無窮級數(shù)在斐波那契數(shù)列相關(guān)性質(zhì)證明中的應(yīng)用

孫衛(wèi)衛(wèi) 王 丹

(青島城市學(xué)院，山東 青島 266106)

1 斐波那契數(shù)列及其相關(guān)性質(zhì)

斐波那契數(shù)列[1]是數(shù)論中常見的數(shù)列之一，該數(shù)列又被稱為黃金分割[2]數(shù)列。斐波那契數(shù)列由數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”。該數(shù)列具體為：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……，可以由以下遞推公式所得到

對于斐波那契數(shù)列，為什么會被稱為黃金分割數(shù)列呢？其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)一 當(dāng)n越大，F(xiàn)n越接近，其中為黃金分割率[2]，

例如，當(dāng)n=8時(shí)，F(xiàn)8=21，而，

當(dāng)n=14時(shí)，F(xiàn)14=377，而；

例如，當(dāng)n=8時(shí)，F(xiàn)8=21，F(xiàn)9=34，而

當(dāng)n=14時(shí)，F(xiàn)14=377，F(xiàn)15=610，而。

就因?yàn)橐陨闲再|(zhì)，所以，斐波那契數(shù)列被稱為黃金分割數(shù)列，下面運(yùn)用無窮級數(shù)的相關(guān)知識給出這兩個(gè)性質(zhì)的證明。

2 運(yùn)用無窮級數(shù)對斐波那契數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行證明

2.1 性質(zhì)一的證明

證明：先構(gòu)造如下無窮級數(shù)[3]

在等式(1)兩邊乘以x與x2得到如下兩個(gè)等式

用(1)-(2)-(3)得到

運(yùn)用斐波那契數(shù)列的定義可知F1=1，F(xiàn)2-F1=0，F(xiàn)n-Fn-1-Fn-2=0(n=3,4,5……)，代入上式得到

事實(shí)上，G(x)也可以展開成x的無窮級數(shù)，運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識將G(x)分解[4]為如下等式

由無窮級數(shù)中冪級數(shù)展開[3]的相關(guān)知識可得

將上式代入(4)式可得

2.2 性質(zhì)二的證明

證明：根據(jù)性質(zhì)一：當(dāng)n充分大時(shí)，F(xiàn)n就越接近于因此可得：當(dāng)n充分大時(shí)，就越接近于性質(zhì)二得證。