基于學(xué)習(xí)觀支持的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)踐理路

孫朝仁 朱桂鳳

摘? ?要

以“做數(shù)學(xué)活動(dòng)”為載體，通過(guò)“實(shí)踐中學(xué)、向?qū)嵺`學(xué)、再實(shí)踐學(xué)”頻道的確立，構(gòu)建數(shù)學(xué)化要素關(guān)系分布圖，展現(xiàn)“數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)觀”支持的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐理路。

關(guān)鍵詞

學(xué)習(xí)觀? 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)? 課堂變革

學(xué)習(xí)觀是一種形而上思想，由來(lái)已久。其中，“學(xué)”涵蓋學(xué)會(huì)、學(xué)好、學(xué)有所樂(lè)等本體論思想;“習(xí)”涵蓋練習(xí)、習(xí)得、習(xí)有所值等實(shí)踐論行為。從認(rèn)知心理學(xué)看，學(xué)習(xí)觀是人們?cè)谡J(rèn)知過(guò)程中對(duì)知識(shí)理解，知識(shí)的獲得、保持與遷移以及知識(shí)變換等知識(shí)價(jià)值認(rèn)同程度的一種客觀反映。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)論范疇，學(xué)習(xí)觀包括在實(shí)踐中學(xué)習(xí)“個(gè)體經(jīng)驗(yàn)”、向?qū)嵺`學(xué)習(xí)“事實(shí)經(jīng)驗(yàn)”和在實(shí)踐中向?qū)嵺`學(xué)習(xí)“客觀經(jīng)驗(yàn)”并“理性調(diào)用”，涉及將“具體”上升為“抽象”，將“感性”上升為“理性”，將“特殊”上升為“一般”。

本文以“做數(shù)學(xué)活動(dòng)”為載體，通過(guò)實(shí)踐中學(xué)、向?qū)嵺`學(xué)、再實(shí)踐學(xué)頻道的確立，構(gòu)建數(shù)學(xué)化要素及其關(guān)系的分布，展現(xiàn)“數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)觀”支持的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐理路（如圖1）。突出抽象、推理、建模三大能力的提升，關(guān)注“學(xué)”“學(xué)好”“學(xué)得溫情”“學(xué)得有滋有味”等課堂變革目標(biāo)的進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)。

圖1 數(shù)學(xué)化要素關(guān)系分布

一、確立“實(shí)踐中學(xué)”頻道，將具體上升為抽象

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為課堂變革的一種方式，為數(shù)學(xué)理解做出了不可替代的貢獻(xiàn)。確立“實(shí)踐中學(xué)”的頻道，就是建立“生活與數(shù)學(xué)”同行頻道，讓學(xué)生在實(shí)踐中經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化（生活→數(shù)學(xué)）和縱向數(shù)學(xué)化（數(shù)學(xué)→數(shù)學(xué)）過(guò)程。換句話說(shuō)，就是讓學(xué)生在做中和思考中，將實(shí)踐具體轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)抽象，提高用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的水平。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》開(kāi)宗明義：“使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程?！边@就要求學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣，經(jīng)歷概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程或經(jīng)歷再創(chuàng)造過(guò)程，即“了解一種理論的最好方法是找出研究那種理論原型的具體例子”。這里的“找出”意味著從具體活動(dòng)中抽象出一類(lèi)事物的規(guī)律（或數(shù)學(xué)關(guān)系），獲得個(gè)體經(jīng)驗(yàn)。因此，將具體上升為抽象，需要關(guān)注兩個(gè)方面。

