朱 雁

華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院副教授

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)包括數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的六個(gè)核心素養(yǎng)，其中每一個(gè)核心素養(yǎng)都有其自身的獨(dú)立性，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，在發(fā)現(xiàn)與提出、分析與解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中，它們各自在不同的環(huán)節(jié)中發(fā)揮著不同的作用。同時(shí)，核心素養(yǎng)本身又具有整體性，六大核心素養(yǎng)并不是兩兩“不交”的獨(dú)立素養(yǎng)，而是相互“交著”相互“滲透”的。例如，直觀想象蘊(yùn)含有抽象、推理、運(yùn)算、模型；抽象概括離不開直觀、推理、運(yùn)算、模型；數(shù)學(xué)建模更是需要直觀、推理、運(yùn)算、模型交互發(fā)揮作用；而數(shù)據(jù)分析則可視為特殊的數(shù)學(xué)建模，亦可稱為統(tǒng)計(jì)建模。作為高中數(shù)學(xué)必修及選擇性必修課程新增的內(nèi)容，數(shù)學(xué)建模是綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體，這也使其成為貫穿高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四大主線之一。

就數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系，是將學(xué)得的知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題的解決之中，而與數(shù)學(xué)知識(shí)體系的發(fā)展并沒有直接的關(guān)聯(lián)。因此，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的教學(xué)不應(yīng)依附于特定知識(shí)性內(nèi)容的教學(xué)，而應(yīng)強(qiáng)調(diào)其活動(dòng)性、探索性和綜合性，并激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造意識(shí)。為此，上海高中數(shù)學(xué)教材編寫組決定將數(shù)學(xué)建模內(nèi)容獨(dú)立出來，按必修和選擇性必修單獨(dú)成冊(cè)，這既符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，也符合數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的特點(diǎn)。

一、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的素材選擇

在開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)之初，有些教師可能會(huì)為到哪里去尋找適合于高中學(xué)生的素材而發(fā)愁，因?yàn)閿?shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)的是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)模型以解決問題。在這個(gè)意義上，數(shù)學(xué)建模搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁。然而，對(duì)于高中學(xué)生而言，他們的知識(shí)儲(chǔ)備存在一定的局限性，因此源于現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)際問題，其逼真程度越高，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜性也就越高，需要考慮的因素也會(huì)越多，甚至需要跨多學(xué)科進(jìn)行建模。對(duì)于需要面向全體高中學(xué)生進(jìn)行的數(shù)學(xué)建模教學(xué)，就必須依據(jù)教學(xué)的需求和學(xué)生的認(rèn)知水平對(duì)這些現(xiàn)實(shí)問題做出適時(shí)的簡(jiǎn)化，以提高教學(xué)的可行性。另外，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，學(xué)生的建模體驗(yàn)應(yīng)該是循序漸進(jìn)式的，學(xué)生需要從最初的直接套用或間接套用已學(xué)的數(shù)學(xué)概念、函數(shù)、定理、公式等“走近”數(shù)學(xué)建模，到在教師的帶領(lǐng)下“走進(jìn)”數(shù)學(xué)建模，而后與教師一起攜手“學(xué)習(xí)”實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模，再到學(xué)生部分自主直至全自主地“實(shí)踐”數(shù)學(xué)建模全過程。在逐步推進(jìn)的教學(xué)中，教師或教材給出的現(xiàn)實(shí)問題，在前三個(gè)階段的作用顯得尤為重要。

