許亮，鄒云華，馮俊

（1.湖北省交通運輸廳公路管理局，武漢430030；2.湖北交投智能檢測股份有限公司，武漢430050）

1 引言

長江大橋由于其修長且具有柔性的結(jié)構(gòu)形式，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)主要振型模態(tài)頻率值較低，極易與風(fēng)、地震、車輛等外部荷載作用產(chǎn)生耦合振動效應(yīng)，從而給橋梁結(jié)構(gòu)帶來損傷，并且影響橋梁的安全正常運營。作為大橋運營期間主要的檢測手段，健康監(jiān)測系統(tǒng)對于橋梁正?；虍惓顟B(tài)的判斷分析起到了至關(guān)重要的作用。本文采用模態(tài)置信準則（MAC）評價石首長江公路大橋振動傳感器的配置和優(yōu)化。

2 振動傳感器優(yōu)化布置原則

基于有限元分析結(jié)果，橋梁結(jié)構(gòu)各固有振型在測點位置的振型值便形成了多組相互正交的向量，其與質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交。但由于振動測點布置數(shù)量遠小于結(jié)構(gòu)實際自由度，且傳感器測試存在精度及噪聲影響，實測模態(tài)向量不一定正交，極有可能出現(xiàn)由于模態(tài)向量空間夾角偏小而丟失或錯誤分析重要模態(tài)的情況[1]。因此，振動測點布置應(yīng)使各階模態(tài)向量保持較大的空間角，即保證各模態(tài)向量最大可能不相似。

目前，橋梁振動傳感多以均勻布置為主，并不能保證各主振型向量間擁有較大空間角，國外一些學(xué)者認為模態(tài)置信準則（MAC）是評價振型模態(tài)向量空間角較好的工具，可用于傳感器的優(yōu)化布置。模態(tài)置信準則（MAC）表達式為：

式中，MACij為αi、αj2個模態(tài)向量的模態(tài)置信準則的值；αi、αj分別表示橋梁第i階、第j階振型模態(tài)在相同測點處的振型模態(tài)向量；αiT為αi的轉(zhuǎn)置向量。MACij取值范圍為0≤MACij≤1。當MACij=0時，表明向量αi、αj的空間交角為90°，即2個振型向量線性無關(guān)，容易分辨；MACij=1（i=j）時，表明向量αi、αj的空間交角為0°，2個振型向量線性相關(guān)，不能分辨；0＜MACij＜1時，2個振型向量相關(guān)性介于二者之間。所以，振動測點的布置應(yīng)該使MAC矩陣非對角元素最小化。

根據(jù)規(guī)范要求，橋梁結(jié)構(gòu)整體響應(yīng)測點布置選擇應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)動力計算結(jié)果、振型特點及所需的監(jiān)測振型階數(shù)綜合確定，振動傳感器宜布設(shè)在結(jié)構(gòu)主要振型最大振幅或較大部位。對感興趣的m階振型選出n個測試自由度布置測點，每個測試自由度對應(yīng)有限元模型中的相應(yīng)節(jié)點位置，以φnm表示n個測點自由度形成的m階模態(tài)向量矩陣。則m階振型向量的MAC矩陣可表示為：

式中，φi、φj分別表示第i階、j階模態(tài)振型在n個測點處的振型向量（1≤i≤m，1≤j≤m）。Mij的取值范圍為0≤Mij≤1。假設(shè)Hmm=φTmm×φmm，hij為矩陣Hmm的第i行、j列元素值,則式（2）可變換為：

