(3+1)維Boussinesq方程的多怪波解

鄭彭丹，席小忠

(1.中南林業(yè)科技大學(xué)涉外學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410211；2.宜春學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 宜春 336000)

非線性可積方程的孤子解對(duì)于理解非線性可積方程所描述的傳輸特性和動(dòng)力學(xué)機(jī)制具有重要意義。怪波解是一類有理函數(shù)形式的孤子解，它在空間的各個(gè)方向上都是局部的。近年來(lái)，高維非線性可積方程的怪波解越來(lái)越受到人們的關(guān)注[1-5]。

本文要研究的是如下(3+1)維Boussinesq方程[6]

utt+3(u2)xx+uxxxx-uxx-uyy-uzz=0

(1)

其中u=u(x,y,z,t)。它描述了重力波在水面上的傳播。Gai[6]得到了方程(1)的多孤子解，同時(shí)討論了孤子的傳播特性。Wu[7]等人Riemann函數(shù)討論了方程(1)的多周期波解。Xu[8]利用貝爾多項(xiàng)式得到了方程(1)的雙線性形式，雙線性B?cklund變換以及l(fā)ump解。本文打算利用以下符號(hào)計(jì)算方法討論方程(1)的多怪波解。

1 基本概念與方法

最近扎其勞教授[9]提出了一個(gè)符號(hào)計(jì)算方法來(lái)求解非線性可積方程的多怪波解，該方法簡(jiǎn)單直接有效。主要步驟如下：

首先將一個(gè)行波變換υ=x+κz-ωt代入下列非線性可積方程

Y(u,ux,uy,uz,ut,uxx,uyy,uzz,…)=0

(2)

其中κ和ω是實(shí)常數(shù)，此時(shí)方程(2)將變成一個(gè)關(guān)于υ和t的(1+1)維的非線性可積方程：

Y(u,uυ,uy,uυy,uυυ,…)=0

(3)

為了獲得方程(3)的多怪波解，我們做如下變換

(4)

將方程(4)代入方程(3)平衡最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)的系數(shù)可得m。假設(shè)I(υ,y)滿足如下式子

I(υ,y)=Fn+1(υ,y)+2νyPn(υ,y)+2μυQn(υ,y)+(μ2+ν2)Fn-1(υ,y)

(5)

其中

其中F0=1,F-1=P0=Q0=0。其他常數(shù)都是待定的實(shí)常數(shù)。將方程(4)和方程(5)代入方程(3)可得原方程的多怪波解。

2 主要結(jié)果

按照以上符號(hào)計(jì)算方法的步驟，我們將行波變換υ=x+κz-ωt代入原方程(1)中可得

(6)

其中u=u(υ,y)。假設(shè)方程(6)有如下形式的解

u(υ,y)=2?υ,υ[LogI(υ,y)]

(7)

將方程(7)代入方程(6)可得

(8)

為了獲得方程(1)的1-怪波解，我們做出如下假設(shè)

I(υ,y)=(υ-μ)2+?1(y-ν)2+?0

(9)

將方程(9)代入方程(8)可得

(10)

將方程(9)和(10)代入方程(7)，我們得到了方程(1)的1-怪波解

u(υ,y)=

(11)

怪波解(11)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)見(jiàn)圖1。

圖1 κ=-2,ω=1,μ=ν=0,(a) 三維圖形；(b) 等高線圖形

為了獲得方程(1)的3-怪波解，我們假設(shè)

I(υ,y)=υ6+?10υ4+?11υ4y2+(?12+?13y2+?14y4)υ2+?15y2+?16y4+?17y6+?18+2νy(?19+?20y2+?21υ2)+2μυ(?22+?23y2+?24υ2)+ν2+μ2

(12)

其中?i(i=10,11,…,24)、μ和ν都是實(shí)常數(shù)。將方程(12)代入方程(8)中，可得

?11=3(1+κ2-ω2),?14=3(1+κ2-ω2)2,?13=90,

(13)

其中?21和?24可以任意取值。將方程(12)和(13)代入方程(7)，我們得到了方程(1)的3-怪波解

(14)

I滿足條件(12)和(13)。怪波解(14)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)見(jiàn)圖2～圖4。

圖2 κ=-2,ω=?21=?24=1,μ=ν=0,(a) 三維圖形；(b) 等高線圖形

圖3 κ=-2,ω=?21=?24=1,μ=0,ν=100,(a) 三維圖形；(b) 等高線圖形

圖4 κ=-2,ω=?21=?24=1,μ=ν=100,(a) 三維圖形；(b) 等高線圖形

為了獲得方程(1)的6-怪波解，我們假設(shè)

(15)

其中?i(i=25,26,…,69)是實(shí)常數(shù)。將方程(15)代入方程(8)中，可得

?26=6(1+κ2-ω2),?29=15(1+κ2-ω2)2,?28=690

?50=(1+κ2-ω2)6,?49=58(1+κ2-ω2)4,?48=4335(1+κ2-ω2)2

?69=-9(1+κ2-ω2),?65=

(16)

將方程(15)和(16)代入方程(7)，我們得到了方程(1)的6-怪波解

(17)

I滿足條件(15)和(16)。怪波解(17)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)見(jiàn)圖5。

(a) 三維圖形

(b) 等高線圖形

3 總結(jié)

本文利用符號(hào)計(jì)算方法，獲得了(3+1)維Boussinesq方程的多怪波解，其中包括1-怪波解，3-怪波解和6-怪波解。通過(guò)選取參數(shù)不同的值，這些被獲得的怪波解的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)被展示在圖1～圖5。