陳浪雷,劉勇華,蘇春翌

(廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,廣東廣州 510006)

1 引言

在過(guò)去幾十年中,不確定非線性系統(tǒng)跟蹤控制研究得到了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注[1–2].考慮預(yù)設(shè)暫態(tài)性能的跟蹤控制設(shè)計(jì)是其中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題.具有預(yù)設(shè)暫態(tài)性能的跟蹤控制是通過(guò)設(shè)計(jì)合適的控制器使得跟蹤誤差滿足系統(tǒng)預(yù)設(shè)的控制性能要求.在現(xiàn)有文獻(xiàn)中,存在兩種行之有效的解決方案,即漏斗控制[3]和預(yù)設(shè)性能控制[4].漏斗控制是一種基于高增益自適應(yīng)控制方法的時(shí)變控制策略,已成功地應(yīng)用于各類非線性系統(tǒng)中[5–7].另一種方法為預(yù)設(shè)性能控制,該方法主要采用誤差變換來(lái)解決系統(tǒng)跟蹤控制中的預(yù)設(shè)性能約束問(wèn)題[8–10].

近年來(lái),基于上述兩種方法,不確定非線性系統(tǒng)的預(yù)設(shè)性能跟蹤控制取得了一系列具有重要意義的研究成果[11–22].然而,這些結(jié)果存在一個(gè)共同的不足,即當(dāng)被控系統(tǒng)函數(shù)缺少足夠的先驗(yàn)知識(shí)時(shí),所設(shè)計(jì)的控制器僅能滿足閉環(huán)系統(tǒng)的預(yù)設(shè)性能要求,無(wú)法確保系統(tǒng)輸出或狀態(tài)的漸近跟蹤.為解決這一問(wèn)題,文獻(xiàn)[23]結(jié)合誤差符號(hào)魯棒積分(robust integral of the sign of the error,RISE)技術(shù)和預(yù)設(shè)性能控制方法,提出了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)漸近跟蹤控制算法,但該算法要求系統(tǒng)擾動(dòng)的一階與二階導(dǎo)數(shù)存在且有界.同時(shí),神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的使用增加了控制器的復(fù)雜度.為克服這一不足,文獻(xiàn)[24]基于切換邏輯技術(shù),設(shè)計(jì)了一種由局部控制模塊和預(yù)設(shè)性能控制模塊組成的無(wú)逼近結(jié)構(gòu)混合控制策略,在滿足輸出跟蹤預(yù)設(shè)暫態(tài)性能要求的基礎(chǔ)上,實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定性.值得注意的是,盡管文獻(xiàn)[24]保證了輸出跟蹤的預(yù)設(shè)暫態(tài)性能要求與漸近狀態(tài)跟蹤,但其無(wú)法實(shí)現(xiàn)狀態(tài)跟蹤的預(yù)設(shè)暫態(tài)性能.

基于以上討論,本文研究一類不確定非線性系統(tǒng)的預(yù)設(shè)暫態(tài)性能漸近狀態(tài)跟蹤控制問(wèn)題,提出了一種新穎的魯棒自適應(yīng)控制算法.本文的主要貢獻(xiàn)在于如下兩方面:1)采用漏斗控制技術(shù)和障礙李雅普諾夫函數(shù)方法設(shè)計(jì)時(shí)變狀態(tài)反饋控制器,有效消除了系統(tǒng)中未知非線性函數(shù)引起的技術(shù)困難;2)所提控制算法不僅保證了預(yù)設(shè)的狀態(tài)跟蹤性能,而且實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)跟蹤誤差漸近收斂至零點(diǎn).仿真結(jié)果表明了文中所提控制算法的有效性.