1.橫向數(shù)學(xué)化實(shí)踐

讓學(xué)生在橫向數(shù)學(xué)化實(shí)踐中，將生活具體轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)具體，讓人人可學(xué)成為現(xiàn)實(shí)。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)論范疇，橫向數(shù)學(xué)化就是將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。譬如，讓學(xué)生經(jīng)歷“打印紙中的數(shù)學(xué)”做、思考的體驗(yàn)過(guò)程，可以將看不見(jiàn)的無(wú)理數(shù)概念顯化為具體的、看得見(jiàn)的概念對(duì)象，這就是一種“生活→數(shù)學(xué)”的經(jīng)典實(shí)踐樣例。具體操作過(guò)程涵蓋三個(gè)思維層次：從認(rèn)知需要層次看，讓學(xué)生將A型紙的代表A4紙的短邊有序疊合在長(zhǎng)邊上，構(gòu)造正方形（生活具體）;從審美需要看，再將構(gòu)造的正方形的對(duì)角線有序疊合在長(zhǎng)邊上（數(shù)學(xué)具體）;從自我實(shí)現(xiàn)的需要看，經(jīng)過(guò)觀察和過(guò)濾登記，發(fā)現(xiàn)正方形的對(duì)角線與A4紙的長(zhǎng)邊完全疊合，由此得知，A4紙的長(zhǎng)邊與短邊的比值為■（生活具體→數(shù)學(xué)具體）。這種直觀基礎(chǔ)上的可視化認(rèn)知過(guò)程符合初中學(xué)生“形象思維>抽象思維”的認(rèn)知心理水平，是橫向數(shù)學(xué)化常見(jiàn)的實(shí)踐樣例。當(dāng)然，將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題需要做與思考，更需要洞察與表征，方能將生活具體上升為數(shù)學(xué)具體，實(shí)現(xiàn)人人學(xué)好。有專(zhuān)家指出，“實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)是這樣的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它通過(guò)對(duì)猜想和非形式化的信念的實(shí)驗(yàn)探索，以及對(duì)此過(guò)程中所獲信息的仔細(xì)分析，最終對(duì)數(shù)學(xué)界提出的各種洞察到的事物加以組織、分類(lèi)和傳播”[2]。其中，洞察→組織→傳播的過(guò)程，就是一種“生活具體”到“數(shù)學(xué)具體”的過(guò)程，是一種“能學(xué)好”學(xué)習(xí)觀，不止于知識(shí)、方法，還在于關(guān)注人的成長(zhǎng)需要，反映實(shí)驗(yàn)育人的正確態(tài)度。

2.縱向數(shù)學(xué)化實(shí)踐

讓學(xué)生在縱向數(shù)學(xué)化實(shí)踐中，將數(shù)學(xué)具體轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)一般，讓不同發(fā)展變得可能。就認(rèn)知心理學(xué)看，縱向數(shù)學(xué)化就是讓學(xué)生在問(wèn)題解決中，將具體的一類(lèi)問(wèn)題（數(shù)學(xué)具體），轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)化的一般問(wèn)題（數(shù)學(xué)一般），突出深度學(xué)習(xí)的特征（思維的高投入），落實(shí)不同人在數(shù)學(xué)上獲得不同的數(shù)學(xué)發(fā)展目標(biāo)。譬如，圖2的設(shè)計(jì)與呈現(xiàn)，就突出數(shù)學(xué)具體到數(shù)學(xué)一般的認(rèn)知心理傾向。在變量思維的參與下，將直觀分析、綜合比較、抽象概括融于一體，建立一種穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，可變的字母，這就是數(shù)學(xué)化。其中，問(wèn)題（1）是將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言，是數(shù)學(xué)具體上升為數(shù)學(xué)一般的實(shí)踐清樣;問(wèn)題（2）是代數(shù)關(guān)系的內(nèi)部建立，是縱向數(shù)學(xué)化的初級(jí)階段;問(wèn)題（3）是變量思維與定值關(guān)系的構(gòu)建。具體實(shí)施過(guò)程，包括拼圖算圖，整體局部哲學(xué)視角，算法算理以及抽象表征等高投入思維。即在圖2②中，局部思想的結(jié)果描述是2a2+5ab+2b2，整體思想的結(jié)果描述是（2a+b）（a+2b），由此不難獲得一般化的結(jié)論2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）;在圖2③中，從整體看，陰影部分的面積可以描述為（a+b）2-（a-b）2，從局部看，陰影部分的面積為4ab，因此有（a+b）2-（a-b）2=4ab的關(guān)系產(chǎn)生，在圖2④中，S四邊形ABCD+AB·3b，S四邊形EFGH=a（AB+a-4b），根據(jù)定值思想，不難確立a=3b。這就是縱向數(shù)學(xué)化全景展示的一個(gè)好例子，是不同學(xué)生獲得不同發(fā)展的好載體。