在此次高中數(shù)學(xué)建模分冊(cè)的編寫中，編寫者對(duì)素材的選擇在內(nèi)容和過程上都是做了精心設(shè)計(jì)的。例如，在必修分冊(cè)的11個(gè)案例中，其內(nèi)容有可指導(dǎo)日常生活的，有適用于解釋現(xiàn)實(shí)的公共場(chǎng)景的，有偏向于幫助合理決策的，也有出于對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的觀察和思考的；在過程上，有重在展示模型假設(shè)的重要性的，有體現(xiàn)如何根據(jù)現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景提出數(shù)學(xué)問題的，有強(qiáng)調(diào)如何抓住主要因素以降低模型復(fù)雜程度的，也有需要交完整合理數(shù)據(jù)的支持的（詳見《數(shù)學(xué)教學(xué)參考資料：必修第四冊(cè)》）。鑒于數(shù)學(xué)建模任務(wù)所涉及實(shí)際情境的豐富多樣性，教材在完成闡述建模過程或解決方案的同時(shí)，在每個(gè)案例的展開中都留出了適當(dāng)?shù)目臻g（以空白框形式呈現(xiàn)），這為學(xué)生的自主思考和創(chuàng)新提供了必要的空間，也為教師的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了可資借鑒的資源。

事實(shí)上，滬上不少高中已在高一課堂上開始了數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，在充分把握教學(xué)目標(biāo)與教材內(nèi)容的前提下，創(chuàng)新性地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)多層次的探索空間。例如，上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校的陳夏明老師在“削菠蘿”單元的教學(xué)設(shè)計(jì)中，就在建模的各個(gè)階段創(chuàng)設(shè)了多個(gè)可供學(xué)生探索的拓展節(jié)點(diǎn)；這樣的設(shè)計(jì)大大提升了讓不同水平的學(xué)生都能有實(shí)際參與到建?；顒?dòng)中的機(jī)會(huì)。當(dāng)然，不同的數(shù)學(xué)建模任務(wù)其可供拓展的程度會(huì)有所不同。例如，盧灣高級(jí)中學(xué)張歡老師所展示的“住房貸款”，其可供拓展的空間就相對(duì)較小。因此，教師在使用教材或自行選材時(shí)，要注意到數(shù)學(xué)建模任務(wù)之間的差異性，同時(shí)也要思考教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)拓展到何種程度，以及在哪些方面進(jìn)行拓展，這也充分彰顯了教師本身的素養(yǎng)。另外，在實(shí)際的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)教學(xué)中，教師應(yīng)成為內(nèi)容的組織者、問題探索的引領(lǐng)者，甚至是建模過程的同行者，與學(xué)生共同架設(shè)從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的“橋梁”；因此在許多時(shí)候，教師無須刻意引導(dǎo)學(xué)生，而應(yīng)給到學(xué)生更大的自由發(fā)揮空間。

課堂教學(xué)大多并非一對(duì)一，而是一對(duì)多的，因此在選擇建模教學(xué)素材時(shí)，應(yīng)盡可能不超越課標(biāo)規(guī)定的內(nèi)容。在放手讓學(xué)生充分發(fā)揮自主性的同時(shí)，教師要把握好這個(gè)度，在教學(xué)中要關(guān)注這個(gè)度。雖然為了便于教師對(duì)數(shù)學(xué)建模教材的使用，編寫者對(duì)教材中的建模活動(dòng)案例可能涉及的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容做了提示，但數(shù)學(xué)建模的實(shí)際教學(xué)不應(yīng)因此而受到內(nèi)容上的局限，應(yīng)讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)建模不是一種追加的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而是整合性的內(nèi)容，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，日常生活也需要。正如上海市建平中學(xué)馮碧薇老師介紹的《數(shù)學(xué)建模在青少年STEM教育中的應(yīng)用》，學(xué)生在這類活動(dòng)中，能夠充分體驗(yàn)到數(shù)學(xué)建模的魅力，而并不將其視作數(shù)學(xué)課。課內(nèi)課外多種形式的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，可使學(xué)生真正能從內(nèi)心去接受數(shù)學(xué)建模，從而樂于參與到數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中去。在教材編寫之初，編寫者也是經(jīng)歷了相當(dāng)?shù)膾暝?，知識(shí)上盡可能不超綱，內(nèi)容上盡可能地貼近學(xué)生的生活，而要真正做到這點(diǎn)，需要多跟學(xué)生進(jìn)行交流和溝通，體會(huì)他們的感受，這樣才有可能選取與他們生活相貼近的合適的建模活動(dòng)素材。

