龐大千， 曾根， 李訓明， 郭磊， 趙富強， 孫占春

(1.中國北方車輛研究所， 北京 100072； 2.車輛傳動重點實驗室， 北京 100072)

0 引言

行星齒輪系統(tǒng)由于結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力強等特點，廣泛應用于高速重載情況下的機電復合傳動裝置。目前對于行星齒輪系統(tǒng)的研究大多集中于故障診斷及動態(tài)特性研究方面[1-2]，而對于瞬態(tài)溫度場的研究則非常匱乏。在高速重載情況下，輪齒表面會形成復雜和非均勻的溫度場，齒輪的齒面接觸溫度也會比以往高很多。較高的齒面溫度常常會導致油膜斷裂，使得嚙合在一起的輪齒更容易互相粘連，在旋轉(zhuǎn)時將齒面剝離[3-5]。行星齒輪系統(tǒng)在高速重載工況下更容易形成高溫環(huán)境，使得齒面有更高的幾率出現(xiàn)損傷。

1937年，Blok[6]利用二維摩擦熱通量公式，推導出了兩物體相對滑動時的瞬態(tài)接觸溫度近似公式。同年，Blok[7]利用假設恒定速度的方式提出了齒輪瞬態(tài)接觸溫度的計算公式。1963年底，Blok[8]提出可以預測潤滑狀態(tài)及閃現(xiàn)溫度。1974年，Tobe等[9]通過進一步改進嚙合間的摩擦熱分配來研究瞬時接觸溫度。Terauchi 等[10]使用示波器測量齒輪表面溫度，以改進齒輪溫度的數(shù)值分析。Wang等[11]、Patir等[12]和Townsend等[13]發(fā)展了齒輪溫度場分析理論，研究了齒輪端面對流換熱系數(shù)、嚙合齒面摩擦熱流量等邊界條件，建立了齒輪有限元本體溫度場，得到了齒輪嚙合過程中的本體溫度的大小和分布情況，研究了輸入載荷、幾何參數(shù)和潤滑特性對齒輪溫度場的影響。1993年，Anifantis等[3]建立了二維溫度場有限元分折和計算模型，對加載邊界條件以及熱載荷在主、從動輪間的分配問題進行了研究。Tevrus[14]采用數(shù)值和實驗兩種方法對齒廓溫度進行預測。Shi等[15]對機車牽引齒輪的溫度場進行了分析。Wang 等[16]對螺旋傘齒的摩擦熱產(chǎn)生以及瞬態(tài)熱特性進行了充分研究。Li等[17]利用有限元法對齒輪偏載后的穩(wěn)態(tài)溫度場進行了分析。Luo等[18]利用有限元法對齒輪本體溫度場的影響因素進行了分析。Zhang等[19]利用熱彈流耦合方法來確定螺旋傘齒的齒面溫升。Li等[20-21]通過有限元和實驗的方法對含裂紋直齒輪瞬態(tài)溫度場及斜齒輪瞬態(tài)溫度場進行了研究。宋萬良等[22]對齒輪系統(tǒng)固體膜潤滑齒面溫度進行了分析和計算。

綜上所述，目前對于齒輪溫度場的研究大部分停留在定軸齒輪系統(tǒng)階段，行星齒輪系統(tǒng)的溫度場研究非常匱乏。因此，本文擬對行星齒輪系統(tǒng)模型進行仿真實驗研究，以揭示轉(zhuǎn)速、扭矩以及輸出功率對于行星齒輪系統(tǒng)齒面不同區(qū)域的影響規(guī)律，并通過試驗驗證本文所用方法的可靠性。本文的研究結(jié)果可為機電復合傳動用行星齒輪系統(tǒng)的高質(zhì)量設計和表面強度研究提供可靠的理論依據(jù)。

1 溫度場分析的微分方程和邊界條件

本文研究的傳熱模型為線性的，其三維熱傳導微分方程的一般形式為

(1)

齒輪嚙合摩擦產(chǎn)生的熱流施加在齒面上，建立齒輪的非穩(wěn)態(tài)熱傳導微分方程如下：

(2)

