從內(nèi)部邏輯中找準“生長點”構(gòu)建課堂的思考

徐小青

[摘 要]數(shù)學教學，如何尋找“邏輯關(guān)聯(lián)點”，是教師智慧的體現(xiàn).可以從生活經(jīng)驗入手，賦予數(shù)學實際背景，也可以不走“尋常路”，回歸數(shù)學本質(zhì)，從數(shù)學內(nèi)部邏輯關(guān)系中找準“生長點”構(gòu)建課堂，讓課堂綻放光彩.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學;邏輯;生長點;構(gòu)建課堂

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）29-0008-02

建構(gòu)主義學習觀認為，學生的學習本質(zhì)上是一種“認知建構(gòu)”的過程.新知識只有在其成為個體認知建構(gòu)的一個組成部分時，才算是意義建構(gòu)的真正完成.筆者認為，教師應該從知識結(jié)構(gòu)中厘清先后關(guān)系，然后在學生當前的認知結(jié)構(gòu)中尋找“邏輯關(guān)聯(lián)點”（“生長點”）作為新知建構(gòu)起點.因為關(guān)聯(lián)點往往不止一個，各個關(guān)聯(lián)點與新知之間的可類比程度、抽象程度也不相同，所以建構(gòu)起點的選擇成為教師智慧的主要體現(xiàn).下面筆者就以幾個教學片段為例，談幾點思考.

一、回歸根本，建立生長點

運算教學中，“法則由來”是教學的核心，它能夠幫助學生理解算理，掌握算法.基于初中生的學習要求，有理數(shù)的乘法法則是根據(jù)現(xiàn)實問題和規(guī)律探索歸納得到的，有理數(shù)的除法是作為乘法的逆運算得到的.學生在小學時已學習了非負數(shù)的乘法，也在初中學習了數(shù)軸可以表示有理數(shù)加法計算，還有一定的生活經(jīng)驗運用到了乘法（主要是非負數(shù)之間的乘法），這三部分都與乘法法則的推導有一定的邏輯關(guān)聯(lián).如何選取才能讓學生體會到含負數(shù)乘法的合理性.

教學片段1：

問題提出：類比有理數(shù)加法的運算，你認為有理數(shù)的乘法運算有哪些類型？運算結(jié)果又怎樣？

學生新接觸的運算教學，情境的引入也可以是多種角度的.如何選取恰當?shù)那榫?，幫助學生更好地理解算理，掌握算法，需要我們找到合適的生長點.開方運算是一種新型運算，學生對其沒有經(jīng)驗可言.那么平方根的生長點又在哪里呢？筆者從運算之間進行了尋找.

教學片段2：

活動一：

問題1：已知一個正方形的邊長8 cm，這個正方形的面積是多少？

這個問題實際上是求82=（）.

問題2：已知一個正方形的面積為81 cm2，這個正方形的邊長是多少？

這個問題實際上是求（）2=81.

比較上述兩個問題中的運算的區(qū)別和聯(lián)系.

出示平方根的定義.

賞析：教材中采用的是在方格紙中已知直角三角形兩直角邊求斜邊有多長的問題引入.學生可以從中體會研究平方根的必要性.但也有弊端，這一運算和學生已有認知中的哪類運算關(guān)系最緊密，體現(xiàn)不明顯.此教學片段中，從兩個問題的計算引入.問題1中的運算實際上是乘方運算中的平方運算，已知底數(shù)求冪的過程.問題2中的運算是誰的平方等于81的問題，已知冪求底數(shù)的問題.比較中不難發(fā)現(xiàn)兩者之間實際是一個互逆的過程，也就是平方運算和開平方運算是一種互逆運算，平方根的定義就呼之欲出.

二、從學生經(jīng)驗找準“生長點”

在蘇科版教材中，《有理數(shù)的乘方》這節(jié)課是新接觸的概念課.學生在此之前學習過有理數(shù)的乘法，也有生活中折紙后紙的層數(shù)、拉面根數(shù)的生活經(jīng)驗，還有數(shù)青蛙的兒歌.這三方面內(nèi)容都與乘方有一定的邏輯關(guān)聯(lián)，都可以作為本節(jié)課的引入，但哪一些更接近學生當前主觀認知結(jié)構(gòu)，就是教師需要尋找的一個節(jié)點.

