NA樣本下雙指數分布位置參數的經驗Bayes估計①

黃金超

(滁州職業(yè)技術學院基礎部,安徽 滁州239000)

0 引 言

對單參數指數族未知參數的Bayes(EB)統(tǒng)計推斷已有相當多的研究,如基于獨立同分布(iid)樣本下,文獻[1-5]討論了單參數指數族EB估計和檢驗問題,并得到一些有意義的結論.文獻[6]在iid樣本下分別討論了雙指數分布參數的EB檢驗和估計問題,但是在相關樣本下雙指數分布的參數EB估計問題,據我所知,文中還沒有出現(xiàn),在滲透理論,可靠性分析,以及在某些多元分析等實際問題中,遇到的樣本多具有相關性,常見有正相關(PA),負相關(NA).因而,在樣本相關的情形下研究雙指數分布參數的EB估計問題是非常有意義的.在“平方損失”NA樣本下討論了雙指數分布族數的EB估計,構造一漸近最優(yōu)EB估計函數,在一定條件下,獲得EB估計是漸近最優(yōu)性且收斂速度的階為O(n-(rs-2)/2(s+2)).推廣現(xiàn)有文獻中的相應結果.

1 預備知識

首先給出NA樣本隨機變量(r.v.)序列的定義.定義1.1 隨機變量X1,X2,…,X n稱為負相關的(NA),如果對于集合{1,2,…,n}的任何兩個不交的非空子集A1與A2都有

稱隨機變量序列{X j,j∈N}是負相關的(NA),如果對任何自然數n＞2,X1,X2,…,X n都是負相關的(NA).

考慮如下雙指數分布:

此處x∈χ=(-∞,+∞),θ∈Ω=(-∞,+∞),Ω為位置參數空間.

與常見指數分布族等類似,雙指數分布族同樣是一類應用十分廣泛的分布.雙指數分布族可用于構造保險精算模型,各種經濟模型經常構造雙指數模型,另外雙指數分布還用于工程技術方面,因此NA樣本下研究雙指數分布族位置參數的EB估計有重要的理論與實踐意義.

設G(θ)為參數θ的未知先驗分布,r.v.X的邊緣分布密度為

其中G(θ)為θ的未知先驗分布.

邊緣分布函數記F(x),即

取損失函數為

在平方損失(5)下,θ的Bayes估計為

對雙指數分布模型(2),在平方損失函數下θ的Bayes估計有下面引理給出.

引理1.1若f(x)＞0,則θ的Bayes估計為其中

當f(x)=0時,約定

由于先驗分布G(θ)的未知,故不能確定,因此無使用價值.從而導致考慮該參數的經驗Bayes(EB)估計.

2 經驗Bayes(EB)估計

設X1,X2,…,X n和X是同分布NA樣本,密度函數如(3)式所示,通常稱X1,X2,…,X n為歷史樣本,稱X為當前樣本,令f(x)為X1的概率密度函數,假定:

此處C s,α,表示在R1上s階導數存在,連續(xù)且,用

定義為F(x)的估計量.其中I[A]為A的示性函數.類似文獻[6]定義g(x)的估計量:

為了估計f(x),引入核函數.令K(x)(r=0,1,…,s-1)為有界的Borel可測函數,在(0,1)之外為0,且滿足條件(C):

(C2)K(x)在R1上除有限點集E0是可微的,且

對NA序列的協(xié)方差作如下假定:

密度函數f(x)的核估計定義為

定義θ的EB估計

類似文獻[5].

這里｛A n｝為正數序列,且=max(a,b),a∧b=min(a,b).

用E*,E n表示對(X1,…,X n,(X,θ)),X1,…,X n聯(lián)合分布分別求均值.故的全面Bayes風險為

令c,c0,c1,c2…表示不依賴n的正常數.

3 若干引理及主要結果

引理3.1令X,Y是NA樣本序列,且方差有限,則對任意的可微函數g1,g2有

證明見文獻[7]引理1

引理3.2設f n(x)由(13)式定義,其中X1,X2,…,X n為NA樣本序列,若條件(C)和(D)成立且f(x)∈Cs,α,當取時,對0＜λ≤1有

證明見文獻[5]定理3.2.

引理3.3若R G＜∞,則對任何EB估計θ∧EB的風險R n有

證明見文獻Singh[2]引理2.1.

引理3.4對r.v.(Y,Z)和實數y,z≠0,0＜L＜∞且0＜λ≤2,則有

證明見文獻[5]引理3.4

引理3.5如果對則對(6)式定義的

證明 由凸函數Jensen不等式可知

引理3.6設g(x)和g n(x)分別由(8)和(12)式定義,其中X1,X2…,X n NA樣本序列,則對0＜r≤2有

證明類似文獻[6]引理3.2的證明

引理3.7若

此處s＞1為任意確定的自然數,則對1/2＜r＜1-1/2s,有

證明見文獻[6]引理3.6.

定理3.1設R G,R n分別由(9)和(15)式定義由(14)定義,X1,X2,…,X n為NA樣本序列,s＞1的自然數且rs＞2,條件(C)和(D)成立,若

證明由引理3.3和條件(2)可知

故引理3.3的條件成立,因此有

其中

這里I(x)為示性函數:I(x)=1,若x＞0;否則I(x)=0.

由條件(2)和(3)可得

由于0≤φn*(x)≤A n當rs＞2時,有

將(23)和(24)式代入(21)可得

取A n=n1/2(s+2)時,可得

注:與文獻[6]比較,比文獻[6]多引用了一個NA樣本下的引理,定理的證明比文獻[6]定理證明簡潔些.文獻[6]在iid樣本下得到收斂速度的階為比在NA樣本下得到收斂速度的階為略快,與條件較弱有關,當r→1,s→∞,收斂速度階均近似為O(n-1/2).在NA樣本下得到結論比iid樣本下更具有一般性,并推廣文獻[6]的相應結果.