因此，溫度場是一個空間和時間的函數(shù)，即T=f(x,y,z,t)。根據(jù)Blok的理論[8]，瞬態(tài)過程只能在嚙合齒面N上觀察到，是一種很薄的熱層。瞬態(tài)的影響對于熱層下的區(qū)域可以忽略[12]。當齒輪開始運動到足夠長時間后，齒輪體溫度將趨于穩(wěn)定[8]。齒輪的摩擦散熱和冷卻散熱也趨于平衡，各輪齒的溫度變化完全相同，因此采用單個輪齒進行溫度場研究。圖1所示為單齒傳熱模型。圖1中，S為齒側(cè)壁，J為齒輪轂側(cè)壁，K為J的鏡像面，d為齒輪轂內(nèi)壁，t1為齒根圓面，t2為齒上壁。

圖1 單齒傳熱模型Fig.1 Single tooth heat transfer model

在圖1的單齒導熱計算區(qū)域，非穩(wěn)態(tài)溫度場還應該滿足以下邊界條件與初始條件：

1)嚙合面(N區(qū))，其邊界條件由(3)式給出：

(3)

2)齒輪側(cè)，即圖1中的邊界S，其邊界條件由(4)式給出：

(4)

3)齒頂面，即圖1中的邊界t2，其邊界條件由(5)式?jīng)Q定：

(5)

4)非嚙合齒面，即圖1中的邊界t1，其邊界條件由(6)式?jīng)Q定：

(6)

5)邊界d，其邊界條件由(7)式?jīng)Q定：

(7)

6)齒面J、K表面有導熱現(xiàn)象，兩表面的導熱熱值相等，其邊界條件為

(8)

T|J=T|K.

(9)

7)初始條件為

T=f(x,y,z,t)|t=0 s.

(10)

2 齒輪參數(shù)及模型建立

表1所示為太陽輪、行星輪及外齒圈的參數(shù)。為了使計算結(jié)果更加準確，采用全齒輪建模(見圖2(a))；為了確保計算速度以及計算精度，有限元模型使用區(qū)域網(wǎng)格加密(見圖2(b))。由于本文計算瞬態(tài)溫度場，加密網(wǎng)格類型采用六面體，網(wǎng)格數(shù)量為495 980.

表1 行星齒輪系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Planetary gear system parameters

圖2 行星齒輪系統(tǒng)三維模型及有限元網(wǎng)格Fig.2 Three-dimensional model and finite element grid diagram of planetary gear system

為了更好地說明齒面瞬態(tài)溫度場的位置與設定，將齒面分為3個區(qū)域進行標注(見圖3)，由于齒廓面及節(jié)線處的相對滑動速度較小，本文只討論齒根面和齒頂面的溫度變化。

圖3 齒面接觸區(qū)域劃分示意圖Fig.3 Schematic diagram of tooth surface contact area division

3 算例及結(jié)果分析

本節(jié)將討論不同扭矩、不同轉(zhuǎn)速以及不同輸出功率對行星齒輪系統(tǒng)齒面瞬態(tài)溫度場的影響情況，并針對上齒面和齒根面溫度場變化進行詳細分析。根據(jù)實際運行情況，行星齒輪系統(tǒng)為噴油潤滑模型；根據(jù)噴油潤滑而言，將摩擦系數(shù)設置為0.05，由于行星輪存在公轉(zhuǎn)及自轉(zhuǎn)，為了表述結(jié)果和分析更加簡潔，在分析行星輪溫度場時以太陽輪轉(zhuǎn)速作為參考。

3.1 不同轉(zhuǎn)速對行星齒輪系統(tǒng)溫度場的影響

3.1.1 不同轉(zhuǎn)速對太陽輪瞬態(tài)溫度場的影響

對相同扭矩、不同轉(zhuǎn)速下的行星齒輪系統(tǒng)齒面瞬態(tài)溫度場進行分析，為行星框架加載500 N·m扭矩，外齒圈固定，太陽輪轉(zhuǎn)速依次設置為3 000～9 000 r/min，每1 000 r/min一個轉(zhuǎn)速點，不同轉(zhuǎn)速下太陽輪齒面瞬態(tài)溫度場如圖4所示。

