解 騫，李佳鑫，賈業(yè)萌，楊曉萍，郭 舵

(1.西安理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院，陜西 西安 710048；2.天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院，天津 300072)

隨著我國(guó)風(fēng)力發(fā)電產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，直驅(qū)式永磁同步風(fēng)力發(fā)電機(jī)(D-PMSG)在電網(wǎng)中占有的比例不斷升高[1]。D-PMSG采用低速永磁發(fā)電機(jī)且風(fēng)輪與電機(jī)直接耦合，這種發(fā)電機(jī)取消了風(fēng)力機(jī)和發(fā)電機(jī)之間的增速齒輪箱，具有高效率、低噪聲、高壽命等優(yōu)點(diǎn)[2,3]。

當(dāng)某些參數(shù)處于一定工作范圍時(shí)，系統(tǒng)就會(huì)產(chǎn)生不穩(wěn)定的運(yùn)行狀態(tài)，甚至混沌狀態(tài)[4]，具體表現(xiàn)為產(chǎn)生不規(guī)則電磁噪聲、轉(zhuǎn)速和輸出功率間歇性振動(dòng)等現(xiàn)象[5]。目前，國(guó)內(nèi)外已就D-PMSG開展了大量研究[6-8]，但是這些研究主要基于整數(shù)階D-PMSG數(shù)學(xué)模型[9]。相較于整數(shù)階系統(tǒng)，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)更易穩(wěn)定，且可以更好地揭示和描述自然現(xiàn)象[10-12]，許多系統(tǒng)可以由分?jǐn)?shù)階微積分恰當(dāng)?shù)孛枋?。因此，本文基于分?jǐn)?shù)階D-PMSG數(shù)學(xué)模型，研究其動(dòng)力學(xué)行為，探究參數(shù)和階數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響機(jī)制。

另一方面，在現(xiàn)有的研究中，大多數(shù)學(xué)者忽略了發(fā)電機(jī)與電動(dòng)機(jī)的區(qū)別，在研究發(fā)電機(jī)時(shí)卻使用了電動(dòng)機(jī)的模型，并且采用的都是理論參數(shù)，而未采用實(shí)際的運(yùn)行參數(shù)進(jìn)行分析。因此，本文基于筆者先前的研究成果[13]，建立一個(gè)具有實(shí)際參數(shù)的30 kW分?jǐn)?shù)階D-PMSG模型，使得本文的研究?jī)?nèi)容更具實(shí)際意義。

1 分?jǐn)?shù)階微積分理論

在分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展過程中，許多學(xué)者提出了多種不同的分?jǐn)?shù)階微積分定義，但是主要有Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分定義以及Caputo分?jǐn)?shù)階微積分定義。

1)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義式為：

(1)

式中：Γ(·)表示Gamma函數(shù)。

當(dāng)給定的函數(shù)x(t)=(t-α)β，函數(shù)(t-α)β可積，且β>-1時(shí)，由Riemann-Liouville給出的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義為：

(2)

這里限制x(t)=(t-α)β，β>-1且此函數(shù)具有可積分性。

2)Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義式為：

(3)

其中，xm(τ)為函數(shù)x(τ)的m階導(dǎo)數(shù)，m-1≤q≤m+1，m為整數(shù)。

2 分?jǐn)?shù)階D-PMSG數(shù)學(xué)模型建立

對(duì)于D-PMSG，通常采用d-q轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系，由此可以得到D-PMSG的空間矢量圖，如圖1所示。

從而得到電壓方程、磁鏈方程、轉(zhuǎn)矩方程以及運(yùn)動(dòng)方程：

1)電壓方程：

(4)

2)磁鏈方程：

(5)

3)轉(zhuǎn)矩方程：

(6)

4)運(yùn)動(dòng)方程：

(7)

由此，D-PMSG模型可以表示為：

(8)

式(8)中參數(shù)的含義，如表1所示。

表1 D-PMSG數(shù)學(xué)模型參數(shù)Tab.1 Mathematical model parameters of D-PMSG

本文采用表貼式結(jié)構(gòu)的D-PMSG，根據(jù)其特性可知Ld=Lq。

從式(8)可以看出，D-PMSG系統(tǒng)代表高度非線性系統(tǒng)，在動(dòng)態(tài)分析過程中將會(huì)變得非常復(fù)雜。因此，采用仿射變換對(duì)式(8)所示的模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)單來講，仿射變換就是“線性變換”加“平移”。一組平行直線經(jīng)過仿射變換之后依然是直線，且直線的比例保持不變[14]。由于其特有的性質(zhì)，仿射變換在非線性動(dòng)力學(xué)分析中有著重要作用。

