施密特正交化的幾何解釋及代碼實(shí)現(xiàn)

陳 健，龔 萍

(攀枝花學(xué)院，四川 攀枝花 617000)

線性代數(shù)中，若要探究高維度線性空間的相關(guān)問(wèn)題，標(biāo)準(zhǔn)正交基必不可少，當(dāng)成功建立起標(biāo)準(zhǔn)正交基后，當(dāng)前空間的所有向量都可以利用此標(biāo)準(zhǔn)正交基表達(dá)。例如：在解決三維空間中立體幾何問(wèn)題時(shí)，可優(yōu)先建立空間直角坐標(biāo)系，這能夠幫助學(xué)者簡(jiǎn)化諸多復(fù)雜問(wèn)題，在構(gòu)造所需標(biāo)準(zhǔn)正交基時(shí)，則需要使用施密特正交化方法[1]，利用向量之間基本關(guān)系，以三維空間為例，依據(jù)向量間的基本關(guān)系和內(nèi)積定理，演示施密特正交化過(guò)程，探討和解釋施密特正交化的幾何意義，并用代碼實(shí)現(xiàn)施密特正交化方法計(jì)算，幫助學(xué)者理解施密特正交化空間幾何意義。

1 施密特正交化幾何意義

施密特正交化的目的是利用向量的基本運(yùn)算和向量?jī)?nèi)積的定理對(duì)一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組構(gòu)造出一個(gè)等價(jià)的正交向量組。將以三維空間為例，依據(jù)向量的基本知識(shí)演示施密特正交化的步驟，向?qū)W者解釋施密特正交化的幾何意義。

1.1 基本向量、內(nèi)積、線性相關(guān)知識(shí)的解釋

首先解釋向量的基本運(yùn)算，內(nèi)積的定理和向量的線性相關(guān)性：

圖1Fig.1

圖2Fig.2

由向量?jī)?nèi)積的定理：設(shè)n維向量a與b，滿足[a,b]=0,則向量a與b正交[3]。

若給定向量組A：a1,a2,…,am,若存在不全為0的數(shù)k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0成立，則向量組A是線性相關(guān)的；從幾何上理解，如：若一組向量線性相關(guān)，則它在二維空間中時(shí)，任意兩個(gè)向量是共線的，而三維空間中，則其中任意三個(gè)向量是共面的[4]；若k1a1+k2a2+…+kmam=0當(dāng)且僅當(dāng)k1,k2,…,km全都為0時(shí)成立，稱向量組a1,a2,…,am線性無(wú)關(guān)，意味著向量組在二維空間中任兩個(gè)向量不共線，在三維空間中任三個(gè)向量不共面。

1.2 從幾何角度解釋施密特正交化

圖3Fig.3

圖4Fig.4

圖5Fig.5

同理則可以得到施密特正交化的公式：

當(dāng)前有一組線性無(wú)關(guān)的n維向量組a1，a2，a3，…ar，則有[6]：

b1=a1

…

2 利用計(jì)算機(jī)代碼實(shí)現(xiàn)

2.1 代碼內(nèi)容

根據(jù)施密特正交化求等價(jià)正交向量組的基本公式和思路，設(shè)計(jì)了以下代碼來(lái)實(shí)現(xiàn)計(jì)算向量以達(dá)到正交化效果[7]。

核心代碼為：

int k=0;

double x=0;//施密特正交化公式中分式的分子

double y2=0;// 施密特正交化公式中分式的分母

double u[100];//正交化后的系數(shù)

//取輸入的第一個(gè)向量置為正將向量組的第一個(gè)向量

for(int i=1;i

{

//從輸入的第二個(gè)向量開(kāi)始正交化

for( k=0;k

{

for(int j=0;j

{

x +=vector[i][j]*vector[i-1-k][j];

y2 +=vector[i-1-k][j]*vector[i-1-k][j];

u[k]=x/y2;

}

for(int j=0;j

{

vector[i][j]=vector[i][j]-x/y2*vector[i-1-k][j];

}

x=0;

y2=0;

}

}

//將得出的正交化向量單位化

for(int i=0;i

{

for(int j=0;j

{

x += vector[i][j]*vector[i][j];

}

u[i]=sqrt(x);

x=0;

}

2.2 運(yùn)行效果

假設(shè)數(shù)據(jù)為:a1=(1,0,1)T,a2=(1,1,0)T,a3=(0,1,1)T，利用施密特正交化方法，理論得出的值是：

結(jié)果：

2.3 結(jié)果分析

代碼能夠計(jì)算出施密特正交化后正交向量組，但由于計(jì)算機(jī)的精度與人工計(jì)算的精度不同，計(jì)算機(jī)中存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的方式及計(jì)算數(shù)據(jù)的邏輯先后都契合機(jī)器的存儲(chǔ)和計(jì)算[8]，而人工計(jì)算會(huì)使用約分等技巧計(jì)算，導(dǎo)致某些情況計(jì)算機(jī)運(yùn)算的正交化向量與人工計(jì)算所得的值不符合，從而產(chǎn)生一定誤差。但因計(jì)算機(jī)運(yùn)算的精度會(huì)更高，則計(jì)算機(jī)程序得出的正交向量組更趨近于正確的正交向量組。