下文采用如下符號(hào):R,R≥0,Rn和Rn×n分別表示實(shí)數(shù),非負(fù)實(shí)數(shù),n維實(shí)向量和n×n維實(shí)矩陣的集合.|·|表示絕對(duì)值,‖·‖為歐氏范數(shù).Wr,∞(R≥0→R)表示r次連續(xù)可微函數(shù)h:R≥0→R的集合,并且h,˙h,···,h(r)在R≥0上有界.exp(·)表示指數(shù)函數(shù).ln(·)表示自然對(duì)數(shù)函數(shù).如果對(duì)任意向量z都有zTSz>0成立,或者對(duì)稱矩陣S的所有特征值都為正數(shù),則稱對(duì)稱矩陣S正定.S>0表示S正定.λmin(S)為對(duì)稱矩陣S的最小特征值.

2 問(wèn)題描述與預(yù)備知識(shí)

2.1 問(wèn)題描述

考慮如下一類單輸入單輸出非線性時(shí)變系統(tǒng):

其 中:x(t):[x1(t)··· xn(t)]T∈Rn,u(t)∈R為 控制輸入,y(t)∈R為系統(tǒng)(1)的輸出.系統(tǒng)函數(shù)f,g:R≥0×Rn →R在t上分段連續(xù),且關(guān)于x(t)滿足局部Lipschitz條件.

注1需說(shuō)明的是,許多實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(1)的形式,如單機(jī)械臂系統(tǒng)、壓電驅(qū)動(dòng)定位系統(tǒng)、倒立擺系統(tǒng)等[25].

本文的控制目標(biāo):對(duì)任意初始條件x(0)[x1(0)··· xn(0)]T,設(shè)計(jì)時(shí)變狀態(tài)反饋控制器u(t,x(t)),使得狀態(tài)跟蹤誤差e(t)在預(yù)設(shè)性能漏斗

2.2 預(yù)備知識(shí)

定義1[26]考慮初值問(wèn)題

其中:ζr:R≥0×Ξr →Rm在t上分段連續(xù),且關(guān)于ξr滿足局部Lipschitz條件,Ξr ?Rm為非空開子集.若初值問(wèn)題(5)的解不能向右再延拓,所得到的存在區(qū)間稱為解的最大存在區(qū)間.

3 自適應(yīng)控制設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

為實(shí)現(xiàn)具有預(yù)設(shè)暫態(tài)性能的漸近狀態(tài)跟蹤控制,本節(jié)提出了一種基于障礙李雅普諾夫函數(shù)的自適應(yīng)控制策略.本文的主要結(jié)果可總結(jié)為如下定理.

定理1考慮由系統(tǒng)(1)和自適應(yīng)控制器

則對(duì)任意初始條件x(0),閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)都一致有界,并且狀態(tài)跟蹤誤差在預(yù)設(shè)性能漏斗F?內(nèi)收斂至零點(diǎn).

證本證明包括3個(gè)部分.首先,證明由系統(tǒng)(1)和控制器(7)–(8)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)在最大存在區(qū)間[0,tm)上存在唯一解.其次,通過(guò)反證法證明tm+∞.最后,實(shí)現(xiàn)本文控制目標(biāo).

P1:根據(jù)式(1),可推得狀態(tài)跟蹤誤差系統(tǒng)為

由式(1)(7)和式(8)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)可表示為

P2:本部分將通過(guò)反證法證明tm+∞,不妨假設(shè)tm <+∞.

考慮如下障礙李雅普諾夫函數(shù):

其中?max,γmin為未知常數(shù).進(jìn)一步,根據(jù)引理1,對(duì)所有t ∈[0,tm),易得

顯見,若Q>0,即式(9)成立,對(duì)所有t ∈[0,tm),有

即狀態(tài)跟蹤誤差e(t)始終在預(yù)設(shè)的性能漏斗F?內(nèi).

證畢.

注4與文獻(xiàn)[11–18]提出的漸近輸出跟蹤結(jié)果以及文獻(xiàn)[23–24]所提的預(yù)設(shè)性能漸近跟蹤控制方法相比,本文所設(shè)計(jì)控制器的顯著優(yōu)點(diǎn)是在缺乏系統(tǒng)函數(shù)先驗(yàn)知識(shí)的條件下,不僅可確保漸近狀態(tài)跟蹤,而且滿足狀態(tài)跟蹤誤差的預(yù)設(shè)暫態(tài)性能要求.

