求二面角大小的兩種思路

黃林佳

二面角問題在立體幾何中比較常見.一般地，要求二面角的大小，要先作出二面角的平面角，然后求得二面角的平面角的大小，二面角的平面角的大小即為二面角的大小.求二面角的大小一般有兩種思路，即采用定義法和向量法.下面我們結(jié)合一道典型例題來探討求二面角大小的兩種思路.

例題：已知圓O的直徑AB的長為2，上半圓弧有一點C，∠COB=60°，點P是弧AC上的點，點D是下半圓弧的中點.現(xiàn)以AB為折痕，使下半圓所在平面垂直于上半圓所在平面，連接PO，PD，PC，CD，如圖1所示.當(dāng)三棱錐P-COD體積最大時，求二面角D-PC-O的余弦值.

該題較為復(fù)雜，不僅考查了三棱錐的體積、平面與平面的垂直關(guān)系，還考查了求二面角大小的方法.我們需首先根據(jù)題意和幾何圖形，明確各點、線、面的位置關(guān)系，然后合理添加輔助線，作出二面角的平面角，然后再求出平面角的大小.有以下兩種思路.

一、采用定義法求二面角的大小

定義法是求二面角大小的常用方法，也是基本方法.以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.在求二面角的大小時，我們可以根據(jù)二面角的平面角的定義，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，然后將平面角的兩條邊或角置于某一個三角形或平行四邊形內(nèi)，運用平面幾何知識，如正余弦定理、解三角形知識、勾股定理等求出平面角的大小.

解：由題意可知DO⊥平面PCD，∴VP-COD=VD-COP，

∵，

∴當(dāng)OC⊥OP時，三棱錐P-COD體積最大，

如圖2所示，取PC中點H，連接OH，DH，

∵OC=OP，DC=DP，

∴OH，DH都與PC垂直，即∠OHD是所求二面角的平面角，

在Rt△OPC中，;在Rt△OHD中，，

∴，

∴二面角D-PC-O的余弦值為??? .

我們先根據(jù)二面角的平面角的定義在幾何圖形上添加輔助線，找到二面角的平面角，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得二面角的平面角的大小.

二、利用向量法求二面角的大小

向量法是指通過向量運算解答問題的方法.在求二面角的大小時，我們可以先結(jié)合幾何體的特點建立合適的空間直角坐標(biāo)系，然后求出各點、線段、平面的坐標(biāo)，通過向量坐標(biāo)運算求得二面角的大小.對于本題，要先利用已知條件找出兩兩相互垂直的直線，即OP，OD，OC，建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過坐標(biāo)運算求得二面角的兩個半平面的法向量，再運用夾角公式進(jìn)行求解即可.

解：由題意可得DO⊥平面PCD，所以VP-COD=VD-COP，

因為，所以當(dāng)OC⊥OP時，三棱錐P-COD體積最大，由題意可知OP，OD，OC兩兩垂直，以點O為坐標(biāo)原點，，，所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則有P（1，0，0），D（0，1，0），C（0，0，1），，??? .設(shè)平面DPC的法向量為，則，可得，同理可求得平面PCO的法向量，設(shè)二面角D-PC-O的平面角為α，則，即二面角D-PC-O的余弦值為??? .

從上述分析可以看出，求解二面角問題可以從兩個不同的角度，即定義和向量運算出發(fā)來尋找解題的思路.運用第一種思路解題，需靈活運用立體幾何中的定理、定義來處理空間中點、線、面的位置關(guān)系;運用第二種思路解題，需熟練掌握空間向量運算的法則，將問題轉(zhuǎn)化為向量問題來求解.

（作者單位：江蘇省南通市海門四甲中學(xué)）