二、構(gòu)建“向?qū)嵺`學(xué)”頻道，將感性上升為理性

“向?qū)嵺`學(xué)”是人類(lèi)獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的一般方法。數(shù)學(xué)基本事實(shí)、數(shù)學(xué)公理體系、數(shù)學(xué)概念及其要素的恰當(dāng)呈現(xiàn)，都是向?qū)嵺`學(xué)的思維產(chǎn)物。在做數(shù)學(xué)活動(dòng)范疇，構(gòu)建“向?qū)嵺`學(xué)”的頻道，就是讓學(xué)生在做數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)做數(shù)學(xué)。包括“數(shù)學(xué)過(guò)程和基于過(guò)程的數(shù)學(xué)基本能力、數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)情境”[3]等PISA描述的核心素養(yǎng)目標(biāo)。其中，數(shù)學(xué)過(guò)程應(yīng)當(dāng)包括三個(gè)階段：知識(shí)是怎么來(lái)的、知識(shí)是什么、知識(shí)是怎么去的?；卮鸷脭?shù)學(xué)過(guò)程及其相關(guān)問(wèn)題，就是做好數(shù)學(xué)的最正確學(xué)習(xí)觀，即知識(shí)來(lái)自于實(shí)踐，是向?qū)嵺`學(xué)的產(chǎn)物;知識(shí)是將實(shí)踐感性轉(zhuǎn)化為實(shí)踐理性;知識(shí)要將個(gè)體經(jīng)驗(yàn)上升為事實(shí)經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，基于數(shù)學(xué)過(guò)程的能力主要是抽象、推理和建模三大能力的針對(duì)性培養(yǎng)，數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)情境是“做數(shù)學(xué)”的兩個(gè)方面，前者是將知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)，后者是構(gòu)造向?qū)嵺`學(xué)的組塊，讓不同人學(xué)不同的知識(shí)，獲得不同的發(fā)展。其理論依據(jù)是“個(gè)體發(fā)展過(guò)程是群體發(fā)展過(guò)程的重現(xiàn)”[4]。為此，在做中學(xué)，將實(shí)踐感性上升為實(shí)踐理性，需要做好兩個(gè)方面的工作。

1.做數(shù)學(xué)

通過(guò)“做”，讓學(xué)生經(jīng)歷具體到抽象的不同層次，即情境層次、指涉層次（提到、涉及、再生）、普遍層次、形式層次，掌握不同的知識(shí)體系，并將個(gè)體經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為事實(shí)經(jīng)驗(yàn)。譬如，讓學(xué)生用1號(hào)（a×a型）、2號(hào)（a×b型）、3號(hào)（b×b型）紙片拼圖，在局部與整體哲學(xué)思想的指導(dǎo)下，研究因式分解發(fā)生過(guò)程的合情、合理、合目的性，就是通過(guò)做中學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷“具體”到“抽象”的不同層次，實(shí)現(xiàn)將“個(gè)體經(jīng)驗(yàn)”及時(shí)上升到“事實(shí)經(jīng)驗(yàn)”的理性水平。具體來(lái)說(shuō)，可設(shè)置問(wèn)題（1）讓學(xué)生用1張1號(hào)紙片和2張2號(hào)紙片拼長(zhǎng)方形，在兩種算法的參與下，可以獲得用“提公因式法”分解因式的一般方法，即a2+2ab=a（a+2b）;問(wèn)題（2）讓學(xué)生用1張1號(hào)紙片、2張2號(hào)紙片和1張3號(hào)紙片拼正方形，在兩種算法的參與下，可以獲得用“完全平方公式”分解因式的一般方法，即a2+2ab+b2=（a+b）2;問(wèn)題（3）讓學(xué)生用1張3號(hào)紙片，完全覆蓋在1張1號(hào)紙片上（設(shè)定1號(hào)紙片規(guī)格遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于3號(hào)紙片規(guī)格），在裁剪、拼接、算理、算法思維配合下，可以獲得用“平方差公式”分解因式的一般方法，即a2-b2=（a+b）（a-b）。如果說(shuō)，拼圖、覆蓋、裁剪、拼接、算圖（情境層次）是做中學(xué)的表現(xiàn)，那么概念關(guān)系、代數(shù)關(guān)系的建立則是具體到抽象的產(chǎn)物（指涉層次和普遍層次），而一提、二套、三分解（形式層次）基本方法的表征是將個(gè)體經(jīng)驗(yàn)上升為事實(shí)經(jīng)驗(yàn)的實(shí)踐清樣。這些做數(shù)學(xué)過(guò)程中的抽象層次，為“學(xué)”不同知識(shí)鋪設(shè)了經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)了學(xué)的合情、合理、合目的性。

2.用數(shù)學(xué)

