秦翱翱，劉世忠，毛亞娜，蔡明昊，王文哲

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730070)

近年來(lái)，波形鋼腹板組合箱梁憑借自身獨(dú)特的結(jié)構(gòu)形式和優(yōu)越的力學(xué)性能受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注，該類(lèi)箱梁自重較輕，施工方便，由于波腹板的手風(fēng)琴效應(yīng)，使得箱梁頂板和底板在縱橋向的變形不受約束，預(yù)應(yīng)力效率被極大地提高，避免了腹板混凝土的開(kāi)裂問(wèn)題[1-2].與傳統(tǒng)混凝土箱梁相比，波形鋼腹板較薄且自身褶皺效應(yīng)明顯，抗剪剛度較小[3-5]，因此計(jì)算波形鋼腹板組合箱梁的撓度須考慮這種影響.文獻(xiàn)[6]從剪力滯的本質(zhì)出發(fā)，引入縱向位移函數(shù)研究波形鋼腹板PC箱梁撓度，并基于有限元和室內(nèi)試驗(yàn)驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果.文獻(xiàn)[7]推導(dǎo)了波形鋼腹板組合箱梁在考慮剪切變形影響的撓曲線初參數(shù)方程，結(jié)合模型試驗(yàn)和空間有限元，對(duì)比分析了三種典型荷載作用下的撓度特性.文獻(xiàn)[8]推導(dǎo)了波形鋼腹板組合箱梁剪切附加撓度的控制微分方程，并進(jìn)行了剪切變形的影響規(guī)律參數(shù)分析.文獻(xiàn)[9]基于初等梁理論提出了波形鋼腹板組合箱梁考慮剪切變形的撓度計(jì)算方法，結(jié)合模型試驗(yàn)和有限元模型，給出了考慮剪切變形影響的剪跨比界限值.

以上既有研究均針對(duì)混凝土頂板、波形鋼腹板、混凝土底板組成的波形鋼腹板組合箱梁.而對(duì)于混凝土頂板、波形鋼腹板、鋼底板組成的新型波形鋼腹板組合箱梁，則研究不多，以鋼底板代替混凝土底板，除保持波形鋼腹板組合箱梁優(yōu)勢(shì)外，還充分發(fā)揮混凝土抗壓和鋼材抗拉的性能，避免了混凝土底板因收縮徐變及跨中正彎矩產(chǎn)生的開(kāi)裂問(wèn)題，有效地提高了結(jié)構(gòu)的抗裂強(qiáng)度、剛度和耐久性[10].

考慮混凝土和鋼材的材料特性，在已有研究的基礎(chǔ)上，假設(shè)無(wú)界面滑移的影響，運(yùn)用能量變分原理，提出了一種忽略界面滑移、考慮剪力滯、剪切變形雙重影響的撓度計(jì)算方法，結(jié)合模型梁試驗(yàn)和空間有限元，分析理論值、有限元值與實(shí)測(cè)值的誤差，研究初等梁理論撓度、剪力滯撓度和剪切變形撓度占總撓度的比例，以供工程設(shè)計(jì)參考.

1 剪力滯翹曲位移模式

箱梁發(fā)生彎曲變形時(shí)，由于剪力滯效應(yīng)的影響，橫截面上任意一點(diǎn)的縱向位移由兩部分產(chǎn)生，即彎曲縱向位移和翹曲縱向位移，而根據(jù)Timoshenko梁變形理論[11]，箱梁發(fā)生彎曲變形時(shí)，梁截面產(chǎn)生剪切變形如圖1所示，梁截面上任意一點(diǎn)的縱向位移函數(shù)表達(dá)式如下[12]：

u(x,y,z)=-zφ(x)+f(y)U(x),

(1)

圖1 Timoshenko梁變形Fig.1 Deformation of Timoshenko beam

其中：

(2)

波形鋼腹板由于自身的形狀特性，其有效剪切模量Ge與平鋼板的剪切模量Gs存在如下關(guān)系[13]：

(3)

其中：

式中：Es為鋼板的彈性模量;v為鋼板的泊松比;a、b、α分別表示波形鋼腹板尺寸,如圖2所示.