下面考慮仿射變換的形式：

(9)

由此，可以得到以下兩種變換：

(10)

(11)

定理1[13]：對(duì)于一個(gè)三維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：

(12)

定義：

將已知條件代入式(8)，可以得到：

(13)

利用式(10)、式(11)以及定理1，可得簡(jiǎn)化后的數(shù)學(xué)模型：

(14)

其中：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

由此可以得到分?jǐn)?shù)階D-PMSG的數(shù)學(xué)模型：

(21)

D-PMSG的風(fēng)力發(fā)電機(jī)組主要由風(fēng)力機(jī)和D-PMSG兩部分組成，風(fēng)力機(jī)將風(fēng)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，帶動(dòng)D-PMSG轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)，從而產(chǎn)生電能。D-PMSG的基本框圖如圖2所示。

圖2 D-PMSG的基本框圖Fig.2 Basic block diagram of D-PMSG

3 分?jǐn)?shù)階D-PMSG非線性動(dòng)力學(xué)及性能分析

分?jǐn)?shù)階D-PMSG數(shù)學(xué)模型為非線性系統(tǒng)，具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。然而當(dāng)D-PMSG的參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)一些不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這將嚴(yán)重影響其工作穩(wěn)定性，降低甚至破壞發(fā)電機(jī)的性能，限制眾多機(jī)電設(shè)備的工作范圍。非線性分析方法是研究系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為最重要的方法。下面將在不同情況下對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，并分析其動(dòng)力學(xué)行為。

3.1 當(dāng)參數(shù)?變化時(shí)

取一組參數(shù)μ=3、ψf=2.5，初始參數(shù)選擇為[0.1，0.1，0.1]，分岔參數(shù)?∈(0,35)。

圖3 q1=q2=q3=1.03時(shí)與?的分岔圖Fig.3 Bifurcation diagrams of versus ?,q1=q2=q3=1.03

從圖3(a)中可以看出，隨著?的變化，系統(tǒng)在大多數(shù)情況下為混沌狀態(tài)。當(dāng)參數(shù)逐漸增加時(shí)，系統(tǒng)最終通過一系列分岔行為擺脫混沌狀態(tài)。

圖3(b)～(d)描繪了分岔圖(圖3(a))中更多的動(dòng)力學(xué)行為細(xì)節(jié)。圖3(b)描述了圖3(a)中參數(shù)?∈[0,20]區(qū)間上的分岔圖，圖中發(fā)現(xiàn)了霍普分岔。當(dāng)?=1.5時(shí)，系統(tǒng)開始失去穩(wěn)定狀態(tài)，發(fā)電機(jī)運(yùn)行性能也開始降低。在?∈(1.5,6.6)范圍內(nèi)，系統(tǒng)有三個(gè)周期。當(dāng)分岔參數(shù)?=6.6時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)了倍周期分岔，由周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了混沌狀態(tài)。之后在混沌區(qū)中，出現(xiàn)了兩個(gè)周期窗口，此時(shí)發(fā)電機(jī)會(huì)產(chǎn)生劇烈振蕩、機(jī)組過熱等現(xiàn)象，使系統(tǒng)無(wú)法正常工作，甚至造成損壞。

圖3(c)描述了圖3(a)中參數(shù)?∈[20,50]區(qū)間上的分岔圖，能夠觀察到兩個(gè)明顯的周期窗口。在這里可以觀察到逆分岔、吸引子合并激變和內(nèi)部激變：當(dāng)?=25.27和?=42.72時(shí)發(fā)生逆分岔；在?=38附近，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)合并激變和內(nèi)部激變。

圖3(d)描述了圖3(a)中參數(shù)?∈[50,70]區(qū)間上的分岔，系統(tǒng)在該區(qū)間內(nèi)大多為周期運(yùn)動(dòng)。隨著分岔參數(shù)?的增大，在經(jīng)歷了一個(gè)短的混沌區(qū)之后，當(dāng)?>42.72時(shí)，系統(tǒng)開始擺脫混沌狀態(tài)，進(jìn)入周期運(yùn)動(dòng)。

圖4 系統(tǒng)階數(shù)q3=1.03、q1與q2變化時(shí)，與?的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagrams of versus ? with different system orders (q1,q2)and q3=1.03

比較這些分岔圖可以發(fā)現(xiàn)，不同階數(shù)的系統(tǒng)都經(jīng)歷了分岔和周期窗口。另一方面，系統(tǒng)的階數(shù)確實(shí)能對(duì)系統(tǒng)的混沌以及分岔行為產(chǎn)生影響。