圖4 不同轉(zhuǎn)速下太陽輪齒面瞬態(tài)溫度場(扭矩500 N·m)Fig.4 Transient temperature field of sun gear tooth surface at different speeds (500 N·m)

由圖4(a)可以看出，隨著轉(zhuǎn)速上升，齒面瞬態(tài)溫度絕對值均有升高，齒頂面與齒根面溫度升高幅度基本相同，而齒廓面溫度升高幅度則較小。這主要是因為當進入齒廓面嚙合時，齒面間相對滑動速度逐漸減小，當嚙合面處于節(jié)線處時，相對滑動速度為最小，位于圖4中旋轉(zhuǎn)角度-2.2°位置，此時齒面瞬態(tài)溫度為最低，且此處的溫度隨著轉(zhuǎn)速的提升并沒有出現(xiàn)較大的變化。從圖4中還可以看出：齒頂面溫度絕對值要大于齒根面，齒頂面、齒根面最高溫度，如圖5所示；隨著轉(zhuǎn)速增加，齒頂面與齒根面的溫差逐漸增大，表明隨著轉(zhuǎn)速升高，齒根面與齒頂面的最高溫度差將逐漸增大，當轉(zhuǎn)速超過5 000 r/min后溫度升高斜率將會降低，具體升高數(shù)值圖如表2所示。

圖5 不同轉(zhuǎn)速下太陽輪齒根面與齒頂面最高溫度曲線圖(扭矩500 N·m)Fig.5 Maximum temperature curves of tooth root surface and tooth top surface of sun gear at different rotating speeds (500 N·m)

表2 不同轉(zhuǎn)速下太陽輪齒根面和齒頂面最高溫度Tab.2 Maximum temperatures of root surface and top surface of sun gear at different rotating speeds

3.1.2 不同轉(zhuǎn)速對行星輪瞬態(tài)溫度場的影響

對相同扭矩、不同轉(zhuǎn)速下的行星齒輪系統(tǒng)齒面瞬態(tài)溫度場進行分析，為行星框架加載500 N·m扭矩，外齒圈固定，太陽輪轉(zhuǎn)速依次設置為3 000～9 000 r/min，每1 000 r/min一個轉(zhuǎn)速點，不同轉(zhuǎn)速下行星輪齒面瞬態(tài)溫度場如圖6所示。

圖6 不同轉(zhuǎn)速下行星輪齒面瞬態(tài)溫度場(扭矩500 N·m)Fig.6 Transient temperature field of planetary gear surface at different speeds (500 N·m)

由圖6可知：不同轉(zhuǎn)速下行星輪齒面瞬態(tài)溫度隨著轉(zhuǎn)速升高而增大；齒根面的最高溫度大幅高于齒頂面的溫度，并且齒頂面最高溫度的增加量很小(由于齒根部位散熱較差，容易積累熱量從而造成齒面膠合，此系統(tǒng)后續(xù)需要進行優(yōu)化，從而使齒根面瞬態(tài)溫度降低)；行星輪齒根與齒頂面最高溫度差也存在隨轉(zhuǎn)速升高的趨勢，溫差并不大，但溫差絕對值要大于太陽輪(見圖7)。具體溫度值如表3所示。

圖7 不同轉(zhuǎn)速下行星輪齒根面與齒頂面最高溫度曲線圖(扭矩500 N·m)Fig.7 Maximum temperature curves of root surface and top surface of planetary gear at different rotating speeds(500 N·m)

表3 不同轉(zhuǎn)速下行星輪齒根面和齒頂面最高溫度Tab.3 Maximum temperatures of root surface and top surfacer of planetary gear at different rotating speeds

由表3可以看到：行星輪嚙合時齒根面的高溫區(qū)域要大于齒頂面；齒根面與齒頂面呈現(xiàn)的溫度區(qū)域并不像太陽輪那樣具有明顯的對稱性，表明行星輪在齒頂面位置的產(chǎn)熱量極低。通過對齒面行星輪齒面產(chǎn)熱進行的分析證明了上述討論結(jié)果(見圖8)，具體發(fā)熱數(shù)值如圖9所示。圖9中，A表示齒根面最高溫度位置，C表示分度圓位置，E表示齒頂面最高溫度位置。

