精密球鉸鏈運動誤差分布研究

楊 龍，夏良瓊，張 緊，胡鵬浩

(合肥工業(yè)大學儀器科學與光電工程學院，安徽 合肥 230009)

0 引 言

球鉸鏈是在并聯(lián)機構和工業(yè)機器人上常用的主要運動部件，其間隙的客觀存在制約了所在裝備的工作精度[1]。球鉸鏈間隙是由零件的制造誤差、裝配誤差、零件彈性與載荷工況共同作用形成的。例如在某款并聯(lián)機床上，球鉸鏈間隙減弱了機床工作穩(wěn)定性，甚至造成間隙關節(jié)處于混沌運動狀態(tài)，極大地影響了該機床的加工精度[2]。因此深入研究球鉸鏈的間隙變化規(guī)律，實現(xiàn)實時檢測與補償具有重要理論意義和應用價值。

近年來，國內(nèi)外許多學者針對球鉸鏈間隙問題開展了較豐富的研究。多數(shù)研究主要建立基于間隙的動態(tài)模型[3-6]。然而，對曲面間微小間隙的直接測量研究較少。梁輝等[7]分析了一種帶有球鉸間隙的驅(qū)動冗余并聯(lián)機構，通過研究4個驅(qū)動軸各自作球面運動構成的運動空間的交集，計算了在正態(tài)分布規(guī)律下間隙引起的并聯(lián)機床動平臺中心點的誤差并進行了補償。王文等[8-10]采用電容式傳感器測量球鉸鏈間隙，提出一種球形電容傳感器的新結(jié)構，構建了6個微分電容與偏心微位移之間的數(shù)學模型，通過測量微分電容從而得到球頭間隙，但傳感器的制造和安裝誤差會對測量精度造成影響。本團隊[11-13]曾基于電感傳感器測量設計和研制了專用的實驗測試裝置，但該測量方法不能嵌入在球鉸鏈中，無法實現(xiàn)球鉸鏈間隙的實時測量，也無助于球鉸鏈的智能化。為了更好地實現(xiàn)球鉸鏈間隙的實時檢測和誤差補償，本文進一步研發(fā)間隙的實時測量方法，并探究球鉸鏈間隙的特性和規(guī)律。

1 球鉸鏈間隙測量原理

如圖1所示，在自研的球鉸鏈球座上對稱嵌入3個電渦流傳感器，傳感器軸線穿過球心，用于檢測球頭運動中的偏離。在此，球頭運動中的球心相對于球窩球心的偏離量定義為球鉸鏈間隙，為一矢量從球窩中心指向球頭中心。

圖1 小型球鉸鏈裝置

以單個電渦流傳感器為例，其測量間隙的理論模型如圖2所示，嵌入于球鉸鏈球窩的電渦流探頭位于N點延長線上，由于采用差值計算，可將其視為位于球窩面上的N點，其探測的傳感器到球頭的間距值d即為MN連線的長度值。其中R為球窩半徑，r為球頭半徑，θ為電渦流探頭測量方向與Z軸正向的夾角，φ為在Z軸正半空間俯視坐標系時X軸正向逆時針旋轉(zhuǎn)至探頭方向時旋轉(zhuǎn)角大小，Δx、Δy、Δz分別為球鉸鏈間隙沿X軸、Y軸、Z軸的分量。

圖2 球鉸鏈間隙理論模型

取三維矢量描述球鉸鏈間隙，該矢量起點位于球窩中心O，矢量方向指向球心O′。已知在空間直角坐標系中，間隙矢量OO′在單位矢量ON上的投影距離為

則間距d與球鉸鏈空間回轉(zhuǎn)角呈關系如下：

式（2）是以假定間距d遠小于球頭和球窩半徑為條件下的近似等式。傳感器所在位置N點與球窩的中心O相連，交于球頭表面M點；與球頭球心O′相連，交于球頭球面的M′點。由相似三角形的原理，MM′/OO′=d/R，則上式的偏移誤差量MM′=d·OO′/R，遠遠小于被測量，可以忽略不計。