二、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)教學(xué)的形式：個(gè)體學(xué)習(xí)與小組學(xué)習(xí)

個(gè)體學(xué)習(xí)是大多數(shù)教師所熟悉的，因?yàn)槠綍r(shí)的教學(xué)仍以個(gè)體學(xué)生為主，而一旦進(jìn)入小組形式，就會(huì)產(chǎn)生一系列的挑戰(zhàn)。例如，小組如何建構(gòu)才能讓每一個(gè)組員真正地合作起來？要展示每個(gè)組員在某個(gè)建模活動(dòng)中的作用，就會(huì)涉及任務(wù)的分配；而即便有任務(wù)分工，仍希望組員們有能力將分別完成的部分再整合在一起，達(dá)到真正的合作效果，那具體該如何做到這樣的分與合，教師在其中又應(yīng)如何有效介入，這是需要教師思考的。其實(shí)，教學(xué)（學(xué)習(xí)）形式的問題，并非僅僅是在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)教學(xué)中才會(huì)出現(xiàn)的問題，合作學(xué)習(xí)本身在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也是一項(xiàng)非常重要的素養(yǎng)。而建?；顒?dòng)教學(xué)提供了一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)能力的非常好的抓手，給學(xué)生提供合作的機(jī)會(huì)，通過合作學(xué)習(xí)來共同建構(gòu)模型、解決問題，更多地與同伴一起學(xué)習(xí)，這可能是數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)教學(xué)帶來的數(shù)學(xué)以外的收獲。

另有一個(gè)學(xué)生層次性的問題，根據(jù)教師對(duì)學(xué)生的理解，或者是熟悉程度，或者是自己的判斷，對(duì)學(xué)生進(jìn)行一個(gè)組合。盡管有些學(xué)生是不希望由教師來主導(dǎo)這樣的組合，他們覺得教師“布置”的組合方式跟他們自己成隊(duì)的方式，各組員的貢獻(xiàn)度和參與度會(huì)有較大的差別，這或許也是教師在未來的建模活動(dòng)教學(xué)中，特別是以小組形式進(jìn)行時(shí)，需要探索的。如何合理分組，在兼顧學(xué)生意愿的前提下，讓學(xué)生充分發(fā)揮能動(dòng)性。

三、學(xué)生水平與教材要求的平衡

一個(gè)教學(xué)班往往由不同水平層次的學(xué)生組成，這并非教師僅在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)教學(xué)中才面臨的現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。在平時(shí)數(shù)學(xué)其他內(nèi)容的教學(xué)中，也始終存在這樣的現(xiàn)象。在一個(gè)班上，學(xué)生的水平參差不齊是很正常且常見的，教師在考慮這個(gè)問題的時(shí)候，不應(yīng)過于將學(xué)生的不同水平關(guān)聯(lián)到數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，這不是建模本身的問題。當(dāng)然，由于數(shù)學(xué)建模相較于其他的數(shù)學(xué)任務(wù)，可能具有更大的挑戰(zhàn)性，使得學(xué)生的水平層次差異在相關(guān)的教學(xué)中會(huì)更為凸顯。正是這一特點(diǎn)，教師需要思考如何讓學(xué)生做出合理分組，以合作學(xué)習(xí)的方式，讓不同水平的學(xué)生能有所互補(bǔ)，以共同完成數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)。

