朱承澄

[摘? ? ? ? ? ?要]? 在微積分教學(xué)中堅(jiān)持教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)代化，吸收近代數(shù)學(xué)的思想方法和理論，引入零測(cè)度集的概念，借助勒貝格給出的黎曼可積的充要條件證明函數(shù)的可積性，簡(jiǎn)化高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析中有關(guān)定積分性質(zhì)的證明，既便于教師對(duì)定積分相關(guān)性質(zhì)的講解，也有助于學(xué)生加深對(duì)定理的理解，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是對(duì)微積分教學(xué)現(xiàn)代化的新探索。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 零集;黎曼可積;定積分性質(zhì);可積性條件

[中圖分類(lèi)號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2021）36-0098-02

一、引言

教學(xué)內(nèi)容現(xiàn)代化既是教育現(xiàn)代化的主旋律，又是高校人才培養(yǎng)質(zhì)量提升從教育大國(guó)到教育強(qiáng)國(guó)轉(zhuǎn)變的基本保證。教育現(xiàn)代化包含教育技術(shù)現(xiàn)代化和教學(xué)內(nèi)容現(xiàn)代化兩方面。在微積分教學(xué)中，函數(shù)的黎曼可積性證明以及定積分性質(zhì)的證明內(nèi)容抽象、技巧性高、難度系數(shù)大，一直是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。通常的高等數(shù)學(xué)課堂上基本都是只介紹結(jié)論，不講證明。這樣處理雖然降低了學(xué)習(xí)難度，減少了學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，但是不利于學(xué)生對(duì)定理結(jié)論的理解，也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。而在通常的數(shù)學(xué)分析課堂上，雖然在介紹定理結(jié)論的同時(shí)，也講解定理的證明，但是其理論依據(jù)是用函數(shù)的達(dá)布上和與達(dá)布下和來(lái)描述可積的充要條件，證明過(guò)程煩瑣并且十分抽象，難以被學(xué)生接受，課堂教學(xué)效果不理想。因此，在教學(xué)過(guò)程中，我們對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行了相應(yīng)的改進(jìn)，在注重教育技術(shù)現(xiàn)代化的同時(shí)，堅(jiān)持教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)代化，吸收近代數(shù)學(xué)的思想方法和理論，改革教學(xué)內(nèi)容，變革數(shù)學(xué)理論的呈現(xiàn)形式，提高課堂教學(xué)效果的教學(xué)理念，積極探索，大膽實(shí)踐，取得了比較理想的教學(xué)效果和一線教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

二、黎曼可積的等價(jià)條件

微積分教科書(shū)[1-2]中的黎曼可積的充要條件是使用函數(shù)的達(dá)布上和與達(dá)布下和來(lái)描述的，反映了可積函數(shù)在分割對(duì)應(yīng)的小區(qū)間上的振幅不能很大，但是沒(méi)有把被積函數(shù)的連續(xù)性與可積性之間的內(nèi)在聯(lián)系完全展現(xiàn)出來(lái)。因此，學(xué)生對(duì)定積分知識(shí)的理解和掌握程度遠(yuǎn)不如微分學(xué)理論的知識(shí)。但是定積分在后續(xù)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、常微分方程等理工科必修的課程中又要頻繁地使用，因此，如何讓學(xué)生透徹地理解黎曼可積的充要條件，可積函數(shù)類(lèi)和定積分的相關(guān)性質(zhì)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教師需要思考的問(wèn)題。在近代數(shù)學(xué)中由勒貝格給出的一個(gè)揭示可積函數(shù)本質(zhì)的定理，即勒貝格定理，則清晰地刻畫(huà)了可積性與連續(xù)性的內(nèi)在聯(lián)系。在介紹這個(gè)定理之前，為了表述的方便，需要一個(gè)概念——零集[3-4]。

定義1 如果一個(gè)點(diǎn)集可以被總長(zhǎng)度充分小的至多可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，則稱這個(gè)點(diǎn)集為零測(cè)度集，簡(jiǎn)稱為零集。