圖8 行星輪齒面發(fā)熱趨勢(扭矩500 N·m,齒面上藍色線長短代表眼齒廓上的發(fā)熱量趨勢)Fig.8 Heating trend of tooth surface of planetary gear(500 N·m,the blue lines on the tooth surface represent the trend of heating on eye tooth profile )

圖9 太陽輪及行星輪齒面嚙合發(fā)熱曲線圖(扭矩500 N·m)Fig.9 Meshing heating curves of sun gear and planetary gear surfaces (500 N·m)

3.2 不同扭矩對行星齒輪系統(tǒng)溫度場的影響

討論扭矩對行星齒輪系統(tǒng)齒面瞬態(tài)接觸應力的影響情況，將太陽輪轉(zhuǎn)速設置為3 000 r/min，選取扭矩300～900 N·m 7個轉(zhuǎn)速點進行計算。

3.2.1 不同扭矩對太陽輪瞬態(tài)溫度場的影響

如圖10所示，隨著扭矩增加，齒面瞬態(tài)嚙合溫度逐漸升高，但是齒根面升高速率要低于齒頂面升高速率，齒頂面最高溫度要高于齒根面的最高溫度。

圖10 不同扭矩下太陽輪齒面瞬態(tài)溫度場(轉(zhuǎn)速3 000 r/min)Fig.10 Transient temperature field of tooth surface of sun gear under different torques (3 000 r/min)

表4所示為不同扭矩下齒頂面與齒根面最高溫度值，從中可以看到隨著扭矩增大，齒頂面與齒根面最高溫度差值逐漸增加。表5所示為不同扭矩齒面瞬態(tài)溫度平均值及升高率，從中可以看出齒面瞬態(tài)溫度平均增長率值會隨著載荷的增大而逐漸減小。

表4 不同扭矩下太陽輪齒根面和齒頂面最高溫度Tab.4 Maximum temperatures of tooth root surface and tooth top surface of sun gear under different torques

3.2.2 不同扭矩對行星輪瞬態(tài)溫度場的影響

圖11所示為不同扭矩下行星輪齒面瞬態(tài)嚙合溫度。由圖11可以看到：隨著扭矩增加，齒根面瞬態(tài)溫度逐漸升高，且齒根面瞬態(tài)溫度大于齒頂面瞬態(tài)溫度；隨著載荷升高，齒頂面與齒根面的最高溫度差值也有明顯增大。表6所示為不同扭矩下行星輪齒根面和齒頂面最高溫度。

圖11 不同扭矩下行星輪齒面瞬態(tài)溫度場(轉(zhuǎn)速3 000 r/min)Fig.11 Transient temperature field of planetary gear surface under different torques (3 000 r/min)

由表6可以看出，隨著載荷增加，行星輪齒頂面最高溫度的上升率要小于齒根面最高溫度上升率，造成齒頂面與齒根面最高溫度差值會隨著載荷的變化而改變。這是因為行星輪既進行公轉(zhuǎn)也有自轉(zhuǎn)，在本文所用模型中，在旋轉(zhuǎn)至齒根位置時自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)疊加后的相對滑動速度最大，從而導致在齒根部位的瞬態(tài)溫度最高，后面可以針對行星輪齒根部位進行優(yōu)化。

表6 不同扭矩下行星輪齒根面和齒頂面最高溫度Tab.6 Maximum temperatures of tooth root surface and tooth top surface of planetary gear under different torques

3.3 恒功率條件下不同轉(zhuǎn)速對行星齒輪系統(tǒng)溫度場的影響

根據(jù)驅(qū)動電機的外特性可知，在輸出功率恒定時，隨著輸出轉(zhuǎn)速升高，輸出扭矩則會降低，根據(jù)這一特性，本節(jié)研究恒定300 kW輸出功率下，不同轉(zhuǎn)速對行星齒輪系統(tǒng)齒面瞬態(tài)溫度的影響。