當(dāng)q1=q2=0.95，q3=1.03時(shí)，系統(tǒng)的分岔圖如圖4(a)所示。隨著分岔參數(shù)?的增大，當(dāng)?=6.62時(shí)，系統(tǒng)突然變得混沌。然后，系統(tǒng)在一個(gè)大范圍內(nèi)保持混沌狀態(tài)。當(dāng)?=47.13時(shí)，出現(xiàn)了一個(gè)明顯的周期窗口。直到?=56.96，系統(tǒng)保持穩(wěn)定。

與圖4(a)相比，圖4(b)中多了一個(gè)大的周期窗口。隨著分岔參數(shù)?的增大，當(dāng)?=3.75時(shí)，系統(tǒng)突然變得混沌，在?∈(35.52,39.06)范圍內(nèi)，存在一個(gè)短的混沌區(qū)，之后經(jīng)歷一個(gè)大的周期窗口和一個(gè)短的混沌區(qū)后，系統(tǒng)再次保持穩(wěn)定。

在圖4(c)中，同樣有一個(gè)很大的周期窗口。隨著分岔參數(shù)?的增大，當(dāng)?=2.00時(shí)，系統(tǒng)突然變得混沌。此外，還可以明顯觀察到，在?=30和?=70附近，系統(tǒng)出現(xiàn)逆分岔。

在圖4(d)～(f)中，系統(tǒng)經(jīng)歷了混沌和許多小的周期窗口，最終通過一系列的分岔行為擺脫混沌。

當(dāng)?=29.2時(shí)，在圖5中繪制了具有不同系統(tǒng)階數(shù)的iq-id相圖，從不同的角度描述了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，與系統(tǒng)分岔圖相對(duì)應(yīng)。

圖5 系統(tǒng)參數(shù)?=29.2，階數(shù)q3=1.03、q1與q2變化時(shí)的相圖 phase graphs with different system orders(q1,q2)and q3=1.03,?=29.2

此時(shí)，隨著階數(shù)的增加，相圖中一直呈現(xiàn)出混沌吸引子，表明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。這時(shí)，發(fā)電機(jī)出現(xiàn)劇烈振蕩，不能正常運(yùn)行，并且還會(huì)影響周邊設(shè)備的正常運(yùn)行。從圖中可以看出，當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)增加時(shí)，吸引子不僅改變了大小，而且改變了形狀。例如，圖5(f)中的吸引子比其他吸引子大，并且形狀也與其他吸引子大不相同。

圖6 系統(tǒng)參數(shù)?=75，階數(shù)q3=1.03、q1與q2變化時(shí)的相圖 phase graphs with different system orders (q1,q2)andq3=1.03,?=75

圖5和圖6中相圖對(duì)應(yīng)的功率譜密度(PSD)圖分別示于圖7和圖8中，其與分析結(jié)果一致。

圖7 系統(tǒng)參數(shù)?=29.2，階數(shù)q3=1.03、q1與q2變化時(shí)的功率譜圖Fig.7 PSD diagrams with different system orders (q1,q2)andq3=1.03,?=29.2

圖8 系統(tǒng)參數(shù)?=75，階數(shù)q3=1.03、q1與q2變化時(shí)的功率譜圖Fig.8 PSD diagrams with different system orders (q1,q2)andq3=1.03,?=75

分析所有的分岔圖可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)參數(shù)?變化時(shí)，總能找到一個(gè)區(qū)間范圍，使得系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。這為發(fā)電機(jī)的設(shè)計(jì)提供了理論上的幫助。例如，當(dāng)q1=q2=q3=1.03時(shí)，系統(tǒng)在?∈(0,1.5)范圍內(nèi)是穩(wěn)定的。結(jié)合式(16)，只要在設(shè)計(jì)時(shí)選取合適的黏性阻尼系數(shù)b、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，就可以使發(fā)電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行，保持較好的性能。

圖9給出了?e與系統(tǒng)階數(shù)q之間的關(guān)系。?e表示混沌結(jié)束時(shí)的?，q表示q1、q2，其中q1=q2。從圖中可以看出，?e與系統(tǒng)階數(shù)q之間的關(guān)系比較復(fù)雜。當(dāng)q從0.95增加到1時(shí)，?e逐漸增大；但當(dāng)q繼續(xù)從1增加到1.15時(shí)，?e開始減小，特別是在q∈[1,1.05]范圍內(nèi)，?e下降較快。

圖9 ?e與系統(tǒng)階數(shù)q之間的關(guān)系Fig.9 ?e versus system order q

3.2 當(dāng)參數(shù)μ變化時(shí)