在對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)上，以往較常規(guī)的做法是基于他們平時(shí)學(xué)校考試成績(jī)來判斷，但要了解他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解程度究竟如何，單靠分?jǐn)?shù)顯然會(huì)有所偏頗。同樣地，對(duì)于學(xué)生進(jìn)行建?；顒?dòng)的評(píng)價(jià)，需要關(guān)注的，不僅是建模的結(jié)果，其過程，包括學(xué)生如何從現(xiàn)實(shí)情境中提煉出數(shù)學(xué)元素，在此基礎(chǔ)上做出哪些相關(guān)假設(shè)（特別是在沒有已知現(xiàn)成數(shù)學(xué)模型的情況下），如何根據(jù)假設(shè)建構(gòu)模型，之后的解決模型更多的在于應(yīng)用，在得出模型后如何判斷模型的適合性。其中最具挑戰(zhàn)的并不一定是“模型”的建構(gòu)，也不一定是提出“假設(shè)”，而是如何從現(xiàn)實(shí)情境中提煉出數(shù)學(xué)元素，也就是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提到的用數(shù)學(xué)的眼光看世界中的“眼光”，這需要學(xué)生自己琢磨。不少學(xué)生在這方面還較為薄弱，這與部分教師未將應(yīng)用題和建模活動(dòng)區(qū)分開來有關(guān)。實(shí)際上，建?；顒?dòng)并不是復(fù)雜的應(yīng)用題，也不是應(yīng)用題的拓展。學(xué)生經(jīng)常見到的應(yīng)用題大多是教材的編寫者已經(jīng)簡(jiǎn)化了的數(shù)學(xué)問題或者是生活問題，這一簡(jiǎn)化過程實(shí)際就是建模過程中最關(guān)鍵的一部分，確定了這一部分，后面的部分近于應(yīng)用題，即建構(gòu)模型并以模型解決提煉出的問題。如果未能形成模型，或者沒能對(duì)應(yīng)上所要解決的問題，那么建模過程還需繼續(xù)。

在此次新版的上海高中數(shù)學(xué)建模分冊(cè)中有一個(gè)案例為“雨中行”，在編寫過程中，就有專家指出這個(gè)案例似乎過于簡(jiǎn)單，他認(rèn)為這僅能算作是應(yīng)用題。就“雨中行”在定位上的不同意見，編寫組認(rèn)為這在很大程度上源于面對(duì)該活動(dòng)的人是否熟悉這個(gè)內(nèi)容；如果非常熟悉（如專家），那么完全是可以運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)公式解決該問題，但對(duì)于學(xué)生來說，往往不熟悉，他們需要從給出的情境中找到數(shù)學(xué)的元素，而后逐步建構(gòu)模型以解決相關(guān)的問題。從這點(diǎn)上來說，班級(jí)中不同學(xué)生也可能會(huì)對(duì)同一建?；顒?dòng)有不同的認(rèn)識(shí)。總之，數(shù)學(xué)建模不是力求建構(gòu)復(fù)雜高深的模型去解決現(xiàn)實(shí)問題，而是要運(yùn)用恰當(dāng)?shù)?，符合學(xué)生認(rèn)知水平的方法，幫助他們解決現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中的問題，有時(shí)候可能并不是完全解決，但至少可以適時(shí)地去解決。

在建?；顒?dòng)教學(xué)之后，給學(xué)生布置適當(dāng)?shù)恼n后作業(yè)和練習(xí)是有益的，這可以延展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模體驗(yàn)。教材中給出了不少的例子，也可以如張歡老師所展示的，根據(jù)自己的體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行設(shè)計(jì)。如果有學(xué)生跟不上教學(xué)進(jìn)度，學(xué)生可以根據(jù)教材所提供的完整案例來學(xué)習(xí)，而學(xué)有余力的學(xué)生，則可以選用教材中A類（半開放式）或B類（全開放式）活動(dòng)，甚至是自行設(shè)計(jì)建?；顒?dòng)，進(jìn)行自主建模。無論是通過課堂內(nèi)的教學(xué)還是課后的延展，或者數(shù)學(xué)課堂之外開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，都希望學(xué)生能夠感悟到數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的重要性，引發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的熱愛，產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的需求，而不是多增加一項(xiàng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容。