吳鳳嬌 吳治國

摘?要：本文研究了低維結(jié)合代數(shù)上修改的λ微分算子。通過方程轉(zhuǎn)化的方法將修改的λ微分算子所滿足的等式轉(zhuǎn)換為非齊次方程，然后借助MATLAB對二、三維結(jié)合代數(shù)上的情況進行求解，從而將二、三維結(jié)合代數(shù)上修改的微分算子給予分類和刻畫。

關(guān)鍵詞：結(jié)合代數(shù);修改的λ微分算子;MATLAB

Classification?of?modifiedλdifferential?operators

in?associative?algebras?of?dimensions?two?and?three

Wu?Fengjiao1?Wu?Zhiguo2

1.Basic?Course?Teaching?Department?of?Wuxi?Taihu?University?JiangsuWuxi?214000;

2.Huaibei?Normal?University?Information?Institute?AnhuiHuaibei?235000

Abstract：In?this?paper，we?study?modifiedλdifferential?operators?in?associative?algebra?of?low?dimensions.We?convert?the?modifiedλdifferential?identity?to?nonhomogeneous?equations，then?we?solve?these?equations?by?the?software?MATLAB?under?the?case?of?associative?algebras?of?dimension?two?and?three.Hence?we?classify?modifiedλdifferential?operators?in?associative?algebras?of?dimensions?two?and?three.

Keywords：Associative?algebras;Modified?λdifferential?operators;MATLAB

結(jié)合代數(shù)A稱作微分結(jié)合代數(shù)，如果有線性映射d：A→A滿足d（xy）=xd（y）+d（x）y?x，y∈A。

微分結(jié)合代數(shù)是由Ritt于1950年提出[1]。后經(jīng)過Kolchin以及其他數(shù)學(xué)家的工作，微分結(jié)合代數(shù)的研究得到快速發(fā)展，如今在數(shù)學(xué)和物理方面有著廣泛的應(yīng)用，包括：代數(shù)群[2]，operad[3-4]，范疇[5]和泊松Hopf代數(shù)[6]等。

作為微分結(jié)合代數(shù)的推廣，Guo和Keigher[7]提出了λ微分結(jié)合代數(shù)的概念。λ微分結(jié)合代數(shù)是一個結(jié)合代數(shù)A以及一個線性映射d：A→A滿足d（1A）=0，d（xy）=xd（y）+d（x）y+λd（x）d（y）?x，y∈A，其中λ為某個固定的常數(shù)。d稱為A上的權(quán)為λ的微分算子。圍繞λ微分代數(shù)有很多成果，比如在文獻[7]和文獻[8]中考慮了λ微分算子和羅巴算子的不同相容條件，[9]從范疇的觀點研究了λ微分算子。

最近，作為（λ）微分代數(shù)的推廣，文獻[10]中提出另一個算子，稱為修改的λ微分算子。修改的λ微分結(jié)合代數(shù)是一個結(jié)合代數(shù)A以及一個線性映射d：A→A滿足：

d（xy）=d（x）y+xd（y）+λxy?x，y∈A（1）

其中λ為某個固定的常數(shù)。

作為新提出的概念，修改的λ微分結(jié)合代數(shù)的研究還不是太多。但是鑒于（λ）微分代數(shù)的研究成果，我們值得對修改的λ微分結(jié)合代數(shù)給予關(guān)注。本文通過方程轉(zhuǎn)化的方法將等式（1）轉(zhuǎn)化為非齊次方程。用MATLAB解決相關(guān)線性代數(shù)的問題是一個非常有趣的課題[11]，在二、三維含單位元結(jié)合代數(shù)中，借助MATLAB對得到的方程進行求解，從而對二、三維結(jié)合代數(shù)上修改的微分代數(shù)給予分類和刻畫。

本文內(nèi)容如下：第二節(jié)，我們將修改的λ微分結(jié)合代數(shù)轉(zhuǎn)化為非齊次方程，并給出了結(jié)合代數(shù)中修改的λ微分算子所滿足的充分必要條件;第三節(jié)，我們將復(fù)數(shù)域C上含單位元的二維結(jié)合代數(shù)中修改的λ微分算子進行分類。作為推論，也將二維結(jié)合代數(shù)中的微分算子給予了分類;第四節(jié)，我們將復(fù)數(shù)域C上含單位元的三維結(jié)合代數(shù)中修改的λ微分算子進行分類，同時也將三維結(jié)合代數(shù)中的微分算子給予分類。

注記：本文在不特殊說明的情況下，所考慮的域都是指復(fù)數(shù)域C。