4 仿真

為驗(yàn)證文中所提控制策略的有效性與通用性,本節(jié)分別對(duì)單機(jī)械臂系統(tǒng)和倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).

例1考慮如下一類單機(jī)械臂系統(tǒng):

其中:M為慣性,y(t),分別為角位置、角速度和連桿的角加速度,g9.8 m/s2為重力加速度,l和m為機(jī)械臂的長(zhǎng)度和質(zhì)量,ν(t)為機(jī)械臂的控制力,d(t)為外部擾動(dòng).

控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制器u(t)使得系統(tǒng)狀態(tài)向量x(t)[x1(t)x2(t)]T漸近跟蹤期望軌跡[sintcost]T,且狀態(tài)跟蹤誤差收斂速度不低于exp(?t).

本次仿真中,選取單機(jī)械臂的系統(tǒng)參數(shù)M1 kg·m2,m1 kg,l1 m,d(t)0.1 sint.系統(tǒng)的預(yù)設(shè)性能采用漏斗函數(shù)

來(lái)描述.為得到滿足條件(9)的正定矩陣P,令K[1 1]T,η1,通過(guò)MATLAB LMI工具箱計(jì)算可得

控制參數(shù)設(shè)置為?1,σ1和υ(t)系統(tǒng)(27)和自適應(yīng)律(8)的初始條件設(shè)置為[x1(0)x2(0)]T[0.2 1]T,1.仿真結(jié)果如圖1–3所示.顯然,在本文所提控制器作用下,狀態(tài)跟蹤不僅滿足預(yù)設(shè)的性能要求,且狀態(tài)跟蹤誤差收斂至零點(diǎn).

圖1 單機(jī)器臂的狀態(tài)跟蹤誤差‖e(t)‖F(xiàn)ig.1 State tracking error‖e(t)‖of single-link robot system

例2考慮如下一類小車倒立擺系統(tǒng):

x1(t)和x2(t)分別為擺桿的角位置和角速度,u(t)控制輸入;mc1 kg,md0.1 kg分別為小車和擺桿的質(zhì)量,l0.5 m為擺桿長(zhǎng)度的一半.系統(tǒng)(28)的初始條件設(shè)置為[x1(0)x2(0)]T[?0.1 0.2]T.控制目標(biāo)與例1相同.

圖2 單機(jī)器臂的控制信號(hào)u(t)Fig.2 Control signal u(t)of single-link robot system

圖3 單機(jī)器臂的參數(shù)估計(jì)Fig.3 Parameter estimateof single-link robot system

為驗(yàn)證本文所提控制策略的通用性,本例采用與例1完全相同的控制參數(shù),所得仿真結(jié)果如圖4–6所示.顯見,在此控制器作用下,倒立擺系統(tǒng)同時(shí)滿足了狀態(tài)跟蹤的預(yù)設(shè)性能與漸近收斂的要求.

圖4 小車倒立擺的狀態(tài)跟蹤誤差‖e(t)‖F(xiàn)ig.4 State tracking error‖e(t)‖of cart-inverted pendulum system

圖5 小車倒立擺的控制信號(hào)u(t)Fig.5 Control signal u(t)of cart-inverted pendulum system

圖6 小車倒立擺的參數(shù)估計(jì)Fig.6 Parameter estimate of cart-inverted pendulum system

5 結(jié)論

本文研究了一類不確定非線性時(shí)變系統(tǒng)的預(yù)設(shè)暫態(tài)性能漸近狀態(tài)跟蹤控制問(wèn)題.通過(guò)將漏斗控制技術(shù)和障礙李雅普諾夫函數(shù)方法結(jié)合,提出了一種新穎的魯棒自適應(yīng)狀態(tài)反饋控制策略.所設(shè)計(jì)控制器不僅實(shí)現(xiàn)了漸近狀態(tài)跟蹤,而且保證了其預(yù)設(shè)的暫態(tài)性能.仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提控制策略的有效性.