摘 要：超幾何分布和二項(xiàng)分布是人教2003版《數(shù)學(xué)選修2-3》中兩個(gè)重要的離散型隨機(jī)變量的分布，教材對該兩個(gè)分布的研究主要是分布的認(rèn)識與應(yīng)用，由于受教學(xué)難度的制約，未對兩個(gè)分布的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別做深入的探討。本文從兩個(gè)分布期望與方差的計(jì)算揭示兩個(gè)分布的區(qū)別與聯(lián)系，旨在加深學(xué)生對這兩個(gè)分布的認(rèn)識與理解。

關(guān)鍵詞：二項(xiàng)分布;超幾何分布;期望;方差

在人民教育出版社2003課標(biāo)版《數(shù)學(xué)選修2-3》的課本中分別介紹了服從超幾何分布（Hyper-Geometric Distribution）與二項(xiàng)分布（Binomial Distribution）兩種離散型隨機(jī)變量的概率分布。教材從應(yīng)用角度構(gòu)建實(shí)例，從具體情境中讓學(xué)生認(rèn)識模型，理解模型所描述的隨機(jī)變量的特點(diǎn)，通過模型的理解來解決一些實(shí)際問題。課本中對超幾何分布的模型這樣來描述：若有N件產(chǎn)品，其中有M件是廢品，無返回地任意抽取n件，設(shè)其中恰有的廢品件數(shù)為X，則X服從超幾何分布。而對二項(xiàng)分布模型的描述是舉了射擊問題，通過獨(dú)立重復(fù)的射擊問題來建立服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量模型。教材沒有對這兩個(gè)分布的期望與方差的得出給出明確的說明，也未對兩種分布的聯(lián)系與區(qū)別加以辨析。本文從這兩個(gè)角度對這兩個(gè)分布進(jìn)行再研究。

一、兩個(gè)分布的期望與方差

為更好的求解兩個(gè)隨機(jī)變量的期望與方差，先來看一個(gè)引理。

引理：DX=EX2-（EX）2.

）

命題1：如果，那么，，這里。

證明：因?yàn)?/p>

所以

=np（p+q）n-1=np

由引理得

而

（注：）

所以

。

命題2：如果隨機(jī)變量ζ服超幾何分布，且，其中，則，.

證明：（1）期望的證明

1.若n≤M，則X的分布列為：

X 0 1 2 …… k …… n

P …… ……

則

因?yàn)椋?/p>

所以

又

所以

。

2.當(dāng)n>M，同理可證。

（2）方差的證明

因?yàn)?/p>

所以

。

二、兩個(gè)分布的區(qū)別與聯(lián)系

從式子特點(diǎn)上來分析，兩種分布的概率密度求取有截然不同方式，表達(dá)式也完全不同，但我們知道，若隨機(jī)變量服從超幾何分布與二項(xiàng)分布，它們的取值都是取自然數(shù)值的離散分布，且從其的概率分布表，也能夠發(fā)現(xiàn)在構(gòu)造上有相似的特點(diǎn)，如：隨機(jī)變量X的取值都從0中間不間斷即連續(xù)變化到m，m是n和M中的較小值，即，顯然每個(gè)值對應(yīng)概率和M，n，m三個(gè)值密切相關(guān)……從而可以發(fā)現(xiàn)兩種分布之間除了表面形式上的區(qū)別外，內(nèi)豐一定有著密切的聯(lián)系。

我們將超幾何分布的概率模型做如下修改：在含有M件是次品的N件產(chǎn)品，任意抽取1件，抽取以后計(jì)算其概率，將產(chǎn)品放回，連續(xù)的抽取n次。則在這n次中，次品的數(shù)量X是服從二項(xiàng)分布的。從而可以看出，要具體描述兩種分布的差別的話，就在于“有”或者“無”的差別，只要將概率模型中的“無”和“有”進(jìn)行修改，兩種分布在一情境中就可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。而其中的關(guān)鍵就是“返回”和“不返回”。

例如：某校高一（3）班的元旦晚會設(shè)計(jì)了一項(xiàng)摸球游戲：在一個(gè)口袋中裝有15個(gè)紅球、25個(gè)白球，這些球只有顏色不同，其他外完全相同。一次從中摸出6個(gè)球，摸到5個(gè)紅球1個(gè)白球就是一等獎(jiǎng)，求獲一等獎(jiǎng)的概率.顯然本題中摸的球沒有放回，則摸出球中的紅球個(gè)數(shù)X服從超幾何分布。但是如果將“一次從中摸出6個(gè)球”修改改為“摸出一球記下顏色，重新放回后再摸一球，重復(fù)5次”，則在5次摸球中摸出球中的紅球個(gè)數(shù)X將不再服從超幾何分布，而應(yīng)是服從二項(xiàng)分布。

我們分別按公式來計(jì)算這兩種分布所對應(yīng)的概率：

從上述概率分布表中，我們可以發(fā)現(xiàn)兩種分布的概率差別并不大。若將題中的條件擴(kuò)大為100個(gè)紅球，200個(gè)白球，則對應(yīng)的概率分布為

這時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)兩種分布的概率大小差異進(jìn)一步縮小。

樣本個(gè)數(shù)越大超幾何分布和二項(xiàng)分布的對應(yīng)概率相差就越小。

如果當(dāng)樣本個(gè)數(shù)為無窮大時(shí)，超幾何分布和二項(xiàng)分布的對應(yīng)概率就會近似的相等，也就是說從極限的角度，超幾何分布的極限就是二項(xiàng)分布。

三、解題示例

例1：（2012年廣東理）某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[40，50]，[50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]。

（I）求圖中x的值;

（II）從成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，該2人中成績在90分以上（含90分）的人數(shù)記為ζ，求ζ得數(shù)學(xué)期望。

解析：（I）易得x=0.018

（II）從圖表中可以看出，成績大于或等于80分的學(xué)生所占的頻率為0.24，成績大于或等于80分的學(xué)生人數(shù)為12人，成績大于或等于90分的學(xué)生人數(shù)為3人。由題意可知，ζ的取值為0，1，2.且ζ服從超幾何分布.則。

或者直接計(jì)算可得分布列.

，，

則ζ的分布列為

ζ 0 1 2

P

.

參考文獻(xiàn)

[1]人教2003版《數(shù)學(xué)選修2-3》

作者簡介：歐陽才;湖南省寧鄉(xiāng)市第一高級中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師。