教學片段3：

活動一：

問題1：邊長為3 cm的正方形的面積怎么表示？

問題2：棱長為5 cm的正方體的體積怎么表示？

問題3：將一張報紙對折再對折……對折兩次，報紙的層數(shù)怎么表示？對折三次呢？對折四次呢？

問題4：你還能舉出類似的實例嗎？

一個細胞30分鐘后分裂成2個，經(jīng)過5個小時，一個這種細胞能分裂成多少個？（如圖1）

賞析：教學過程中，教師放棄了生活情境，選擇從學生經(jīng)驗入手.先是用小學時已十分熟悉的計算正方形的面積、體積引入，這是學生最初接觸的乘方，也深知算式的特點.報紙問題也是生活中常見的實例，學生對對折后它的層數(shù)研究并不多，直接列式會讓一部分學生無從下手.有了上一問的鋪墊，學生對生活中折報紙后層數(shù)問題有了一個類比的對象，不難列出算式.解決了一個生活中的問題，也進一步了解這類運算的特點.接著問“你還能舉出類似的實例嗎？”既要求學生收集生活中的數(shù)學中的例子，豐富對這類運算的認識，也有助于學生內(nèi)化這一運算的特點.教師并沒有就此引出定義，而是又給了一個學生較陌生的細胞分裂問題，讓學生對相同因數(shù)的個數(shù)有一個主動思考的過程，再次剖析了這類運算的特點.整個過程經(jīng)歷了由“熟悉—半生半熟—陌生的”三個部分內(nèi)容，建立了不同的臺階，多層次體會相同的因數(shù)，因數(shù)的個數(shù)以及它們之間的關(guān)系，乘方的定義呼之欲出，此時再下定義就水到渠成了.

三、搭建橋梁，連接生長點

《科學記數(shù)法》是學了乘方運算后的一節(jié)衍生課，學生已經(jīng)有了乘方的經(jīng)驗，會表示整百整千數(shù)的冪的形式，為科學記數(shù)法奠定了一個必要的知識基礎(chǔ).而后立刻引入科學記數(shù)法的表示，將已經(jīng)掌握的冪的知識遷移到科學記數(shù)法中.看似水到渠成，在實際課堂中學生卻狀況頻發(fā)，不知方向.該如何在學生“已經(jīng)掌握的知識”和“需要掌握的知識”之間架起一座橋梁？教師在探究完整十整百數(shù)的冪的形式后，對教學過程做了如下調(diào)整.

教學片段4：

把下列數(shù)表示成一個數(shù)與10的乘方的積的形式.

（1）300 000 000

=3×100 000 000

=3×108

（2）25 000 000 000 000

=25×1 000 000 000 000

=25×1012

（3）265 900

=2 659×100

=2 659×102

思考：觀察上述幾道算式的運算過程，你有什么體會？是不是都將較大數(shù)簡單地表示出來了？

賞析：聯(lián)系已學知識，將[300 000 000]寫成一個數(shù)與整十整百數(shù)乘積，這就是該數(shù)的科學計數(shù)法表示.對于[25 000 000 000 000]，更多地會將它寫成[=25×1 000 000 000 000]，這樣寫也有一定的簡便作用，但這并不符合科學記數(shù)法的要求.怎樣才能讓學生體會到[a×10n]中字母[1≤a<10]的范圍要求的必要性，就出現(xiàn)了第3題.[265 900]可以表示成[2 659×102]，雖然已經(jīng)寫成一個數(shù)與10的乘方的積的形式，但是沒有將這一大數(shù)簡潔地表示出來.如何才能簡潔表示，還能統(tǒng)一標準嗎？a的范圍的討論勢在必行.“把下列數(shù)表示成一個數(shù)與10的乘方的積的形式”這一環(huán)節(jié)的設(shè)計就像在乘方和科學記數(shù)法之間搭建了一座橋梁，緊緊地連接了“乘方”這一生長點.

“任何真正的認識都是以主體已有的知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)的主動建構(gòu).”這一觀點已經(jīng)得到教師的廣泛認同.在幫助學生“主動建構(gòu)”的過程中，我們不僅要關(guān)注學生已有的外部經(jīng)驗，也要多關(guān)注數(shù)學內(nèi)部經(jīng)驗的運用.學生經(jīng)驗的調(diào)用從“教”與“學”的角度看都體現(xiàn)學生思維從低到高的發(fā)展過程，搭建知識橋梁，建構(gòu)數(shù)學知識體系.

不同教師對初中數(shù)學的知識儲備并無顯著的差異，關(guān)鍵在于能否想得到、用得好.“想得到”“用得好”的關(guān)鍵在于教師能否對學生的認知困惑處和關(guān)鍵點有準確的評估與判斷.只有找準學生的認知困惑點、疑難處，才會有意識、有針對性地尋找“生長點”.

不走尋常路，找準“生長點”，才能讓知識建構(gòu)過程更自然、高效，讓課堂綻放光彩.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 陳春燕.基于問題設(shè)計 落實核心素養(yǎng)[J].中學數(shù)學教學參考，2018（17）：5-7.

[2]? 潘小梅.關(guān)于運算教學的若干思考[J].中學數(shù)學教學參考，2016（29）：6-9.

（責任編輯 黃桂堅）