圖2 波形鋼腹板尺寸Fig.2 Dimensions of corrugated steel webs

當(dāng)考慮箱梁的剪力滯效應(yīng)時(shí)，需選取合適的剪力滯翹曲位移函數(shù)來(lái)描述截面剪切變形不均勻現(xiàn)象.文獻(xiàn)[14]選取經(jīng)典的二次拋物線作為研究對(duì)象，其表達(dá)式如下：

f(y)=

(4)

附加軸向位移：

(5)

式中：A1為頂板面積;A2為懸臂板面積;A3為底板面積;A為橫截面總面積,其余各參數(shù)如圖3所示.

圖3 箱梁剪力滯效應(yīng)Fig.3 Shear lag effect of box girder

2 基本變分方程的推導(dǎo)

箱梁外力勢(shì)能：

(6)

箱梁的頂板、懸臂板及底板應(yīng)變能：

(7)

式中：D2為雙室箱梁的抗彎剛度.

波形鋼腹板剪切應(yīng)變能：

(8)

由最小勢(shì)能原理可知，雙室箱梁體系的總勢(shì)能一階變分為零[15]，即：

(9)

其控制微分方程和邊界條件如下：

(10)

剪力滯微分方程：

U″-k2U=μQ(x).

(11)

瑞斯納參數(shù)[15]：

剪力滯微分方程的一般解：

U=μ(C1sinhkx+C2coshkx+U*).

(12)

式中：C1,C2均為系數(shù),由約束條件確定;U*為剪力滯廣義位移的特解.

由公式(2)、(10)可得：

(13)

對(duì)式(13)積分，可得梁的撓度理論公式：

(14)

dx+C13x+C23為剪切變形產(chǎn)生的附加撓度.

3 簡(jiǎn)支梁的撓度計(jì)算

3.1 在集中荷載下的撓度計(jì)算

如圖4所示，根據(jù)公式(12)～(14)，箱梁在跨中集中荷載作用下的撓度計(jì)算過(guò)程如下.

圖4 集中荷載示意圖Fig.4 Diagram of concentrated load

截面的彎矩和剪力為

(15)

由剪力滯微分方程得：

(16)

邊界條件:

可得：

(17)

集中荷載作用下箱梁撓度：

(18)

3.2 在均布荷載下的撓度計(jì)算

如圖5所示，根據(jù)公式(12)～(14)，箱梁在均布荷載作用下的撓度計(jì)算過(guò)程如下.

圖5 均布荷載示意圖Fig.5 Diagram of uniform load

截面的彎矩和剪力為

(19)

由剪力滯微分方程得：

(20)

邊界條件:

U′(x=0)=0;U′(x=l)=0.

可得：

U=

(21)

均布荷載作用下箱梁撓度：

(22)

3.3 縱向加勁肋對(duì)撓度的影響

由于新型波形鋼腹板組合箱梁的底板較薄，通常會(huì)在底板上設(shè)置一定數(shù)量的縱向加勁肋，在理論分析箱梁撓度時(shí)，需要考慮縱向加勁肋對(duì)撓度的影響.根據(jù)底板抗彎剛度等效原則，將加勁肋抗彎剛度平均分配到鋼底板上.具體公式如下：

(23)

式中：Ii為第i個(gè)加勁肋對(duì)箱梁截面中性軸的慣性矩;Ix為鋼底板對(duì)箱梁截面中性軸的慣性矩;Iu為分配后鋼底板對(duì)箱梁截面中性軸的慣性矩.

4 算例

4.1 試驗(yàn)梁尺寸

為驗(yàn)證理論分析的正確性，制作了長(zhǎng)度6 m的新型波形鋼腹板試驗(yàn)梁，箱梁頂板為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，混凝土強(qiáng)度C55，彈性模量35.5 GPa，鋼筋為Ⅰ級(jí)普通鋼筋，泊松比0.2；波腹板、底板、橫隔板及加勁肋均由鋼板焊接而成，底板和端橫隔板厚度5 mm，波腹板、中橫隔板及加勁肋厚度3 mm， Q345鋼材，彈性模量206 GPa，泊松比0.28.其中，頂板寬1.5 m，底板寬85 cm，梁高41 cm，為單箱雙室等截面，試驗(yàn)梁截面和波腹板尺寸如圖6～7所示.