取一組參數(shù)?=9.8、ψf=4.2，初始參數(shù)選擇為[0.1,0.1,0.1]，分岔參數(shù)μ∈(0,4)。

圖10(b)描述了圖10(a)中參數(shù)μ∈[0,1.5]區(qū)間上的分岔圖。當(dāng)分岔參數(shù)μ=0.36時(shí)，系統(tǒng)開始失去穩(wěn)定，當(dāng)分岔參數(shù)μ=0.56時(shí)，系統(tǒng)突然進(jìn)入混沌，之后一直處于混沌狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)，發(fā)電機(jī)會(huì)出現(xiàn)劇烈振蕩，不能正常工作，嚴(yán)重時(shí)甚至損壞電機(jī)，產(chǎn)生事故。

圖10(c)描述了圖10(a)中參數(shù)μ∈[1.5,2.4]區(qū)間上的分岔圖，在圖中出現(xiàn)了一個(gè)周期窗口。從μ=1.5開始，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，之后經(jīng)歷分岔，當(dāng)μ=2.05時(shí)，系統(tǒng)再次進(jìn)入混沌狀態(tài)。在該圖中，可以發(fā)現(xiàn)吸引子內(nèi)部激變和合并激變。

圖10(d)描述了圖10(a)中參數(shù)μ∈[2.4,4]區(qū)間上的分岔圖。圖中可以觀察到明顯的分岔行為，當(dāng)μ=2.55時(shí)，發(fā)生逆分岔，當(dāng)μ=3.32時(shí)，系統(tǒng)再次達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖10 q1=q2=q3=1.03時(shí)與μ的分岔圖Fig.10 Bifurcation diagrams of versus μ,q1=q2=q3=1.03

圖11 系統(tǒng)階數(shù)q3=1.03、q1與q2變化時(shí)，與μ的分岔圖Fig.11 Bifurcation diagrams of versus μ with different system orders (q1,q2)andq3=1.03

從圖11(a)～(f)中可以看出，當(dāng)μ到達(dá)一定值時(shí)，系統(tǒng)會(huì)突然進(jìn)入混沌，這在系統(tǒng)階數(shù)q1、q2不同時(shí)表現(xiàn)得有所不同。雖然系統(tǒng)的階數(shù)有所不同，但是系統(tǒng)在經(jīng)歷了一系列分岔、混沌之后，最終都回到穩(wěn)定狀態(tài)，并且在圖11(a)～(c)中都出現(xiàn)了吸引子內(nèi)部激變和合并激變，而在圖11(f)中存在霍普分岔。

圖12 系統(tǒng)參數(shù)μ=1，階數(shù)q3=1.03、q1與q2變化時(shí)的相圖 phase graphs with different system orders (q1,q2)andq3=1.03,μ=1

圖13 系統(tǒng)參數(shù)μ=0.6，階數(shù)q3=1.03、q1與q2變化時(shí)的相圖 phase graphs with different system orders (q1,q2)andq3=1.03,μ=0.6

圖12和圖13對(duì)應(yīng)的PSD圖如圖14和圖15所示，與分析結(jié)果一致。

圖14 系統(tǒng)參數(shù)μ=1，階數(shù)q3=1.03、q1與q2變化時(shí)的功率譜圖Fig.14 PSD diagrams with different system orders (q1,q2)andq3=1.03,μ=1

圖15 系統(tǒng)參數(shù)μ=0.6，階數(shù)q3=1.03、q1與q2變化時(shí)的功率譜圖Fig.15 PSD diagrams with different system orders (q1,q2)andq3=1.03,μ=0.6

分析所有的分岔圖可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)參數(shù)μ變化時(shí)，總能找到一個(gè)區(qū)間范圍，使得系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。這為發(fā)電機(jī)的設(shè)計(jì)提供了理論上的幫助。例如，當(dāng)q1=q2=q3=1.03時(shí)，系統(tǒng)在μ∈(0,0.36)及μ>3.2范圍內(nèi)是穩(wěn)定的。結(jié)合式(15)，只要在設(shè)計(jì)時(shí)選取合適的極對(duì)數(shù)np、黏性阻尼系數(shù)b和定子繞組電阻R，就可以使發(fā)電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行，保持較好的性能。

