度的最小值為2

（B）滿足[PQ=22]的情況只有4種

（C）無(wú)論點(diǎn)[P，Q]如何運(yùn)動(dòng)，直線[PQ]都不可能與[BD1]垂直

（D）三棱錐[P-ABQ]的體積大小只與點(diǎn)[Q]的位置有關(guān)，與點(diǎn)[P]的位置無(wú)關(guān)

答案：ABD.

5. 如圖27，在[△ABC]中，[AC=1]，[BC=3]，[C=π2]，點(diǎn)[D]是邊[AB]（端點(diǎn)除外）上的一動(dòng)點(diǎn)，若將[△ACD]沿直線[CD]翻折，能使點(diǎn)[A]在平面[BCD]內(nèi)的射影[A]落在[△BCD]的內(nèi)部（不包含邊界），且[AC=73]. 設(shè)[AD=t]，則[t]的取值范圍是? ? ? . [ ]

答案：[12， 21-32].

6. 已知直線[l]不在平面[α，β]內(nèi)給出下列三個(gè)論斷：① [l⊥α];② [l]∥[β];③ [α⊥β]. 以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：? ? ? ? ? ? .

答案：若[l⊥α]，[l]∥[β]，則[α⊥β].（答案不唯一，或者若[l⊥α]，[α⊥β]，則[l]∥[β].）

7. 如圖28，在三棱錐[P-ABC]中，[BC⊥AC]，[BC⊥PC]，[AC=BC=6]，[PA=PC=5]，[D，E]分別是[AC，PC]的中點(diǎn).

（1）求證：平面[PAC⊥]平面[ABC];

（2）求二面角[A-DE-B]的余弦值.

答案：（1）略;（2）[-22929].

8. 如圖29，在三棱柱[ABC-A1B1C1]中，四邊形[AA1C1C]是邊長(zhǎng)為[4]的正方形，[AB=3]. 再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)能解決下面問(wèn)題的條件作為已知，并作答.

（1）求證：[AB⊥]平面[AA1C1C];

（2）求直線[BC]與平面[A1BC1]所成角的正弦值.

條件①：[BC=5].

條件②：[AB⊥AA1].

條件③：平面[ABC⊥]平面[AA1C1C].

答案：選擇①②，（1）略;（2）[1225].

選擇①③，（1）略;（2）[1225].

參考文獻(xiàn)：

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