圖6 試驗(yàn)梁截面尺寸(單位:cm)Fig.6 Section size of test beam(unit:cm)

圖7 波腹板基本尺寸(單位:cm)Fig.7 Basic dimensions of corrugated web(unit:cm)

4.2 有限元模型建立

根據(jù)箱梁模型實(shí)際尺寸，運(yùn)用有限元軟件ANSYS建立三維有限元模型，其中，頂板采用實(shí)體單元SOLID65模擬，波形鋼腹板、底板、橫隔板及縱向加勁肋采用殼單元SHELL63模擬，頂板實(shí)體單元與腹板殼單元采用共節(jié)點(diǎn)連接，由于實(shí)體單元和殼單元具有不同的自由度，當(dāng)共用節(jié)點(diǎn)時(shí)兩者連接方式為鉸接，因此須在共節(jié)點(diǎn)位置通過(guò)約束方程建立剛性區(qū)域[16].模型的邊界條件按照簡(jiǎn)支梁設(shè)置.

4.3 試驗(yàn)加載方案

加載方式分為集中荷載和均布荷載，其中，集中荷載P=98 kN作用在跨中位置，均布荷載q=8.2 kN/m作用在滿(mǎn)跨位置，加載點(diǎn)均在波形鋼腹板與頂板相交處，以減少梁體扭轉(zhuǎn)、畸變及橫向彎曲帶來(lái)的影響.試驗(yàn)梁加載如圖8所示.

圖8 試驗(yàn)梁加載示意圖Fig.8 Loading diagram of test beam

5 試驗(yàn)結(jié)果分析

在集中荷載和均布荷載作用下，有限元模型撓度云圖如圖9所示，跨中左右兩測(cè)點(diǎn)的撓度實(shí)測(cè)值、有限元值和理論計(jì)算值如表1所列.

圖9 有限元模型計(jì)算撓度Fig.9 Deflection calculated by finite element model

表1 不同計(jì)算方法的撓度值比較Tab.1 Comparison of deflection values of different calculation methods mm

由表1可知，與實(shí)測(cè)值相比，集中荷載作用下，理論值、有限元值的誤差分別為1.49%、2.60%；均布荷載作用下，理論值、有限元值的誤差分別為1.89%、3.86%，均布荷載下的理論值、有限元值與實(shí)測(cè)值誤差均大于集中荷載，該計(jì)算方法對(duì)集中荷載下的撓度計(jì)算精度較高.同種荷載作用下，撓度理論值和實(shí)測(cè)值均小于有限元值，撓度有限元值偏于安全，整體實(shí)測(cè)值、有限元值和理論值誤差較小，驗(yàn)證了理論分析方法和有限元模型的正確性.

為進(jìn)一步分析初等梁理論產(chǎn)生的撓度、剪力滯產(chǎn)生的附加撓度和剪切變形產(chǎn)生的附加撓度占總撓度的比例大小，現(xiàn)定義如下：

(24)

式中：wj為初等梁理論或剪力滯或剪切變形產(chǎn)生的撓度;w為箱梁的總撓度;ξj為各部分撓度所占總撓度比例.

按照公式(24)之定義，給出各部分撓度值大小及所占比例，如表2所列.

表2 不同撓度所占比例Tab.2 Proportion of different deflections

由表2可知，在計(jì)算箱梁受彎所產(chǎn)生的撓度時(shí)，總撓度主要由初等梁理論計(jì)算值提供，剪切變形對(duì)總撓度的貢獻(xiàn)次之，剪力滯對(duì)總撓度的貢獻(xiàn)最小.在兩種荷載下，初等梁理論撓度占總撓度比例均大于80%，剪力滯撓度占總撓度比例均小于1%，剪切變形撓度占總撓度比例在15%左右.因此，模型梁實(shí)際撓度可按初等梁理論撓度乘以1.2倍修正系數(shù)進(jìn)行計(jì)算，而對(duì)于其它不同尺寸箱梁，則需要通過(guò)進(jìn)一步研究來(lái)確定系數(shù)取值.

