例談數(shù)形雙視角解決向量的夾角問(wèn)題

顧予恒

(浙江省杭州第二中學(xué)錢江學(xué)校 311215)

向量的夾角是向量概念中的一大要素，是刻畫(huà)兩個(gè)向量之間相對(duì)位置關(guān)系的重要量.近年來(lái)，它已成為向量考查的重要知識(shí)點(diǎn)之一.向量的夾角既有明顯的幾何特征，又與數(shù)量積運(yùn)算有著密切的聯(lián)系，因此也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的重要陣地.

一、代數(shù)視角，公式運(yùn)算

例1已知非零平面向量a,b滿足|a|=2|b|，且(a-b)⊥b，則a,b的夾角為( ).

解析由(a-b)⊥b，得(a-b)·b=0.

即a·b=b2，即|a|·|b|cosθ=|b|2.

點(diǎn)評(píng)向量的數(shù)量積運(yùn)算中蘊(yùn)含夾角余弦值，因此通過(guò)向量的代數(shù)運(yùn)算，可以方便地求出夾角.

例2 非零向量a,b滿足2a·b=a2·b2，|a|+|b|=2，則a與b的夾角的最小值是____.

解析由(|a|+|b|)2=4,得|a|2+|b|2=4-2|a|·|b|≥2|a|·|b|，即|a|·|b|≤1.

例3 設(shè)向量e1,e2滿足|e1|=2,|e2|=1，e1,e2的夾角是60°，若2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角，則t的取值范圍是____.

解析因?yàn)?te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角，故(2te1+7e2)·(e1+te2)<0，且2te1+7e2與e1+te2不反向共線.

點(diǎn)評(píng)兩個(gè)向量成銳角或鈍角，與數(shù)量積為正或?yàn)樨?fù)有關(guān)，但不是充要條件，要注意共線的特例，往往是利用共線條件進(jìn)行剔除.

解析設(shè)P(x,y)，則Q(x,-y).

點(diǎn)評(píng)建系條件下的向量夾角坐標(biāo)表示形式也是求解夾角的一種有力工具.

分析本題看似是一道三角函數(shù)的問(wèn)題，但其研究的對(duì)象是三角形的三個(gè)角，那么如何使用向量方法來(lái)刻畫(huà)三角形三個(gè)內(nèi)角的余弦值呢？

二、幾何視角，圖形探究

如果能利用向量的幾何表示作出圖形，那么用平面幾何的知識(shí)也能幫助探求夾角.

點(diǎn)評(píng)本題是用向量刻畫(huà)了米勒問(wèn)題(山高模型)中的仰角差，教材中的計(jì)算山高、塔高的問(wèn)題就是這類問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)模型.在直角三角形中，利用仰角的正切值來(lái)研究仰角差比較便利.

例7 已知平面單位向量a,b滿足a·b=0，記f(x)=tan〈b+xa,b+(x-1)a〉，則f(x)的最大值為_(kāi)___.

圖4 圖5

(1)如圖4，當(dāng)點(diǎn)C和點(diǎn)D在點(diǎn)B的同側(cè)，設(shè)BC=x≥1，BD=x-1，則tan∠BOC=x，tan∠BOD=x-1.

點(diǎn)評(píng)本題是例6的進(jìn)化版，用向量刻畫(huà)了平行線上的兩等距離動(dòng)點(diǎn)，研究向量的夾角，實(shí)質(zhì)還是仰角差模型的應(yīng)用，但要注意有兩種情況分類討論.

例8 已知平面向量a,b,c滿足|c|=4，a·(c-a)=b·(c-b)=3，當(dāng)a與b的夾角最大時(shí)，a·b=____.

分析注意到題干條件a·(c-a)=b·(c-b)=3是同構(gòu)式，刻畫(huà)的是同一個(gè)圓.

點(diǎn)評(píng)本題用向量刻畫(huà)了一個(gè)幾何知識(shí)點(diǎn)，即圓外一點(diǎn)與圓上兩點(diǎn)連線的夾角最大為切線角，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓外一點(diǎn)與圓心連線距離最短.

例9 已知平面向量a,b,c,e滿足|a|=4，|b|=|c|=2,|e|=1，則tan〈a+b+e,a+c+e〉的最大值是____.

分析注意到要求的角〈a+b+e,a+c+e〉中有共同的元素a+e，故視為整體.

點(diǎn)評(píng)本題是例8的升級(jí)版，考點(diǎn)依然是圓的切線角最大，但對(duì)向量幾何作圖提出了更高的要求.

三、數(shù)形結(jié)合，比翼齊飛

靈活運(yùn)用代數(shù)與幾何多角度研究夾角問(wèn)題，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象的核心素養(yǎng).

記E2(x,y)，則由山高模型知，

要求cos2θ的最小值，即求tanθ最大時(shí)的θ值.

至此，向量的夾角問(wèn)題得到了很好的解決.向量作為數(shù)形結(jié)合的主陣地，處理問(wèn)題的方法一般也有代數(shù)的數(shù)量積運(yùn)算與幾何的圖形背景兩個(gè)角度.在日常的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，只有不斷加強(qiáng)兩方面的研究，才能在數(shù)與形之間自由切換，收放自如.