楊卓 翟羽

摘要：本文通過(guò)幾個(gè)實(shí)例，介紹了定積分在判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性以及求級(jí)數(shù)和運(yùn)算中的應(yīng)用，這種方法是數(shù)學(xué)分析級(jí)數(shù)理論中積分判別法應(yīng)用的延伸.

關(guān)鍵詞：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 斂散性 定積分

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別是數(shù)學(xué)分析課程中級(jí)數(shù)理論的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，其中又以正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性最為重要.大部分?jǐn)?shù)學(xué)分析教材中涉及的正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法主要包括達(dá)朗貝爾判別法，柯西判別法和積分判別法等，它們的本質(zhì)都是比較原則.其中，積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性與積分性質(zhì)，以反常積分作為比較對(duì)象來(lái)判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法，例如重要的級(jí)數(shù)的斂散性結(jié)論就是利用積分判別法給出的.關(guān)于級(jí)數(shù)的基本概念與理論，可以參考[1]和[2].接下來(lái)，我們將通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明積分工具在處理級(jí)數(shù)斂散性問(wèn)題中的重要應(yīng)用.

（2013年第五屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽（非數(shù)學(xué)專業(yè)類）預(yù)賽試題[3]）判斷級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，求其和.

分析：判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性時(shí)，我們主要采用的方法是比較估計(jì)級(jí)數(shù)通項(xiàng)趨于0的速度，經(jīng)常選取的比較對(duì)象是級(jí)數(shù).本題無(wú)法直接使用達(dá)朗貝爾判別法或柯西判別法判斷，不過(guò)可以借助適用范圍更廣泛的拉貝判別法來(lái)判斷其收斂性.這里，我們通過(guò)將通項(xiàng)分子中的各項(xiàng)轉(zhuǎn)化為定積分，從而給出通項(xiàng)趨于0的速度的估計(jì).

如果大家熟悉歐拉常數(shù)

那本題中得到的對(duì)通項(xiàng)的估計(jì)是非常顯然的.

在級(jí)數(shù)理論中有一個(gè)常識(shí)性的結(jié)論：沒(méi)有收斂最慢的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，也就是說(shuō)，對(duì)任何一個(gè)收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，總可以找到另外一個(gè)比它收斂更慢的正項(xiàng)級(jí)數(shù).所以沒(méi)有任何一種收斂判別法對(duì)所有的正項(xiàng)級(jí)數(shù)都適用.證明這個(gè)結(jié)論的方法有很多，下面的這種方法就利用了定積分這一工具.

通過(guò)以上幾個(gè)例子我們可以發(fā)現(xiàn)，在估計(jì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂速度和計(jì)算級(jí)數(shù)部分和數(shù)列時(shí)，利用積分技巧，將通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為定積分形式，可以大大簡(jiǎn)化證明和計(jì)算的過(guò)程，且這個(gè)過(guò)程較容易理解.因此，掌握這種技巧對(duì)于處理某些類型數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題是十分必要的.

參考文獻(xiàn)

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)分析（第五版）.高等教育出版社，2019.5.

[2]陳紀(jì)修，於崇華，金路，數(shù)學(xué)分析（第三版）.高等教育出版社，2019.5.

[3].呂新民，呂新華，大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)及真題詳解（第2版），北京航空航天大學(xué)出版社，2021.1.

[4].林源渠，方企勤，數(shù)學(xué)分析解題指南.北京大學(xué)出版社，2003.11.

[5].蒲和平，大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程.電子工業(yè)出版社，2014.7.

中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目（C202007327），中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）教學(xué)改革項(xiàng)目（J20ZD25，J200810），北京高等教育本科教學(xué)改革創(chuàng)新項(xiàng)目（202011413003）資助