進行振動測點優(yōu)化的過程就是添加或刪減測試自由度的過程。根據(jù)優(yōu)化方式不同，存在3種優(yōu)化形式：

1）增加測試自由度數(shù)量；

2）在特定測試自由度數(shù)量下優(yōu)化測點布置；

3）基于有限元模型重新優(yōu)化。

為了使MAC矩陣非對角元素均值或最大值趨于最小化，每次增加（減少）1個振動測點，相當于每次在矩陣φ中增加（減少）1個測試自由度Ψk=[φk1，φk2，…，φkm][Ψk為由于增加或減少1個振動測點，φnm向量矩陣對應(yīng)增加或減少的1個行向量；φkm為增加或減少的1個行向量的最后1個元素值。增加時，k為結(jié)構(gòu)當前剩余可選的測試自由度（例如，向量矩陣增加一個測點時，而剩余可布置測點的節(jié)點數(shù)為p，則n＜k≤n+p）；減少時，k為結(jié)構(gòu)當前已選擇的測試自由度（例如，向量矩陣減少一個測點時，1≤k≤n），即在原矩陣φ中增加（減少）1行元素值]。當增加（減少）1個自由度時,可得新的MAC矩陣元素[2，3]為[式（4）表示增加，式（5）表示減少]：

式中，φki、φkj分別為Φnm增加（減少）一個自由度后變成的矩陣Φ（n+1）m[Φ（n-1）m]的第n+1（n-1）行第i列和第j列元素值。

測點優(yōu)化計算時，將其他可選的測點自由度逐一代入式（4）或（5）進行迭代計算，可得到對應(yīng)個數(shù)的新MAC矩陣，比較各新矩陣非對角元素最大值與原矩陣的大小，取最大值最小的MAC矩陣作為此輪迭代計算成果。重復(fù)此步驟，直到所得新的MAC矩陣非對角元素值小于預(yù)期值為止。通過VBA編程分別計算增加測試自由度數(shù)量、保持測試自由度數(shù)量不變以及基于有限元模型選擇初始測試自由度3種優(yōu)化布置方案。

3 石首長江公路大橋有限元模型

石首長江公路大橋橋跨布置為（75 m+75 m+75 m）+820 m+（300 m+100 m），鋼混結(jié)合面位于北塔附近，并伸入主跨距北塔中心線26.5 m；北邊跨采用混凝土主梁，長251.5 m；主跨和南邊跨采用鋼主梁，全長1 193.5 m。主橋采用MIDAS Civil軟件模擬計算，全橋離散為1 174個節(jié)點，957個單元，其中，主梁節(jié)點編號為1#～565#。邊界條件：過渡墩、輔助墩位置均為縱向活動，豎向約束，過渡墩的球型支座具有橫向限位功能，索塔位置設(shè)置橫向抗風(fēng)支座；索塔塔底和基礎(chǔ)采用固結(jié)；斜拉索與主梁采用剛臂連接；索塔位置縱向阻尼器未安裝。大橋有限元分析模型如圖1所示。

圖1 大橋有限元分析模型

大橋健康監(jiān)測系統(tǒng)[4]關(guān)注的主梁主振型為前10階，包括1階縱飄振型、6階豎彎振型以及3階側(cè)彎振型。本文主要研究豎彎振型測點布置，輔以側(cè)彎振型進行驗證。

為方便布置及統(tǒng)一管理，大橋健康監(jiān)測系統(tǒng)振動測點均勻布置在各跨等分點及主跨最大撓度處，振動測試自由度布置在節(jié)點298#、360#、404#、498#和518#處，測試自由度所在節(jié)點布置如圖2所示，方案對應(yīng)的MAC矩陣非對角元素最大值為0.646 5，第7、8階與第10階振型向量相似度較高，實測時難以分辨。

圖2 大橋振動測點優(yōu)化布置匯總圖

4 振動測點布置優(yōu)化分析

如前文所述，模態(tài)置信準則（MAC）沒有正交性檢查嚴格，其不需要考慮結(jié)構(gòu)質(zhì)量或剛度矩陣，適用于質(zhì)量或剛度分布較均勻的橋梁或橋跨。石首長江公路大橋北邊跨混凝土梁段的質(zhì)量及剛度均大于鋼箱梁橋跨，振幅較大值集中在跨中部位，在各跨跨中布置豎向傳感器即可。針對大橋主跨及南邊跨，振動傳感器布置可以采用如下4種方式優(yōu)化。