圖16給出了μe與系統(tǒng)階數(shù)q之間的關(guān)系。μe表示混沌結(jié)束時(shí)的μ，q表示q1、q2，其中q1=q2。從圖16中可以看出，μe與系統(tǒng)階數(shù)q之間的關(guān)系比較復(fù)雜。當(dāng)q從0.95增加到1時(shí)，μe逐漸增大，但當(dāng)q增加到1之后，μe突然減??；當(dāng)q∈[1.03,1.05]時(shí)，μe緩慢增大，但當(dāng)q∈(1.05,1.15]時(shí)，μe依然隨著q的增加而減小。

圖16 μe與系統(tǒng)階數(shù)q之間的關(guān)系Fig.16 μe versus system order q

3.3 當(dāng)參數(shù)μ、?、ψf固定，系統(tǒng)階數(shù)變化時(shí)

取一組參數(shù)μ=0.6、?=6.377 6、ψf=3，初始參數(shù)選擇為[0.1，0.1，0.1]。

圖17 系統(tǒng)參數(shù)μ=0.6、?=6.377 6、ψf=3，階數(shù)q1、q2與q3變化時(shí)的相圖 phase graphs with different system orders (q1,q2,q3)and μ=0.6,?=6.377 6,ψf=3

從圖17(a)～(d)中可以看出，當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)為0.95、0.97、1.10和1.05時(shí)，隨著階數(shù)的增加，相圖中一直呈現(xiàn)出規(guī)則的圓，并不斷向中心運(yùn)動(dòng)，表明系統(tǒng)可以運(yùn)行到穩(wěn)定狀態(tài)。此時(shí)發(fā)電機(jī)運(yùn)行性能良好，輸出電壓幅值和頻率都較為穩(wěn)定。但當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)增加到q1=q2=q3=1.10及q1=q2=q3=1.15時(shí)，相圖中呈現(xiàn)出混沌吸引子，如圖17(e)、(f)，表明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。此時(shí)發(fā)電機(jī)不能正常運(yùn)行，會(huì)出現(xiàn)劇烈振蕩。

圖17中相圖對(duì)應(yīng)的PSD圖示于圖18中，與分析結(jié)果一致。

圖18 系統(tǒng)參數(shù)μ=0.6、?=6.377 6、ψf=3，階數(shù)q1、q2與q3變化時(shí)的功率譜圖Fig.18 PSD diagrams with different system orders (q1,q2,q3)and μ=0.6,?=6.377 6,ψf=3

4 結(jié) 論

本文根據(jù)一個(gè)實(shí)際的D-PMSG模型，采用仿射變換的方法，建立了分?jǐn)?shù)階D-PMSG新的緊湊方程式(21)，并且通過非線性動(dòng)力學(xué)理論以及分?jǐn)?shù)階理論，分析了分?jǐn)?shù)階D-PMSG系統(tǒng)中不同參數(shù)、不同系統(tǒng)階數(shù)變化時(shí)的影響。

由本文分析可知：第一，在不同系統(tǒng)階數(shù)下，D-PMSG會(huì)有不同的動(dòng)力學(xué)行為，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也會(huì)隨之改變；第二，混沌吸引子的形狀和大小也都會(huì)隨分岔參數(shù)?和μ的變化而變化；第三，在參數(shù)μ變化，階數(shù)q1=q2=q3=1.03時(shí)，系統(tǒng)較其他階數(shù)具有較大的穩(wěn)定區(qū)間：?=9.8，ψf=4.2時(shí)，系統(tǒng)在0<μ<0.36和μ>3.2范圍內(nèi)是穩(wěn)定的；第四，結(jié)合本文對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的分析，相較于筆者先前對(duì)整數(shù)階系統(tǒng)的研究，可以發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)在單參數(shù)變化、階數(shù)q1=q2=q3=1.03時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)間更大，使得滿足發(fā)電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)可供選擇的系統(tǒng)參數(shù)范圍更廣；且當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)固定時(shí)，隨著階數(shù)的增加，系統(tǒng)逐漸進(jìn)入混沌狀態(tài)；第五，得到發(fā)電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行的區(qū)間，在發(fā)電機(jī)設(shè)計(jì)時(shí)，可以選取合適的實(shí)際參數(shù)，保證發(fā)電機(jī)獲得更可靠、更良好的性能；第六，得到參數(shù)?和μ變化時(shí)，系統(tǒng)脫離混沌時(shí)相應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)與階數(shù)q之間的關(guān)系曲線，這對(duì)在其他階數(shù)下獲得系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)間具有重要意義。

本研究中采用的實(shí)際D-PMSG參數(shù)、建立的數(shù)學(xué)模型，相較于其他研究更具有實(shí)際意義。此外，本文的研究對(duì)進(jìn)一步探索D-PMSG及其他分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性具有一定的參考價(jià)值。