余長君

上海市運籌學(xué)會常務(wù)副理事長兼秘書長

今天，我從三個方面展開，一是通過簡單的例子，將數(shù)學(xué)建模與運籌學(xué)建立聯(lián)系，二是談?wù)剶?shù)學(xué)建模與運籌學(xué)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，三是談?wù)剶?shù)學(xué)建模與中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)系。

一、運籌學(xué)中的數(shù)學(xué)建模

首先，考慮一個生產(chǎn)計劃的問題，這是線性規(guī)劃中一個非常簡單的例子。假設(shè)某工廠要生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需要消耗A、B兩種礦石，以及燃料，共三種生產(chǎn)資料。產(chǎn)品會產(chǎn)生一定的利潤，生產(chǎn)有限制，原材料也有限制。一個最基本的問題就是，這兩種產(chǎn)品如何安排生產(chǎn)計劃，才能使利潤總額達(dá)到最大，如何能夠通過數(shù)學(xué)化的方式，將這個問題清晰地描述出來，這是數(shù)學(xué)建模最基本的問題。

對于數(shù)學(xué)系的學(xué)生而言，可以通過線性規(guī)劃中學(xué)習(xí)到的知識，分析決策變量是什么，對于生產(chǎn)計劃這個問題，其決策變量是兩種產(chǎn)品相應(yīng)生產(chǎn)安排多少生產(chǎn)量。目標(biāo)是什么？目標(biāo)是利潤最大。決策變量決定的情況下，可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式將目標(biāo)表達(dá)出來，但是要有約束，因為有三種資源，資源有一定的約束，每一種可以用數(shù)學(xué)來表達(dá)。

這是非常簡單的線性規(guī)劃問題，因為它的目標(biāo)以及約束函數(shù)是關(guān)于決策變量的線性函數(shù)。對于線性規(guī)劃問題，二戰(zhàn)的時候就有研究。在中學(xué)階段，對于一個簡單的線性規(guī)劃問題有非常直觀的求解方法——圖解法。

線性規(guī)劃問題是運籌學(xué)中非常核心的問題。當(dāng)這個問題變得更加復(fù)雜，當(dāng)有更多的約束和決策變量的時候，就變成了大規(guī)模的問題。我們生活中許多實際問題，都可以被歸結(jié)為這樣的問題。在中學(xué)階段，其學(xué)習(xí)的知識是無法求解大規(guī)模線性規(guī)劃問題的。從數(shù)學(xué)的角度來看，我們要從一個非常簡單且能夠理解的例子，上升到科學(xué)問題去研究它蘊含的方法，這就是我們運籌學(xué)所關(guān)注的核心內(nèi)容。

二、數(shù)學(xué)建模與運籌學(xué)

所謂的數(shù)學(xué)模型，是通過抽象或模擬，利用數(shù)學(xué)的語言方法，對所需要解決的實際問題進(jìn)行刻畫。如果沒有運籌學(xué)方面的知識，單純進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，建模后的問題能不能有效求解是未知的。

模型準(zhǔn)備，是指我們對于所謂的模型有多少了解，我們所要面臨的實際問題要經(jīng)過怎樣的方式才能和我們當(dāng)前所掌握的模型更加契合在一起。實際問題顯然和我們的理論模型之間會有差距，所以才需要對模型進(jìn)行假設(shè)，然后根據(jù)實際要求，依照當(dāng)前的現(xiàn)有模型，對它進(jìn)行整體和有效的修改，也就是模型構(gòu)造的過程，確立為可被表達(dá)的數(shù)學(xué)之后要有求解，這個解能不能真正指導(dǎo)現(xiàn)實生活中的生產(chǎn)其實是未知的。舉個例子，現(xiàn)實生活中許多的變量不是連續(xù)的，比如人的數(shù)量，不可能取非整數(shù)的變量，通過模型算出來的解是一個分?jǐn)?shù)，做這件事需要10.2個人，不合理。所以進(jìn)行分析，如果與我們的現(xiàn)實生活不能匹配就要修改，要思考是不是當(dāng)初考慮的時候就產(chǎn)生了偏差，使我們得到的解并不能指導(dǎo)現(xiàn)實生活。當(dāng)我們進(jìn)行了內(nèi)部的迭代之后，最后才可以將它應(yīng)用于實踐生活中，因此數(shù)學(xué)建模是不斷迭代學(xué)習(xí)的過程，而不是一次性的過程，所以要不斷修改，使它最終服務(wù)于我們的實踐。

所謂的運籌學(xué)，是指用數(shù)學(xué)的方法研究經(jīng)濟(jì)、民政、國防等部門在環(huán)境的約束條件下，合理分配人力、物力、財力等資源，使實際系統(tǒng)有效運行的技術(shù)科學(xué)。它可以用來預(yù)測發(fā)展趨勢，制訂行動規(guī)劃或優(yōu)秀可行方案。所以包含的科學(xué)是非常多的，也是一個交叉學(xué)科。對于運籌學(xué)來講，我列舉幾個運籌學(xué)主要的分支。首先是數(shù)學(xué)規(guī)劃，線性規(guī)劃問題就是數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，有明確的約束和決策變量，但是真正的數(shù)學(xué)規(guī)劃的內(nèi)容更加廣泛，不一定是線性的。例如存儲論，一個倉庫定自己的銷售策略，使自己的存儲維持在比較好的水平，如果庫存較少造成了資源浪費，怎樣來確定庫存，這是運籌學(xué)中非常有趣的問題。又如圖論問題，在上?？梢愿惺艿浇煌ǖ谋憷筒槐憷?，如果設(shè)計好公路，就能使它更加有效適配人流量和車流量。再如決策分析，當(dāng)我們有具體的問題，有若干的決策，決策會有好和壞的影響，怎樣決定使得我們的決策有更好的發(fā)展。建筑材料怎樣進(jìn)入工地，什么時候開始打地基，什么時候開始灌注，使得大樓在最短的時間之內(nèi)最高效，是我們的網(wǎng)絡(luò)計劃最關(guān)心的。又再如排隊論，現(xiàn)在上海的高速公路的收費站大多是ETC，設(shè)置多少人工收費和ETC才可以使排隊的模型盡量短。這些都是運籌學(xué)所研究的內(nèi)容，所以運籌學(xué)的內(nèi)容非常寬泛。

