探析彈簧雙振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

胡連冬

(湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)市第七高級(jí)中學(xué) 410635)

彈簧振子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題涉及運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系、動(dòng)量能量觀念；尤其是“彈簧雙振子”運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，其運(yùn)動(dòng)情況較為復(fù)雜，物理情景學(xué)生難以想象，即使剛?cè)肼毜慕處熋鎸?duì)“彈簧雙振子”運(yùn)動(dòng)問(wèn)題也感到束手無(wú)策，因此“彈簧雙振子”運(yùn)動(dòng)問(wèn)題往往成為歷年中學(xué)物理競(jìng)賽的題型之一.

一、彈簧振子的定義

如圖1所示，把輕彈簧的一端固定，另一端連接小球或滑塊，當(dāng)輕彈簧發(fā)生形變后，小球或滑塊就在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，這種現(xiàn)象叫簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其中彈簧和小球或滑塊組成的系統(tǒng)稱為彈簧振子.如圖2中在輕彈簧的兩端各連接一個(gè)小球，當(dāng)彈簧發(fā)生形變后，該系統(tǒng)中的兩個(gè)小球就相對(duì)系統(tǒng)的質(zhì)心作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這樣的系統(tǒng)稱為“彈簧雙振子模型”，彈簧振子是一種理想化模型.

二、彈簧振子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

1.彈簧單振子運(yùn)動(dòng)規(guī)律

2.彈簧雙振子運(yùn)動(dòng)規(guī)律

(1)彈簧雙振子系統(tǒng)質(zhì)心處于靜止?fàn)顟B(tài)

例1將原長(zhǎng)為l0勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接A、B兩振子，A、B質(zhì)量分別為m1m2. 將彈簧壓縮為l后鎖定置于光滑水平面上,如圖3所示.當(dāng)彈簧突然解除鎖定后，試分析振子A、B的運(yùn)動(dòng)情況.

解析壓縮的彈簧解除鎖定后，系統(tǒng)在水平方向上不受外力，且系統(tǒng)的總動(dòng)量為零，根據(jù)動(dòng)量守恒定律可知，系統(tǒng)質(zhì)心C的速度為零.

把兩振子之間的輕彈簧等效為兩根原長(zhǎng)分別為l10和l20的輕彈簧在質(zhì)心C處串聯(lián)，兩根輕彈簧對(duì)應(yīng)的勁度系數(shù)分別為k1和k2. 這兩根輕彈簧的形變量為x1=l10-l1,x2=l20-l2.

整根彈簧的形變量為x=x1+x2,由胡克定律得：

F=k1x1=k2x2=kx

(1)

(2)

結(jié)合質(zhì)心位置分布規(guī)律有：m1x1=m2x2

(3)

(4)

(5)

分別求得兩振子振動(dòng)的位移和速度：

A、B兩振子的速度—時(shí)間圖像如圖5所示(振幅不一定相同，由振子質(zhì)量決定).

(2)彈簧雙振子系統(tǒng)質(zhì)心處于勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

例2如圖6所示，振子AB和輕彈簧連接靜止在光滑水平面上，兩振子AB質(zhì)量分別為m1m2，C表示系統(tǒng)的質(zhì)心位置，現(xiàn)給A一個(gè)水平向右大小為V0的初速度，試分析AB兩物塊的運(yùn)動(dòng)情況.

A在質(zhì)心坐標(biāo)系O′X′中相對(duì)平衡位置的距離xA相=0.

A相對(duì)質(zhì)心C的位置為：

(6)

A相對(duì)地面坐標(biāo)系的速度為：

(7)

在t=0時(shí)刻，B物塊相對(duì)質(zhì)心C振動(dòng)的初始條件為：

則B相對(duì)質(zhì)心C的振動(dòng)方程為：

同理可得B物塊在任意時(shí)刻t相對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)系o′x′的位置為：

B相對(duì)地面參考系ox的位置為：

(8)

B物塊相對(duì)地面參考系的速度為：

(9)

由(7)(9)兩式可作出AB物塊在質(zhì)量m1=m2時(shí)相對(duì)地面的v-t圖像如圖8所示.

(3)彈簧雙振子系統(tǒng)質(zhì)心處于勻變速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

例3勁度系數(shù)為k的輕彈簧，兩端系質(zhì)量為mA和mB的小球A、B，A用細(xì)線懸于天花板上，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).如圖9所示，此時(shí)彈簧長(zhǎng)度為l，現(xiàn)將細(xì)線燒斷，并以此時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，試分析任意時(shí)刻兩小球的運(yùn)動(dòng)情況(系統(tǒng)距地面足夠高)

A相對(duì)平衡位置的速度v0=0.

由彈簧單振子的振動(dòng)方程可得A球相對(duì)質(zhì)心的振動(dòng)方程分別為：

在任意時(shí)刻t,A球在質(zhì)心坐標(biāo)系o′x′中的位置和速度分別為：

以燒斷細(xì)線時(shí)A所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)o豎直向下為正方向建立如圖10所示的地面參考坐標(biāo)系ox.則在任意時(shí)刻A在ox系中的位置和速度分別為：

同理可得B相對(duì)質(zhì)心的振動(dòng)方程分別為：

任意時(shí)刻B相對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)系o′x′的位置和速度分別為：

因此任意時(shí)刻t,B相對(duì)地面坐標(biāo)系ox的位置為：

綜上所述，彈簧雙振子具有相似的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，雙振子的運(yùn)動(dòng)是振子相對(duì)系統(tǒng)質(zhì)心的簡(jiǎn)諧振動(dòng)和系統(tǒng)質(zhì)心某種運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng).