Stampacchia引理、推廣及應(yīng)用

高紅亞， 高斯宇

(1.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河北省機器學(xué)習(xí)與計算智能重點實驗室，河北 保定 071002；2.北德克薩斯大學(xué) 數(shù)學(xué)系，德克薩斯州 丹頓 76203)

1 Stampacchia引理

1.1 經(jīng)典的Stampacchia引理

Stampacchia引理，又稱De Giorgi-Stampacchia引理，是De Girogi和Stampacchia在研究偏微分方程解的正則性時引入的，目前已經(jīng)成為現(xiàn)代偏微分方程正則性理論中的1個重要的工具.這個引理第1次出現(xiàn)在文獻[1]中，但形式不完整.第1個完整的形式出現(xiàn)在文獻[2]中.

Stampacchia引理[2]設(shè)c1,α,β為正常數(shù)，k0為實數(shù).設(shè)函數(shù)φ:[k0,+∞)→[0,+∞),非增，且對任意的h>k≥k0有

(1)

Ⅰ) 若β>1，則φ(k0+d)=0,其中常數(shù)d滿足

(2)

Ⅱ) 若β=1，則任意k≥k0有

(3)

Ⅲ) 若β<1且k0>0，則任意k≥k0有

(4)

Stampacchia引理在橢圓型偏微分方程的正則性理論以及變分問題中有廣泛的應(yīng)用.舉一個簡單的例子，見文獻[3],考慮散度型橢圓方程的邊值問題

(5)

其中Ω?RN,N>2,

(6)

M(x):Ω→RN×N為滿足下面條件的矩陣：存在0<α≤β<∞，使得

〈M(x)ξ,ξ〉≥α|ξ|2,|M(x)|≤β,a.e.Ω.

(7)

Gk(u)=u-Tk(u)=u-min{1,k/|u|}u.

作為式(5)中的實驗函數(shù)，并利用式(7)得

利用H?lder不等式和Sobolev嵌入不等式，有?h>k≥0，

其中

Ak={x∈Ω:|u(x)|>k}

為u的超水平集，|Ak|為Ak的Lebesgue測度，cg為與g(x)有關(guān)的常數(shù).于是式(1)對

成立.利用Stampacchia引理得到

上述例子說明了如何應(yīng)用Stampacchia引理推導(dǎo)出正則性結(jié)果.與Stampacchia引理相關(guān)的結(jié)果，參見文獻[4-16].

1.2 2個條件的比較

式(1)中取h=2k，變成

(8)

需要說明的是，一些問題的推導(dǎo)直接得出式(8)，例如文獻[14]中，Kovalevsky, Voitovich給出了下面的結(jié)果：

命題1設(shè)c3,α,β,k0為正常數(shù)，函數(shù)φ∶[k0,+∞)→[0,+∞)非增，且對任意的k≥k0，有

則對任意k≥k0有

形式上看，式(8)比式(1)要弱.但對β的不同取值情況不一樣.在文獻[11]，比較了式(8)和式(1)，得到：

命題2Ⅰ)當0<β<1時，式(1)和式(8)等價;

Ⅱ)當β=1時，式(1)比式(8)強，且函數(shù)φ(k)=e(ln k)2,k∈[1,+∞]滿足β=1,α=2ln 2,c3=2-ln 2時的式(8)，但對任意常數(shù)α>0,c1>0不滿足式(1)；

Ⅲ) 當β>1時，式(1)比式(8)強，且函數(shù)φ(k)=e-kp,p=log2(2β),k∈[1,+∞),滿足β>1,c3=1,任意α>0和對某k0=k0(α,β)≥1的式(8)，但對任意β>1，α>0，c1>0,不滿足式(1).

2 經(jīng)典Stampacchia引理的推廣

雖然經(jīng)典的Stampacchia引理應(yīng)用廣泛，但在一些更廣泛問題的研究中卻不再適用，因此有推廣的必要.

文獻[14]中，Kovalevskii和Voitovich在研究四階方程時，給出了Stampacchia引理的幾個推廣，見文獻[14]中的引理2-4.文獻[17]中，給出了稍微不同的結(jié)果，且證明更初等.下面的引理來自文獻[17].

命題3設(shè)c4、α、β、k0為正常數(shù)，0≤θ<1.設(shè)φ：[k0,+∞)→[0，∞)非增，且對任意h>k≥k0滿足

(9)

Ⅰ)若0<β<1，則任意k≥k0，有

Ⅱ)若β=1，則對任意k≥k0，有

Ⅲ)若β>1，則存在k*>0使得φ(k*)=0.

在研究方程組時，會遇到下面的條件，即式(1)變成對任意h>k≥k0，

(10)

其中，N>1為方程組中方程的個數(shù).文獻[18]的引理1.2將Stampacchia引理進行了以下推廣：

命題4設(shè)c5，α，β，k0為正常數(shù)，N>1.設(shè)φ：[k0,+∞)→[0,+∞)非增，且對任意h>k≥k0滿足式(10).

Ⅰ)若0<β<1，則任意k≥k0，有

其中

其中

3 1個應(yīng)用

為了說明推廣的Stampacchia引理的應(yīng)用，本文給出一個例子.考慮如下的退縮橢圓型偏微分方程的邊值問題

(11)

其中,Ω?RN(N>2)為有界區(qū)域，函數(shù)a(x,s)∶Ω×R→R為滿足下列條件的Carathéodory函數(shù)：存在0<α≤β<+∞和0≤θ<1使得

(12)

而

f(x)∈Lm(Ω),(2*)′≤m<∞.

(13)

Boccardo等在文獻[5]的第14章對問題(11)進行了研究也見文獻[19]，得到如下結(jié)果：

Tk(u)=max{-k,min{k,u}}

為函數(shù)u在k>0水平上的截斷.取

φ=Gk(u)=u-Tk(u)

為式(13)中的實驗函數(shù)，并注意到在集合{x∈Ω:|u(x)|≤k}上φ=0，得到

(14)

其中

Ak={x∈Ω:|u(x)|>k}.

由此推出

(15)

(16)

估計上式兩端.式(16)左端由Sobolev嵌入定理

可得

(17)

式(16)右端第3項由

和

(a+b)p≤2p(ap+bp),a,b>0,p>0，

推出當k≥1時，

(18)

聯(lián)合式(16)、式(17)、式(18)得到，當k≥1時,

(19)

(20)

(21)

聯(lián)合式(20)、式(21)得到

由此得

其中τ為與N、θ、α、‖f‖LN/2(Ω)有關(guān)的常數(shù)，如命題3的Ⅱ)所示，而2λ=τθ-1,c12=|Ω|e1+2λ.由上式有

|{eλ|u|1-θ>eλk1-θ}|=|{|u|>k}|≤c12e-2λk1-θ.

利用文獻[5]中引理3.11，即f∈Lr(Ω)(r≥1)的充要條件是

所以eλ|u|1-θ∈L1(Ω).證畢.