本實驗通過均勻分布在球窩中的3個電渦流傳感器測量同一載荷下球鉸鏈的6個空間位置間距，其中下半球面間距在拉伸狀態(tài)下可由電渦流傳感器直接測得，上半球面間距值由球頭壓縮狀態(tài)下電渦流傳感器測得，空間位置等效于傳感器位置相對于球窩中心的中心對稱位置，所測間距d在6個空間位置處的極坐標d:(θ,φ)如下：

將6個空間位置的極坐標值代入公式（2）中，消元得沿三軸間隙分量Δx、Δy、Δz與3個電渦流傳感器測得值的關系如下：

通過實驗可計算得到球鉸鏈間隙在空間任意位姿下沿X、Y、Z三軸的間隙分量。球鉸鏈各位姿下間隙矢量合成值 ?總：

2 實驗與數(shù)據(jù)處理

2.1 實驗裝置

所研制的實驗測試裝置如圖3所示，被測精密球鉸鏈安裝在自研的雙軸標定臺上，球鉸鏈的球桿與固定在內(nèi)U形框上的氣缸桿相連，兩只機械式分度頭通過內(nèi)框和外框分別帶動球鉸鏈在空間回轉(zhuǎn)，并提供繞X、Y軸的回轉(zhuǎn)角分量α和β。實驗測試時，α 和 β 的步距為 4°，轉(zhuǎn)角范圍為–20°～20°。

圖3 間隙測量裝置

實驗中雙向氣缸實現(xiàn)對球頭的拉、壓，模擬球鉸鏈的實際工作負荷，通過穩(wěn)壓閥調(diào)節(jié)作用在球鉸鏈上的載荷大小，施加壓力時，壓強調(diào)整范圍為：30～50 kPa，考慮到球頭自重，施加拉力時，壓強調(diào)整范圍為：42～62 kPa。實驗所用3個電渦流傳感器型號為CWY-DO-TR-81，其標準靈敏度為20.00 V/mm，靈敏度偏差為0.1%，分辨力為0.05 μm，非線性度為0.4%，量程范圍為0～18 mm。

2.2 數(shù)據(jù)處理

分別根據(jù)式（4）、式（5）處理電渦流傳感器所測間距值。表1是球頭加載30 kPa壓縮壓強和42 kPa拉伸壓強時所獲得的實驗數(shù)據(jù)結(jié)果，該結(jié)果是根據(jù)測量模型計算出來的球鉸鏈在不同方位和角度下沿球鉸桿軸線方向的總間隙值。

表1 球鉸鏈總間隙值μm

根據(jù)表1可得球鉸鏈總間隙在不同位姿下的分布情況，如圖4所示。

圖4 球鉸鏈總間隙分布

由分布情況可知球鉸鏈總間隙在二維平面內(nèi)具有單峰的分布圖，峰值點位置為 (–8°,4°)，間隙值為59.95 μm，隨著距離峰值點轉(zhuǎn)角差越大，間隙值越小，由此可以推斷，隨著球鉸桿偏移豎直方向的角度的增大，球鉸鏈總間隙總體上呈減小趨勢，總體上精密球鉸鏈間隙大小和分布與雙軸回轉(zhuǎn)角α和β相關。

3 間隙評定

3.1 間隙值分布檢驗

為了進一步探求球鉸鏈間隙值分布的規(guī)律，本文采用Kolmogorov-Smirnov檢驗法分別從正態(tài)分布、伽馬分布、泊松分布、瑞利分布和指數(shù)分布5種分布方式進行對比擬合度分析。

KS（Kolmogorov-Smirnov）檢驗法，是一個擬合優(yōu)度檢驗，用以檢驗一個經(jīng)驗分布是否符合某種理論分布或比較兩個經(jīng)驗分布是否有顯著性差異。KS檢驗是將樣本數(shù)據(jù)的經(jīng)驗分布與特定的理論分布相比較，若兩者之間的差距很小，則可推論該樣本取值于特定的分布[13]。