通過(guò)“用”，讓學(xué)生經(jīng)歷感性到理性的不同階段，即直觀階段、分析階段、抽象階段、演繹階段（算理算法等非完全運(yùn)演、直觀運(yùn)演）、嚴(yán)謹(jǐn)階段，實(shí)現(xiàn)不同的發(fā)展目標(biāo)，并將結(jié)構(gòu)知識(shí)轉(zhuǎn)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)。譬如，圖3旨在讓學(xué)生通過(guò)用數(shù)學(xué)，經(jīng)歷感性到理性的不同認(rèn)知階段，落實(shí)不同發(fā)展目標(biāo)的可行性，并促進(jìn)“結(jié)構(gòu)知識(shí)”到“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”的轉(zhuǎn)換。具體操作過(guò)程如下：?jiǎn)栴}（1）旨在讓學(xué)生用a2+b2=（a+b）2-2ab這一數(shù)學(xué)結(jié)論，在整體思維或換元思想的參與下，獲得（40-x）2+（x-30）2的解決方案;問(wèn)題（2）旨在讓學(xué)生通過(guò)化歸轉(zhuǎn)化方法、整體思想、偶數(shù)形式服從奇數(shù)形式的思想指導(dǎo)，構(gòu)造可求解的非完全演繹推理;問(wèn)題（3）旨在讓學(xué)生通過(guò)結(jié)構(gòu)化問(wèn)題（類(lèi)問(wèn)題）解決，實(shí)現(xiàn)將知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如果說(shuō)問(wèn)題（1）（2）是用概念，問(wèn)題（3）則是將實(shí)踐感性上升為實(shí)踐理性的具體表現(xiàn)。其中，問(wèn)題（1）是理性基礎(chǔ)上的直觀階段，問(wèn)題（2）是算理指導(dǎo)下的分析階段，問(wèn)題（3）是抽象、運(yùn)演和嚴(yán)謹(jǐn)階段，是用好數(shù)學(xué)的表現(xiàn)。圖3有助于不同發(fā)展目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，是人人學(xué)好結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的好載體，是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考數(shù)學(xué)世界的好例子。

三、開(kāi)辟“再實(shí)踐學(xué)”頻道，將特殊上升為一般

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀是人們對(duì)數(shù)學(xué)本體價(jià)值的認(rèn)識(shí)，是一個(gè)人的數(shù)學(xué)世界觀和方法論體系的復(fù)合物，是對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)任務(wù)采用何種方法解決的觀念。那種只為得個(gè)答案的學(xué)習(xí)觀是需要叫停的，因?yàn)槿シ此蓟膯?wèn)題解決屏蔽了知識(shí)獲得背后人的成長(zhǎng)機(jī)制。“再實(shí)踐學(xué)”是一種數(shù)學(xué)實(shí)踐論和本體論的融合產(chǎn)物，是一種理論聯(lián)系實(shí)際的學(xué)習(xí)觀，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)繞不開(kāi)的路徑，是數(shù)學(xué)地組織數(shù)學(xué)世界的過(guò)程。在做數(shù)學(xué)活動(dòng)范疇，舉一反三是再實(shí)踐學(xué)的常見(jiàn)思維方式，元認(rèn)知監(jiān)控是再做數(shù)學(xué)的學(xué)科育人抓手，是有用組合建立的“導(dǎo)航儀”，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造的有效途徑。開(kāi)辟“再實(shí)踐學(xué)”的頻道，就是對(duì)教育不是往行李箱里塞滿(mǎn)物品過(guò)程的認(rèn)同，是讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣經(jīng)歷知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)過(guò)程、再表征過(guò)程和再描述過(guò)程，在反問(wèn)監(jiān)控和元認(rèn)知體驗(yàn)的心理前提下，建立工具性理解到關(guān)系性理解的思維橋梁。用通俗易懂的話說(shuō)，就是通過(guò)做中反思、反思中再做，將實(shí)踐特殊上升為實(shí)踐一般，并以此為基礎(chǔ)將事實(shí)經(jīng)驗(yàn)上升為客觀經(jīng)驗(yàn)。為此，通過(guò)開(kāi)辟再實(shí)踐學(xué)的頻道，將實(shí)踐特殊上升為實(shí)踐一般需要突出關(guān)注兩個(gè)方面，方能將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，將經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為方法，將素養(yǎng)轉(zhuǎn)化為人的成長(zhǎng)及學(xué)習(xí)力。