4.1 增加測試自由度數(shù)量的測點優(yōu)化布置

選取主梁剩余可布置傳感器的節(jié)點進行迭代計算，迭代計算的MAC矩陣最大值變化曲線如圖3所示。當選取8個測試自由度，曲線變化趨于平緩時，矩陣非對角元素最大值減小為0.083 4，達到預(yù)期效果。

圖3 增加測試自由時MAC矩陣非對角元素最大值變化規(guī)律圖

4.2 特定測試自由度數(shù)量下的測點優(yōu)化布置

考慮加入相比健康監(jiān)測方案更為優(yōu)化的測試自由度，將原有測試自由度增加到12個，在此基礎(chǔ)上進行刪減迭代優(yōu)化，迭代計算的MAC矩陣最大值變化趨勢如圖4所示。程序最后優(yōu)化至5個測試自由度，分別在節(jié)點298#、336#、394#、436#及518#節(jié)點處，此時，矩陣非對角元素最大值為0.199 0，相比原有方案替換了3個測試自由度，說明原均勻布置方案尚可進一步優(yōu)化。

圖4 優(yōu)化測點布置位置時MAC矩陣非對角元素最大值變化規(guī)律圖

4.3 基于模型初始測試自由度選擇的測點優(yōu)化布置

以有限元分析模型為基礎(chǔ)，在豎向主振型振幅最大或較大位置設(shè)置測試自由度，本文初始選擇10個測試自由度，分別 位 于278#、317#、339#、354#、363#、385#、405#、423#、498#、518#節(jié)點處，同時，避免遺漏更為優(yōu)化的節(jié)點位置，利用計算程序?qū)⒊跏紲y試自由度迭代增加至14個。在初始14個測試自由度基礎(chǔ)上，進行多次刪減迭代計算，迭代計算的MAC矩陣最大值變化曲線如圖5所示。當測試自由度為7個時，曲線到達上升拐點處，此時矩陣非對角元素最大值減小為0.058 4，達到預(yù)期效果，各測試自由度所在節(jié)點位置如前述圖2所示。

圖5 基于模型計算選擇和優(yōu)化測試自由度時MAC矩陣非對角元素最大值變化趨勢圖

對比以上優(yōu)化方案，選擇基于模型初始測點選擇的優(yōu)化方案在測試自由度數(shù)量及MAC矩陣上都較為合理，適用于測點的重新布置。

4.4 側(cè)彎振型測點優(yōu)化布置

以基于模型初始測試自由度選擇的優(yōu)化方案為基礎(chǔ)，進行橫橋向振型實測自由度刪減迭代計算，經(jīng)程序計算最終優(yōu)化至3個測試自由度，分別在317#、385#及518#節(jié)點處，此時的MAC矩陣非對角元素最大值為0.002 3。

利用模態(tài)置信準則（MAC）進行振型測點優(yōu)化過程中的結(jié)論如下：（1）不同節(jié)點對MAC矩陣非對角元素的削弱能力不同，削弱能力大的節(jié)點，增加節(jié)點時程序會優(yōu)先考慮，削弱能力小的節(jié)點，減少節(jié)點時程序會優(yōu)先考慮。（2）迭代計算時，振幅較小的節(jié)點對MAC矩陣非對角元素影響較小，迭代計算時程序增加的節(jié)點集中分布于主跨跨中振幅較大的部位，這剛好與初始節(jié)點選擇的初衷一致。（3）采用基于有限元模型等方法選擇的初始節(jié)點，建議利用計算程序擴充到足夠數(shù)量后再進行刪減優(yōu)化，避免初始節(jié)點選擇產(chǎn)生遺漏。

5 結(jié)語

本文基于模態(tài)置信準則（MAC）對石首長江公路大橋健康監(jiān)測振動測點進行了分析和優(yōu)化布置，指出了原有均勻布置方式的不足，同時提出了3種測點優(yōu)化布置方案，相比在特定測試自由度數(shù)量下進行測點優(yōu)化，增加為數(shù)不多的測試自由度能帶來顯而易見的效果。對于本橋已建成的健康監(jiān)測系統(tǒng)，增加3個測試斷面，從經(jīng)濟性和實用性考慮是個較好的優(yōu)化方案。