秦玉紅

摘 要：“將軍飲馬”問(wèn)題主要利用構(gòu)造對(duì)稱圖形解決求兩條和差、三角形周長(zhǎng)、四邊形周長(zhǎng)等一類最值問(wèn)題，與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形相結(jié)合，在近年的中考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常以壓軸題的形式出現(xiàn)。這類問(wèn)題不僅考查學(xué)生綜合實(shí)踐、判斷推理能力，而且培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力、直觀想象能力和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：直觀想象;數(shù)學(xué)抽象;模型思想;圖形變換;數(shù)學(xué)本質(zhì)

一、 引言

教育家張世欽認(rèn)為，學(xué)生只有在充分的具體經(jīng)驗(yàn)積累之后，才能逐漸領(lǐng)會(huì)其核心價(jià)值和本質(zhì)特征，在這個(gè)過(guò)程中，教師不僅要做到兼顧核心概念的數(shù)學(xué)邏輯，還應(yīng)注重學(xué)生學(xué)習(xí)的心理邏輯?！皩④婏嬹R”問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)，從學(xué)生原有的認(rèn)知出發(fā)，結(jié)合教師創(chuàng)設(shè)的情境，引導(dǎo)學(xué)生自主提出問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題，并圍繞學(xué)生的核心素養(yǎng)展開(kāi)教學(xué)。其次落實(shí)教師和學(xué)生共同參與教學(xué)過(guò)程，有利于改變教師單方面掌控課堂的現(xiàn)象，從而極大地改善師生關(guān)系，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?；谝陨纤伎贾朴喅霰竟?jié)課的教學(xué)目標(biāo)：1. 通過(guò)幾何畫(huà)板演示引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)所求的點(diǎn)的存在性及做法的合理性，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng);2. 通過(guò)變化的背景引導(dǎo)學(xué)生利用圖形變換等相關(guān)知識(shí)解決最短路徑問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng);3. 通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，幫助學(xué)生構(gòu)建解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，形成解決此類問(wèn)題的通法。

二、 教學(xué)設(shè)計(jì)

問(wèn)題1：如圖1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地。牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

（一）辨析模型

1. 判斷C點(diǎn)的存在性

學(xué)情分析：根據(jù)學(xué)生已有認(rèn)知及這一內(nèi)容對(duì)學(xué)生能力要求，找準(zhǔn)學(xué)生思維的盲點(diǎn)。如圖1，學(xué)生能將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，把河流抽象成一條直線l，而學(xué)生的思維困惑是：如何在直線l上找到合適的C點(diǎn)，使得AC+BC的值最小。

師生活動(dòng)：讓學(xué)生先猜想是否存在點(diǎn)C，教師再進(jìn)行幾何畫(huà)板演示，拖動(dòng)C點(diǎn)向右移動(dòng)，觀察AC+BC值的變化情況，學(xué)生發(fā)現(xiàn)AC+BC的值先變小再變大。而拖動(dòng)C點(diǎn)向左移動(dòng)，AC+BC的值先變大再變小，則說(shuō)明直線l上一定存在一點(diǎn)C滿足AC+BC的值最小。

[設(shè)計(jì)意圖]：讓學(xué)生經(jīng)歷猜想AC+BC數(shù)值變化的過(guò)程，通過(guò)對(duì)數(shù)值的觀察、比較，歸納出AC+BC的最值點(diǎn)C存在的確定性。

2. 展示學(xué)生作圖

師生活動(dòng)：出示學(xué)生依據(jù)垂最短所作的圖，過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂這類畫(huà)法。

[設(shè)計(jì)意圖]：展示學(xué)生的錯(cuò)誤思維，學(xué)生經(jīng)歷解決問(wèn)題的思維歷程，不但使得學(xué)生的思維方式得到鍛煉，而且從學(xué)生認(rèn)知沖突中奠定“以研定導(dǎo)”“以導(dǎo)促研”“導(dǎo)研耦合”的教學(xué)思維。