本文運用Matlab中的kstest函數(shù)進行球鉸鏈間隙分布檢驗。kstest函數(shù)輸出結(jié)果指標常量H=0代表服從分布，H=1代表不服從分布。kstest函數(shù)輸出指標常量P表示待測分布與理想分布函數(shù)的相似性指數(shù)，介于0～1區(qū)間，數(shù)值越小代表越難以服從該概率分布，置信水平均設定為0.05，其檢驗結(jié)果如表2所示。

表2 球鉸鏈間隙總誤差分布檢驗

本文另設一組對比實驗，在其他條件不變的情況下，改變球頭加載的壓強大小。在球頭加載50 kPa壓縮壓強和 62 kPa拉伸壓強，依據(jù)式（3）和式（4）計算出球鉸鏈在不同方位和角度下的總間隙值。利用KS檢驗法得到總間隙值只服從正態(tài)分布，且正態(tài)分布相似性指數(shù)P=0.178。故兩次實驗可得出同一結(jié)論，即球鉸鏈間隙在0.05的置信水平上服從正態(tài)分布。

3.2 系統(tǒng)誤差檢驗

在兩組實驗數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布的條件下，利用t檢驗法可判斷兩組數(shù)據(jù)間是否存在系統(tǒng)誤差。

令檢驗統(tǒng)計量

nx與ny——兩組數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量；

σx與 σy——兩組數(shù)據(jù)的標準差。

取顯著度水平α=0.05查t檢驗臨界值分布表，得tα=1.984。計算得檢驗統(tǒng)計量t?tα,可確定兩組數(shù)據(jù)間無系統(tǒng)誤差。

3.3 二維正態(tài)分布檢驗

為研究球鉸鏈間隙與空間回轉(zhuǎn)角度的關系，考慮到二維正態(tài)分布的邊緣分布都是一維正態(tài)分布，根據(jù)KS檢驗法得知球鉸鏈間隙在單個轉(zhuǎn)角方向上均服從一維正態(tài)分布，故假設球鉸鏈間隙與空間回轉(zhuǎn)角度呈二維正態(tài)分布，并采用Doornik-Hansen檢驗法檢驗球鉸鏈間隙在空間中的分布情況。

在R語言中利用mvn函數(shù)編寫多變量正態(tài)分布檢測程序，mvn函數(shù)輸出結(jié)果YES，Doornik-Hansen檢驗法輸出P=0.9975，P值是指在假設為真的前提下，樣本結(jié)果出現(xiàn)的概率。故說明球鉸鏈間隙在空間中呈二維正態(tài)分布。為更直觀地顯示球鉸鏈間隙在空間中的二維正態(tài)分布狀態(tài)，可以畫出其Q-Q圖（quantile-quantile plot），由于二維正態(tài)分布是馬氏平方距離的函數(shù)，因此橫坐標以馬氏平方距離作為樣本分位數(shù)表示樣本與正態(tài)分布的相似度，縱坐標以二維正態(tài)分布求得累積分布函數(shù)表示理論分位數(shù)，如圖5所示。

圖5 球鉸鏈間隙Q-Q圖

4 結(jié)束語

本文在理論建模的基礎上實現(xiàn)了精密球鉸鏈間隙的實時檢測，并完成精密球鉸鏈間隙誤分布實驗研究?；谡`差理論和數(shù)據(jù)檢驗技術，完成了間隙分布的分析、評估和總結(jié)。實驗測試數(shù)據(jù)及分析表明球鉸鏈間隙在0.05置信水平上服從關于回轉(zhuǎn)角α和β的二維正態(tài)分布，這對于實現(xiàn)球鉸鏈運動誤差補償和修正，提高裝備的運動控制精度是良好的技術支撐。