3.3.1 恒功率下不同轉(zhuǎn)速對太陽輪齒面瞬態(tài)溫度的影響

圖12所示為300 kW輸出功率下不同轉(zhuǎn)速點太陽輪齒面瞬態(tài)溫度場曲線圖。由圖12可以看出，隨著轉(zhuǎn)速的增加，齒面瞬態(tài)溫度逐漸降低，且降低幅度為非線性。

圖12 300 kW輸出功率下不同轉(zhuǎn)速點的太陽輪齒面瞬態(tài)溫度場Fig.12 Transient temperature field of tooth surface of sun gear at different speed points under 300 kW output power

不同轉(zhuǎn)速下齒頂面及齒根面最高溫度如圖13所示，從中可以看到隨著轉(zhuǎn)速的升高，齒頂面與齒根面的最高溫度逐漸降低，在5 000 r/min之前的下降率要高于5 000 r/min之后的下降率，具體數(shù)值如表7所示。由表7可見，與恒扭矩和恒轉(zhuǎn)速工況不同，在恒功率情況下，隨著轉(zhuǎn)速升高，齒頂面最齒根面的最高溫度差值會出現(xiàn)先升高、后降低的情況。

圖13 太陽輪齒頂面與齒根面最高溫度曲線圖(功率300 kW)Fig.13 Maximum temperature curves of tooth top surface and tooth root surface of sun gear (300 kW)

值得注意的是：在300 kW恒功率下，隨著轉(zhuǎn)速的升高齒頂面和齒根面的最高溫度有所減小，減小的絕對值約等于上一個轉(zhuǎn)速點的2倍(見表7)；當轉(zhuǎn)速從3 000 r/min升至5 000 r/min時，溫度齒頂面溫度由109.6 ℃降低至100.6 ℃，降低量為9 ℃；當轉(zhuǎn)速從5 000 r/min升至7 000 r/min時，溫度齒頂面溫度由100.6 ℃降低至95.5 ℃，降低量為4.8 ℃，該現(xiàn)象也出現(xiàn)在齒根面最高溫度差值上。

表7 300 kW輸出功率下不同轉(zhuǎn)速點的太陽輪齒頂面及齒根面最高溫度Tab.7 Maximum temperatures of top and root surfaces of sun gear at different speed points under 300 kW output power

3.3.2 恒功率下不同轉(zhuǎn)速對行星輪齒面瞬態(tài)溫度的影響

圖14所示為300 kW輸出功率下不同轉(zhuǎn)速點的行星輪齒面瞬態(tài)溫度場曲線圖。由圖14可知，恒定功率下，隨著轉(zhuǎn)速升高，行星輪齒根面溫度場最高溫度逐漸增大，而齒頂面溫度場的最高溫度則變化較小。齒根面溫度場最高溫度隨轉(zhuǎn)速升高也呈現(xiàn)了非線性降低(見表8)。由表8可見：與太陽輪不同的是，隨著轉(zhuǎn)速升高，齒根面與齒頂面最高溫度差會出現(xiàn)線性減低的情況；隨著轉(zhuǎn)速的升高，齒頂面和齒根面的最高溫度減小的絕對值約等于上一個轉(zhuǎn)速點的2倍的規(guī)律同樣也出現(xiàn)在行星輪齒面瞬態(tài)溫度場上。

表8 300 kW輸出功率下不同轉(zhuǎn)速點的行星輪齒頂面及齒根面最高溫度Tab.8 Maximum temperatures of top and root surfaces of planetary gear at different rotating speed points under 300 kW output power

圖14 300 kW輸出功率下不同轉(zhuǎn)速點的行星輪齒面瞬態(tài)溫度場Fig.14 Transient temperature field of planetary gear face at different rotating speed points under 300 kW output power

4 試驗驗證

利用本文方法對試驗臺齒輪進行有限元瞬態(tài)溫度場分析，并測量試驗臺齒輪箱中實際齒面溫度，對比有限元分析結(jié)果與試驗結(jié)果。通過與試驗數(shù)據(jù)的比較，驗證本文方法的正確性。