師生活動(dòng)：制作幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示。

拖動(dòng)C向右移動(dòng)，AC+BC值在逐漸變小，發(fā)現(xiàn)C在垂足時(shí)C1處時(shí)不能滿足AC+BC的值最小。而向左拖動(dòng)C點(diǎn)，AC+BC值在變大，同樣點(diǎn)C在垂足C2處時(shí)，也不能滿足AC+BC值最小。綜上所述，過(guò)A點(diǎn)或B點(diǎn)作直線l的垂的方法找到點(diǎn)C，并不能使得AC+BC值最小。

[設(shè)計(jì)意圖]：教師通過(guò)幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示，展示學(xué)生利用“垂最短”解決和最小值的思維誤區(qū)，使之在思維轉(zhuǎn)變中感悟數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和改變解題策略，從而提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，以及發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。

（二）聯(lián)想基本模型

根據(jù)學(xué)生已有知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可利用公理“兩點(diǎn)之間最短”解決問(wèn)題。

思考2：現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A、B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在直線l上找到一個(gè)點(diǎn)C，滿足AC+BC的值最小。

學(xué)生很容易想到：連接AB，交直線l于點(diǎn)C，此時(shí)點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)共線，AC+BC的值就轉(zhuǎn)化為AB的長(zhǎng)，依據(jù)“兩點(diǎn)之間最短”的知識(shí)，學(xué)生很快得出點(diǎn)C滿足AC+BC的值最小。

[設(shè)計(jì)意圖]：教師提出相應(yīng)的情境與素材，將數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際情景相結(jié)合，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，感受到學(xué)習(xí)知識(shí)的必要性，從而自然而然地提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。教師結(jié)合實(shí)際問(wèn)題探尋數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的關(guān)系，學(xué)生在分析問(wèn)題時(shí)尋找解題思路，由此激發(fā)學(xué)生主觀能動(dòng)性，積極地參與問(wèn)題的探究中。

（三）難點(diǎn)突破

思考3：如果點(diǎn)A、B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決所走路徑最短的問(wèn)題？

1. 學(xué)情分析：將同側(cè)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為異側(cè)是解決問(wèn)題的難點(diǎn)。如何將點(diǎn)B轉(zhuǎn)換到l的另一側(cè)B′處，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。以往的教師會(huì)直接告訴學(xué)生，通過(guò)做對(duì)稱點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，回避了學(xué)生認(rèn)知上的難點(diǎn)，可以進(jìn)行以下的探討：

師生活動(dòng)：教師幾何畫(huà)板演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察：

（1）拖動(dòng)點(diǎn)A，每一個(gè)點(diǎn)在直線異側(cè)都有一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

（2）引導(dǎo)學(xué)生觀察AC+BC的值與AB′長(zhǎng)度的數(shù)量關(guān)系，在點(diǎn)A移動(dòng)的過(guò)程中，它們數(shù)值始終相等，當(dāng)AB′的長(zhǎng)度最短時(shí)，AC+BC的值也最小，由此說(shuō)明，要使AC+BC的值最小就得滿足兩個(gè)條件：①A、C、B′三點(diǎn)共線;②l上的點(diǎn)C使得BC=B′C。

（3）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析：要使BC=B′C，根據(jù)垂直平分線的判定定理可以得到C為BB′的垂直平分線上一點(diǎn)，拖動(dòng)A到A′處，同樣要使BC1=B′C1，C1也為BB′的垂直平分線上一點(diǎn)。根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”，可以得到直線l是BB′的垂直平分線，即B′是B點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)。

[設(shè)計(jì)意圖]：以問(wèn)題引導(dǎo)，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的形式指導(dǎo)學(xué)生研究與思考，學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)在直線異側(cè)有唯一的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，真正理解作定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的本質(zhì)意義，由同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)，探尋將軍飲馬問(wèn)題的數(shù)學(xué)根源，給學(xué)生提供切實(shí)有效的邏輯思維。

（四）作法指導(dǎo)

尋找到C點(diǎn)的作法：

（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′;