遞推關(guān)系an+1=qan+p在概率中的應(yīng)用舉例

江蘇 郭建華

數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)的遞推關(guān)系an+1=qan+p(其中p，q為常數(shù)，pq≠0，q≠1)是一種常用的數(shù)學(xué)模型．該模型在概率中也有著其獨(dú)特的用法，常常以選擇題的形式出現(xiàn)，其綜合性強(qiáng)，求解難度較大，重點(diǎn)考查化歸與轉(zhuǎn)化，分類討論等數(shù)學(xué)思想．對(duì)于選擇題，可以從選項(xiàng)的描述中獲取解題思路，也可以先從特殊化入手，再研究其一般情況，即先猜后證(利用數(shù)學(xué)歸納法證明)，最后結(jié)合求數(shù)列的通項(xiàng)公式的手段和方法求解．

下面，通過(guò)兩道多項(xiàng)選擇題談?wù)刟n+1=qan+p在概率中的應(yīng)用.

1.摸球問(wèn)題

【例1】甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n(n∈N*)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn，則下列結(jié)論正確的是

( )

B．?dāng)?shù)列{2pn+qn-1}是等比數(shù)列

【解析】重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋的黑球個(gè)數(shù)為Xn，其取值為0，1，2，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn，此時(shí)，甲口袋的球?yàn)橐韵氯N情況之一，即2個(gè)黑球和1個(gè)白球，1個(gè)黑球和2個(gè)白球，3個(gè)白球和0個(gè)黑球，所對(duì)應(yīng)的概率分別為pn，qn，1-pn-qn．

從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋為一次操作．

(1)若重復(fù)(n+1)次這樣的操作，甲口袋中黑球個(gè)數(shù)Xn+1恰好為2，即甲口袋裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，則重復(fù)n次這樣的操作時(shí)，甲口袋中黑球的個(gè)數(shù)Xn為1或2，包含以下兩個(gè)互斥事件，即

①當(dāng)Xn=2時(shí)，此時(shí)，甲口袋裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋裝有3個(gè)白球，進(jìn)行一次操作(甲給乙一個(gè)白球，同時(shí)乙給甲一個(gè)白球)后Xn+1=2，于是甲口袋裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋裝有3個(gè)白球，其交換過(guò)程如圖所示：

②當(dāng)Xn=1時(shí)，此時(shí)，甲口袋裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，乙口袋裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，進(jìn)行一次操作(甲給乙一個(gè)白球，同時(shí)乙給甲一個(gè)黑球)后Xn+1=2，其交換過(guò)程如圖所示：

(2)若重復(fù)(n+1)次這樣的操作，甲口袋中黑球個(gè)數(shù)Xn+1恰好為1，此時(shí)，甲口袋裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，則重復(fù)n次這樣的操作時(shí)，甲口袋中黑球的個(gè)數(shù)Xn為0，1或2，包含以下三個(gè)互斥事件，即

Xn的概率分布為

4月17日，青海省水利廳抗震救災(zāi)指揮部迅速部署啟動(dòng)了玉樹地震水利工程災(zāi)后重建規(guī)劃編制工作，要求重建規(guī)劃于5月1日前編制完成。

Xn012P1-pn-qnqnpn

【評(píng)注】四個(gè)選項(xiàng)的形式多樣，考查了概率和數(shù)列的重要知識(shí)點(diǎn)，達(dá)到了交匯考查的目的.從選項(xiàng)中可以猜想pn與qn之間存在一定的聯(lián)系．如何厘清它們之間的關(guān)聯(lián)，就要分析從第(n-1)次操作到第n次操作會(huì)產(chǎn)生怎樣的變化．為了將抽象的問(wèn)題具體化，更易于學(xué)生理解，把從第(n-1)次的操作到第n次的操作過(guò)程采取思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)，即采取先一般化再研究特殊化的問(wèn)題探究方式．也可以從特殊化入手，尋找概率變化的規(guī)律，進(jìn)而猜想pn與qn的一般化形式，再結(jié)合概率的知識(shí)求解．另外，學(xué)生還要熟練掌握具有遞推關(guān)系an+1=qan+p(其中p，q為常數(shù)，pq≠0，q≠1)的數(shù)列的通項(xiàng)的求法，再結(jié)合數(shù)列的知識(shí)求解．

2.爬行問(wèn)題

【例2】設(shè)一個(gè)正三棱柱ABC-A1B1C1，如圖，每條棱長(zhǎng)都相等，一只螞蟻從上底面ABC的某頂點(diǎn)出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個(gè)頂點(diǎn)，算一次爬行.若它選擇三個(gè)方向爬行的概率相等，當(dāng)螞蟻爬行n次，仍然在上底面的概率記為Pn，則下列選項(xiàng)正確的是

( )

【解析】若螞蟻爬行n次時(shí)，仍然在上底面的概率記為Pn，則螞蟻爬行(n-1)次時(shí)，仍然在上底面的概率記為Pn-1．Pn的大小決定于以下兩個(gè)互斥事件，即

故選項(xiàng)A，C正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．

對(duì)于D選項(xiàng)，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

故選ACD．

3.總結(jié)