三、數(shù)學(xué)建模與中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

我簡單談一談對中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的認(rèn)識。所謂的中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，主要經(jīng)歷了下面三個階段：

中華人民共和國成立初期，對于中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該使得我們的學(xué)生具有什么樣的素養(yǎng)，當(dāng)時的理解主要是三大素養(yǎng)，即運算、空間想象和邏輯推理，要求少，但是非常高。在這樣的核心素養(yǎng)要求之下，國家對于中學(xué)數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)，在全世界是領(lǐng)先的，當(dāng)時的學(xué)生出國后的數(shù)學(xué)都是最好的，這得益于當(dāng)時的大綱對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求。

2003年教育部組織課改，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求進(jìn)行拓展，變成了抽象概念、邏輯推理、空間想象、運算求解、數(shù)據(jù)處理。其中，數(shù)據(jù)處理是隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，以及計算發(fā)展出現(xiàn)的，成為中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，這是根據(jù)當(dāng)前時代發(fā)展需求規(guī)劃的。

2017年，又將數(shù)學(xué)建模能力放入中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，表明國家對于高中或者對于中學(xué)的數(shù)學(xué)要求，從簡單的知識傳授逐漸上升到能力培養(yǎng)。到大學(xué)階段，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)非常好的手段，從發(fā)現(xiàn)問題到歸納問題、總結(jié)問題再到解決問題是一個全套的鏈條。一個人對實際問題的了解，光有數(shù)學(xué)知識不夠，還要有其他的素養(yǎng)，才可以使得數(shù)學(xué)建模做得好。

數(shù)學(xué)建模與學(xué)生能力培養(yǎng)，主要是以下幾方面，也是我們在實踐中觀察到的。高中、大學(xué)的數(shù)學(xué)建模大賽等，對學(xué)生能力培養(yǎng)，首先是數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力，以及邏輯思維和開放性思考方式，因為數(shù)學(xué)建模真正的比賽時間非常短，只有三天，要求學(xué)生具有快速獲取信息資料的能力，包括文獻(xiàn)的檢索能力，所以寫作技能和排版技術(shù)也非常重要。數(shù)學(xué)建模需要團(tuán)隊合作，所以快速了解掌握新知識，對于不同的工作要進(jìn)行團(tuán)隊的分配，需要溝通與合作能力。這都是通過數(shù)學(xué)建模對學(xué)生各方面綜合能力的培養(yǎng)，是非常重要的素養(yǎng)。

最后，我簡單談一下數(shù)學(xué)建模的教學(xué)策略，在日常的實踐中，應(yīng)該以什么樣的策略來進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的培養(yǎng)。一是合適的問題情境。學(xué)生在課堂中所接觸到的知識，距離數(shù)學(xué)建模是不是還有距離？如果要實施數(shù)學(xué)建模的情境，要和傳統(tǒng)課堂的數(shù)學(xué)知識有所區(qū)別，跟現(xiàn)實世界有積極的聯(lián)想，才能夠使學(xué)生對數(shù)學(xué)建模有足夠的興趣。二是滲透數(shù)學(xué)建模的思想方法，提高學(xué)生的應(yīng)用實踐能力。運籌學(xué)是一個非常大、非常寬泛的體系，其中像數(shù)學(xué)規(guī)劃、存儲論，對數(shù)學(xué)知識的要求不一樣。通過對一個問題不同層面的解釋，可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法；通過不同的思想看同一個問題，可能產(chǎn)生不同的火花。學(xué)生通過不同角度，對同一問題進(jìn)行了解，對這個問題的了解更加深入，這也是一個教學(xué)策略。三是合理的回顧反思。完成數(shù)學(xué)建模并不是終點，而是需要不斷迭代。我們對現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)歸納，本身就帶有一定的假設(shè)性，這樣的假設(shè)在現(xiàn)實的限制之下，迫使模型會滿足一定的約束，這就要求建模跟著時代不斷迭代，需要不斷反思以往的模型是不是能夠代表最先進(jìn)的發(fā)展。

數(shù)學(xué)建模不是以結(jié)果為導(dǎo)向，而是以整個過程為導(dǎo)向——模型建得好不好，是不是能反映現(xiàn)實生活，模型不夠好會影響到求解。學(xué)生在任何階段能夠做得好，都是數(shù)學(xué)建模重要培養(yǎng)的分支，所以與傳統(tǒng)的考試不一樣，數(shù)學(xué)建模做得好也可以得高分，沒有統(tǒng)一的規(guī)則，這對運籌學(xué)工作者和中學(xué)教師都提出了更高的要求。