6 影響因素分析

6.1 跨高比

為研究不同跨高比下初等梁理論撓度、剪力滯撓度和剪切變形撓度的占比規(guī)律，以模型梁為基準(zhǔn)，保持截面尺寸不變，通過(guò)改變箱梁跨徑來(lái)模擬不同跨高比.選取跨高比為10、15、20、25的箱梁，在試驗(yàn)荷載作用下，箱梁總撓度理論值和有限元值變化如圖10所示，各部分撓度占總撓度的比例如表3所列.

圖10 不同荷載隨跨高比的撓度變化Fig.10 Deflection variation of different loads with spanheight ratio

由表3可知，在集中荷載和均布荷載作用下，隨著跨高比增大，初等梁理論對(duì)撓度的貢獻(xiàn)逐漸增大，而剪力滯和剪切變形對(duì)撓度的貢獻(xiàn)則逐漸減??；在同一跨高比下，集中荷載下的初等梁理論撓度占總撓度比例小于均布荷載，而集中荷載下的剪切變形撓度占總撓度比例則大于均布荷載，總體變化規(guī)律一致.

表3 各部分撓度占總撓度比例Tab.3 Proportion of each part deflection to the total deflection

當(dāng)箱梁跨高比大于20時(shí)，初等梁理論撓度占總撓度比例均大于90%，剪切變形撓度占總撓度比例均小于10%，因此，當(dāng)跨高比在20～25范圍內(nèi)，撓度修正系數(shù)可按1.08取值；當(dāng)箱梁跨高比小于20時(shí)，初等梁理論撓度占總撓度比例均小于90%，剪切變形撓度占總撓度比例均大于10%，此時(shí)，撓度修正系數(shù)可按同一跨高比下總撓度與初等梁理論撓度的比值進(jìn)行取值.

6.2 寬高比

為研究不同寬高比下初等梁理論撓度、剪力滯撓度和剪切變形撓度的占比規(guī)律，以模型梁為基準(zhǔn)，控制截面寬度不變，通過(guò)改變截面高度來(lái)模擬不同寬高比.選取寬高比為2、3、4、5的箱梁，在試驗(yàn)荷載作用下，箱梁總撓度理論值和有限元值如圖11所示，各部分撓度占總撓度的比例如表4所列.

圖11 不同荷載隨寬高比的撓度變化Fig.11 Deflection variation of different loads with widthheight ratio

由表4可知，在集中荷載和均布荷載作用下，隨著寬高比的增大，初等梁理論對(duì)撓度的貢獻(xiàn)逐漸增大，剪切變形對(duì)撓度的貢獻(xiàn)逐漸減小，而剪力滯對(duì)撓度的貢獻(xiàn)則小于1%，可忽略不計(jì).同一寬高比下，集中荷載下的初等梁理論撓度占總撓度比例小于均布荷載，剪切變形撓度占總撓度比例則大于均布荷載，但兩者相差不大.當(dāng)寬高比為5時(shí)，集中荷載和均布荷載下的剪切變形撓度占總撓度比例最小，分別為12.47%和10.25%.因此，在不同寬高比下，撓度修正系數(shù)可按同一寬高比下總撓度與初等梁理論撓度的比值進(jìn)行取值.

表4 各部分撓度占總撓度比例Tab.4 Proportion of each part deflection to the total deflection

7 結(jié)論

1) 與實(shí)測(cè)值相比，集中荷載下，理論值、有限元值的誤差分別為1.49%、2.60%；均布荷載下，理論值、有限元值的誤差分別為1.89%、3.86%.驗(yàn)證了本文分析方法的正確性.

2) 初等梁理論對(duì)撓度的貢獻(xiàn)最大，剪切變形的貢獻(xiàn)次之，剪力滯的貢獻(xiàn)最小.

3) 剪切變形對(duì)撓度的貢獻(xiàn)隨跨高比和寬高比的增大而減小，剪切變形對(duì)撓度的貢獻(xiàn)可通過(guò)引入修正系數(shù)來(lái)考慮.