直觀上，零集可想象為“很小”的集合，不過(guò)零集仍然可能很復(fù)雜。特別是我們大家都熟知的有理數(shù)集是零集。若一個(gè)命題在某集合上除一個(gè)零集以外處處成立，就說(shuō)它在這個(gè)集合上幾乎處處成立。

無(wú)論是文科生還是理科生，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的時(shí)候，我們都接觸過(guò)振幅這個(gè)概念。一個(gè)函數(shù)的振幅等于這個(gè)函數(shù)的最大值減去最小值。結(jié)合上面給出的零集的定義我們可以得到下面的結(jié)論：

引理1 函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)處的振幅為零。

對(duì)于這個(gè)引理1也很好理解，一個(gè)點(diǎn)的最大值和最小值都是它自己，因此振幅是零。借助零集的概念，勒貝格定理可以陳述為：

定理1 設(shè)f（x）是有限閉區(qū)間上的有界函數(shù)，則f（x）在限閉區(qū)間上黎曼可積的充要條件是f（x）在限閉區(qū)間上間斷點(diǎn)的集合是零集，即幾乎處處連續(xù)。

如前所述，通常的數(shù)學(xué)分析、高等數(shù)學(xué)和微積分教材中都是借助達(dá)布上和與達(dá)布下和去描述黎曼可積的充要條件，在這種描述中還會(huì)涉及分割以及分割的細(xì)度問(wèn)題，這些知識(shí)都非常抽象，對(duì)于剛剛進(jìn)入大一的學(xué)生來(lái)說(shuō)，接受起來(lái)確實(shí)有一定的困難。所以多數(shù)學(xué)生學(xué)完了定積分之后只記得老師講過(guò)定積分是一個(gè)“分割，求和，取極限”的過(guò)程，至于怎么分割、為什么要求和、如何取極限，他們都是一頭霧水。作為高等數(shù)學(xué)教師或者數(shù)學(xué)分析教師，在講解分割的細(xì)度以及黎曼和的過(guò)程中看到學(xué)生坐在下面一臉迷茫的時(shí)候，也無(wú)數(shù)次思考過(guò)應(yīng)該如何調(diào)整自己的教學(xué)方法或者改進(jìn)自己的表達(dá)方式才可以讓學(xué)生真正明白定積分理論的本質(zhì)。我們上面的定理1就給出了判定可積的另外一種方法，這種方法只需要了解零集概念和振幅就可以了。在教師授課的過(guò)程中零集的概念可以通過(guò)畫(huà)一條簡(jiǎn)單的數(shù)軸讓學(xué)生直觀地理解如何用開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋這條數(shù)軸。而振幅只需要給學(xué)生復(fù)習(xí)一下高中學(xué)過(guò)的三角函數(shù)的知識(shí)，借助正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像就可以講解清楚。這樣的授課思路比講解達(dá)布上下和以及分割的細(xì)度要簡(jiǎn)便不少，學(xué)生也更容易理解和接受。畢竟大一的學(xué)生剛剛經(jīng)歷過(guò)高考，對(duì)高中的數(shù)學(xué)知識(shí)還是爛熟于胸的。這樣，數(shù)學(xué)分析、高等數(shù)學(xué)和微積分教材中關(guān)于定積分的可積函數(shù)類(lèi)以及定積分性質(zhì)的證明都可以直接應(yīng)用定理1去簡(jiǎn)化證明，進(jìn)而提高教學(xué)效果。比如，連續(xù)函數(shù)（間斷點(diǎn)集合是空集）、有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)、單調(diào)函數(shù)（間斷點(diǎn)為至多可數(shù)個(gè)）、黎曼函數(shù)（間斷點(diǎn)集合是有理數(shù)集）等滿足定理1的條件，它們的間斷點(diǎn)集合都是零集，從而這些函數(shù)都可積。即有下面的可積函數(shù)類(lèi)。

定理2（連續(xù)必可積） 若一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則此函數(shù)在這個(gè)閉區(qū)間上可積。

定理3（單調(diào)必可積） 若一個(gè)函數(shù)是閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則此函數(shù)在這個(gè)閉區(qū)間上可積。