1.直覺(jué)的選擇性

關(guān)注直覺(jué)的選擇性，驅(qū)動(dòng)有用組合的發(fā)生，將事實(shí)經(jīng)驗(yàn)上升為客觀經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生獲得能力的同時(shí)知其所以然。譬如，圖4旨在讓學(xué)生體驗(yàn)做圖的過(guò)程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷直覺(jué)的選擇與登記，引動(dòng)有用組合的發(fā)生。具體做數(shù)學(xué)的過(guò)程如下：在圖4①②中，依據(jù)兩種算法，直觀寫(xiě)出事實(shí)經(jīng)驗(yàn)層面的結(jié)論，即（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2或a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）、（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc或a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）2;問(wèn)題（2）的解決突出有用組合的發(fā)生，在“用結(jié)論”條件下，可知a2+b2+c2=112-2×38=45;問(wèn)題（3）旨在讓學(xué)生體驗(yàn)“畫(huà)”的過(guò)程（見(jiàn)圖4④），并將畫(huà)的直覺(jué)選擇轉(zhuǎn)化為符號(hào)意識(shí)，即2a2+5ab+2b2=（a+2b）（2a+b）數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生式產(chǎn)生，突出建?！敖ā钡倪^(guò)程和“建”的作用。喬治·波利亞將做的過(guò)程描述為三個(gè)階段：探索階段（接近于學(xué)生的行動(dòng)和感受）、形式化階段（引入了具體概念，并上升為概念化水平）和同化階段（洞察事物內(nèi)部屬性）。問(wèn)題（1）是探索階段，應(yīng)該反映直覺(jué)的選擇性;問(wèn)題（2）是形式化階段，投射了有用組合的發(fā)生;問(wèn)題（3）是同化階段，是將事實(shí)經(jīng)驗(yàn)上升為客觀經(jīng)驗(yàn)的好問(wèn)題。如果說(shuō)，做圖是直覺(jué)洞察代數(shù)關(guān)系的客觀經(jīng)驗(yàn)，類(lèi)結(jié)構(gòu)思想是知其所以然，那么理解則是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的表現(xiàn)。

2.建模的邏輯性

關(guān)注建模的邏輯性，驅(qū)動(dòng)反問(wèn)監(jiān)控，將工具性理解（特殊）上升為關(guān)系性理解（一般），讓學(xué)生學(xué)會(huì)表達(dá)的同時(shí)提升現(xiàn)實(shí)問(wèn)題解決水平。譬如，在圖1中數(shù)學(xué)化要素的分布與構(gòu)建就在一定層面反映建模過(guò)程的邏輯性，帶有抽象→建?！媚！饽５囊话氵壿嬤^(guò)程特征。其中，反問(wèn)監(jiān)控需承擔(dān)這樣的任務(wù)，即：這類(lèi)問(wèn)題屬于哪個(gè)領(lǐng)域？（“數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的，還是“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的。）需要用怎樣的類(lèi)結(jié)構(gòu)（模型）去研究？（方程模型、函數(shù)模型、不等式模型、綜合模型、數(shù)據(jù)分析模型、非標(biāo)準(zhǔn)模型、超回歸模型及各模型內(nèi)部要素和要素關(guān)系等。）“你是怎么想到的？還有沒(méi)有更好的方法？下一步該怎么思考？”等等。這些反問(wèn)、問(wèn)中之問(wèn)、逐級(jí)逐層的“內(nèi)問(wèn)”，是數(shù)學(xué)特殊上升為數(shù)學(xué)一般必經(jīng)思維之途，是數(shù)學(xué)地表達(dá)數(shù)學(xué)世界的產(chǎn)物。圖4反映代數(shù)建模的邏輯過(guò)程、圖3屬于模型的應(yīng)用與拓展、圖2是代數(shù)傾向特征鮮明的綜合模型的再現(xiàn)。需要指出的是，圖1中的“現(xiàn)實(shí)問(wèn)題→現(xiàn)實(shí)模型”[5]屬于工具性理解的常見(jiàn)信息組合與加工方式，圖1中的“數(shù)學(xué)模型→數(shù)學(xué)問(wèn)題解答→數(shù)學(xué)模型應(yīng)用”屬于關(guān)系性理解的一般思維方式。這些邏輯思考方式的建立、研究與定位是提升學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的“法寶”，是做數(shù)學(xué)的理性?xún)r(jià)值和支持學(xué)習(xí)觀的根基，是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)的思維通道。

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【責(zé)任編輯? 郭振玲】