圖15所示為齒輪系統(tǒng)試驗臺。試驗臺齒輪為一對直齒輪，表9所示為試驗齒輪的參數(shù)。

表9 試驗齒輪參數(shù)Tab.9 Parameters of test gears

圖15 齒輪系統(tǒng)試驗臺Fig.15 Test bench of geared rotor system

為大齒輪加載1 400 r/min轉(zhuǎn)速，為小齒輪加載138 N·m轉(zhuǎn)矩。為確保溫度數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，速度和轉(zhuǎn)矩將在3 min內(nèi)提升至設定值。將驅(qū)動電機在設定值下穩(wěn)定運行30 min. 30 min后關(guān)閉電機，打開齒輪箱頂蓋，用紅外測溫儀測量大齒輪齒面溫度。為了準確測量齒輪溫度，重復3次試驗并測量了溫度。利用本文方法對試驗齒輪模型加載同等工況，計算出溫度場結(jié)果。

表10所示為測量值與有限元分析值對比，從中可以看出測量值與有限元計算值之間的平均誤差為5.86%，因此可以認為本文方法所得的齒輪溫度場結(jié)果是準確的。圖16所示為實際測量過程圖片以及有限元計算結(jié)果溫度場云圖。

表10 大齒輪試驗溫度與有限元計算溫度對比Tab.10 Experimental and calculated temperatures of gear

圖16 實際測量過程圖片以及有限元計算結(jié)果溫度場云圖Fig.16 Actual measurement process and temperature field of finite element calculation results

5 結(jié)論

本文利用有限元法對機電復合傳動裝置行星齒輪系統(tǒng)進行仿真實驗，分析了不同轉(zhuǎn)速、扭矩以及恒功率下太陽輪和行星輪瞬態(tài)溫度場。仿真結(jié)果揭示了不同轉(zhuǎn)速、不同扭矩對行星齒輪系統(tǒng)太陽輪及行星輪齒面瞬態(tài)溫度場的影響規(guī)律，對機電復合傳動裝置行星齒輪系統(tǒng)的優(yōu)化和高質(zhì)量設計提供了可靠的理論依據(jù)，并進行了試驗驗證。所得主要結(jié)論如下：

1)建立機電復合傳動裝置行星齒輪系統(tǒng)三維模型，同時對齒面進行區(qū)域劃分，將齒面分為齒根面、齒廓面及齒頂面。

2)隨著轉(zhuǎn)速升高，太陽輪齒根面與齒頂面的最高溫度差將逐漸增大，當轉(zhuǎn)速超過5 000 r/min后溫度升高斜率將會降低，不同轉(zhuǎn)速下行星輪齒面瞬態(tài)溫度隨著轉(zhuǎn)速升高而增大；齒根面的最高溫度大幅高于齒頂面的溫度，行星輪齒根與齒頂面最高溫度差也存在隨轉(zhuǎn)速升高的趨勢，齒根面與齒頂面呈現(xiàn)的溫度區(qū)域并不像太陽輪那樣具有明顯的對稱性，表明行星輪在齒頂面位置的產(chǎn)熱量極低。

3)隨著扭矩增大，太陽輪齒頂面與齒根面最高溫度差值逐漸增加，齒面瞬態(tài)溫度平均增長率值會隨著載荷的增大而逐漸減小。隨著扭矩增加，行星輪齒根面瞬態(tài)溫度逐漸升高，齒根面瞬態(tài)溫度大于齒頂面瞬態(tài)溫度，且齒頂面與齒根面的最高溫度差值也有明顯增大。

4)在恒功率條件下，隨著轉(zhuǎn)速的增加，太陽輪齒面瞬態(tài)溫度逐漸降低，且降低幅度為非線性，齒頂面與齒根面的最高溫度逐漸降低，在5 000 r/min之前的下降率要高于5 000 r/min之后的下降率。隨著轉(zhuǎn)速的升高，太陽輪齒頂面和齒根面的最高溫度有所減小，減小的絕對值約等于上一個轉(zhuǎn)速點的2倍。

5)利用本文方法對試驗臺齒輪進行有限元瞬態(tài)溫度場分析，并測量試驗臺齒輪箱中實際齒面溫度，對比有限元分析結(jié)果與試驗結(jié)果。通過與試驗數(shù)據(jù)的比較，驗證本文方法的正確性。