理解軸對稱 感受數(shù)學(xué)美

文／萬廣磊

同學(xué)們學(xué)習(xí)了圖形的平移之后，又將學(xué)習(xí)圖形的軸對稱。這是另一種幾何圖形變換，也是中國傳統(tǒng)美學(xué)中的經(jīng)典運用。

一、總結(jié)和歸納本章內(nèi)容的結(jié)構(gòu)美

在本章的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們可以類比學(xué)習(xí)平移的方法研究軸對稱：從生活中提煉軸對稱模型→通過畫圖歸納軸對稱的概念→通過圖形變換理解軸對稱圖形的性質(zhì)→在生活中運用軸對稱解決問題。

具體我們將建立下面的知識結(jié)構(gòu)，如圖1，同時感受一下學(xué)習(xí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)美。

圖1

二、發(fā)現(xiàn)和欣賞生活中的對稱美

在生活中，樹葉（圖2）、雪花（圖3）、蝴蝶（圖4）等是對稱的；中國古詩中的對仗、民間的對聯(lián)等都有一種內(nèi)在的對稱關(guān)系。對稱是藝術(shù)家們創(chuàng)作藝術(shù)作品的重要準(zhǔn)則。建筑藝術(shù)中對稱的應(yīng)用就更廣泛了，比如北京故宮、天安門、人民英雄紀(jì)念碑、天壇（圖5）等。

圖2

圖3

圖4

圖5

同學(xué)們要能發(fā)現(xiàn)并欣賞生活中的圖形帶來的軸對稱美，用美好的心情學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，享受數(shù)學(xué)帶來的快樂并創(chuàng)造更多的數(shù)學(xué)美。

三、探索和歸納數(shù)學(xué)題中的思維美

我們在學(xué)習(xí)的過程中，掌握數(shù)學(xué)知識的多少并不是最重要的，最重要的是我們是否領(lǐng)悟到了數(shù)學(xué)的精神。這種領(lǐng)悟數(shù)學(xué)精神的過程就是數(shù)學(xué)美的創(chuàng)造過程，是數(shù)學(xué)美的升華，是高階的思維美。

同學(xué)們在解決數(shù)學(xué)問題時，要結(jié)合條件和幾何圖形，強化對稱意識，構(gòu)造基本圖形。比如由線段的垂直平分線想到兩條相等的線段，由角平分線想到兩條垂線段相等，由等腰三角形想到兩腰、兩個底角相等，由直角三角形想到斜邊中線構(gòu)造出的兩個等腰三角形。如果圖中沒有出現(xiàn)兩個相等元素，那就通過添加輔助線的方法構(gòu)造。

例如，如圖6，已知AB是等腰直角△ABC的斜邊，AD是∠A的平分線。求證：AC+CD=AB。

圖6

這道題具有多個特征，可用很多作輔助線的方法來證得。比如，以AD為對稱軸，點C（或B）的對稱點必落在AB（或AC的延長線）上；以AC（或BC）為對稱軸，點B（或A）的對稱點必落在BC（或AC）的延長線上等。再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決。

四、感受和掌握幾何圖形的運動美

我們不僅要關(guān)注靜態(tài)的幾何圖形，還要關(guān)注其動態(tài)呈現(xiàn)。幾何圖形的呈現(xiàn)，靜中有動，動中有靜，深刻反映了數(shù)學(xué)的靜態(tài)美與動態(tài)美。同學(xué)們在分析幾何圖形時，要能從圖形的平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)等角度理解問題中幾何圖形之間的位置關(guān)系，在圖形的運動中找到元素之間的相等關(guān)系，繼而進行推理論證。

例如，如圖7，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB=110°，∠BOC=α，以O(shè)C為一邊作等邊三角形OCD，連接AC、AD。當(dāng)α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；探究：當(dāng)α 為多少度時，△AOD是等腰三角形？

圖7

同學(xué)們可以嘗試做一做，注意進行探究時，要分情況討論。

通過以上思考，同學(xué)們?nèi)グl(fā)現(xiàn)美，去欣賞美，形成對數(shù)學(xué)美的規(guī)律性認(rèn)識，再用這些規(guī)律去猜想、去探索、去發(fā)現(xiàn)、去分析、去解決數(shù)學(xué)問題，從而達(dá)到數(shù)學(xué)審美的最高境界——應(yīng)用數(shù)學(xué)美和創(chuàng)造數(shù)學(xué)美。