許萬成

(江蘇省建湖縣第二中學(xué) 224700)

不等式在實(shí)際生活中的應(yīng)用非常廣泛，因此它是歷年高考考查的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，經(jīng)常與其它數(shù)學(xué)知識(shí)比如函數(shù)、方程、解析幾何等綜合起來考查.在這類問題的考查中，同學(xué)們對于含參的問題處理起來都是比較頭疼的，針對這種情況，筆者總結(jié)了三種常見的處理策略，現(xiàn)在以例題的形式呈現(xiàn)給同學(xué)們.

一、判別式法

有關(guān)含參數(shù)的一元二次不等式問題，若能把不等式轉(zhuǎn)化成一元二次函數(shù)或者一元二次方程，通過根的判別式或者數(shù)形結(jié)合思想，可以使得問題得到順利解決.

例1 對于x∈R,不等式x2-2x+3-m≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

思維點(diǎn)撥不等式x2-2x+3-m≥0對于一切實(shí)數(shù)恒成立等價(jià)于對應(yīng)二次函數(shù)的圖象恒在x軸的上方.

解析不妨設(shè)y=x2-2x+3-m，其函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，為了使y≥0(x∈R)恒成立，只需對應(yīng)方程的Δ≤0，即(-2)2-4(3-m)≤0.

解得m≤2，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,2]

評注對于在一切實(shí)數(shù)上恒成立的一元二次不等式問題，可以轉(zhuǎn)化為對應(yīng)二次函數(shù)圖象的分布，利用判別式進(jìn)行快速求解.

二、分離變量法

如果能夠?qū)?shù)分離出來，建立明確的參數(shù)和變量x的關(guān)系，那么可以利用函數(shù)最值求解.a>y恒成立?a>ymax,a

例2 已知函數(shù)y=x2-ax(a∈R)在x∈[1,+∞)時(shí)，y≥-x2-2恒成立，求a的取值范圍.

故所求a的取值范圍是(-∞,4].

評注在二元不等式中，如果可以很容易地將參數(shù)與變量分離開來構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù)，將求參數(shù)范圍問題轉(zhuǎn)化為求最值問題來處理，那么我們經(jīng)常使用分離變量法來處理有關(guān)參數(shù)問題.

三、變更主元法

在有幾個(gè)變量問題中，常有一個(gè)變元處于主要地位，我們稱之為主元.在解含參不等式時(shí)，有時(shí)若能夠換個(gè)角度，變參數(shù)為主元，可以得到意想不到的效果，使得問題可以快速解決.

例3 不等式t2-at≥0對所有的a∈[-1，1]都成立，則t的取值范圍是____．

思維點(diǎn)撥看作關(guān)于a的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)恒成立問題列出不等式組，求得t的范圍.

故答案為：(-∞,-1]∪{0}∪[1,+∞).

評注在含參數(shù)不等式恒成立的問題中，參數(shù)和未知數(shù)是相互制約、相互依賴的關(guān)系.本題已知參數(shù)a的取值范圍，求t的取值范圍，若能夠轉(zhuǎn)換兩者中的地位，則關(guān)于t的不等式就轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，問題既可以迎刃而解了.