廣義BBM-KdV 方程的兩種孤波解及其守恒律

王 希，傅 湞，胡勁松

（西華大學(xué)理學(xué)院，四川 成都 610039）

非線性發(fā)展方程是眾多偏微分方程中一類重要的方程，可利用非線性發(fā)展方程刻畫許多不同類型的物理模型，包括原子物理、等離子物理、固態(tài)物理、可壓縮材料物理、光纖、流體力學(xué)、彈性介質(zhì)、統(tǒng)計(jì)算法、生物學(xué)、地球化學(xué)等中觀察到的波現(xiàn)象[1-14]。尋找非線性發(fā)展方程的顯示解析解是眾多數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家們長(zhǎng)期以來(lái)一直重點(diǎn)關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題，并在許多自然科學(xué)和工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。目前，求某些非線性發(fā)展方程的精確（行波）解一般都是將方程改寫成多變量或特殊函數(shù)的多項(xiàng)式形式，從而化簡(jiǎn)為一個(gè)更簡(jiǎn)單的方程再求解，如雙曲函數(shù)展開(kāi)法、Backlund 變換法、Jacobi 橢圓函數(shù)展開(kāi)法、分離變量法、Sine-Cosine展開(kāi)法、He’s 變分原理、Lie 對(duì)稱方法等[12-18]。

本文討論如下一類廣義BBM-KdV 方程

（k，λ，γ，θ均為常數(shù)，n≥2是正整數(shù)）的孤波解。特別地，當(dāng)n=2時(shí)，方程（1）即為通常的BBM-KdV方程。

當(dāng)θ=0時(shí)，方程（1）即為廣義Benjamin-Bona-Mahoney（BBM）方程，也被稱為正則長(zhǎng)波（RLW）方程：

當(dāng)λ=0時(shí)，方程（1）即為著名的Korteweg de Vries（KdV）方程[3,14]：

BBM 方程（2）和KdV 方程（3）都是弱非線性色散介質(zhì)中長(zhǎng)波單向傳播的重要模型，它們都有穩(wěn)定的孤波解。BBM-KdV 方程是BBM 方程和KdV 方程的推廣形式，文獻(xiàn)[19]對(duì)廣義BBM-KdV方程（1）給出了兩個(gè)物理守恒量，但并未給出嚴(yán)格的理論證明。本文將首先給出廣義BBM-KdV 方程（1）兩個(gè)物理守恒量的理論證明，然后用ans?tze 方法[20-21]，分別給出其雙曲正割形式孤波解和雙曲余割形式孤波解。

1 方程（1）的守恒量

由于廣義BBM-KdV 方程（1）的物理邊界滿足：

于是關(guān)于廣義BBM-KdV 方程（1）的守恒性質(zhì)有如下結(jié)論：

定理1廣義BBM-KdV 方程（1）具有如下兩個(gè)物理守恒量（t＞0）：

證明：由方程（1）得

于是，有

結(jié)合邊界條件（4）分別有：

2 方程（1）的雙曲正割孤波解

定理2方程（1）有如下形式的孤波解：

這里a、c、A是常數(shù)，且滿足：

證明：對(duì)廣義BBM-KdV 方程（1）考慮雙曲正割-ans?tze 方法，假設(shè)方程（1）的孤波解為：

其中，A，a，c為待定常數(shù)；為方便后面的討論，簡(jiǎn)記

將式（15）—式（19）代入方程（1），得

令pn=p+2，則

將式（21）代入式（22）、式（23），即有式（12）、式（13），從而得到廣義BBM-KdV 方程（1）的雙曲正割孤波解為（11）。

3 方程（1）的雙曲余割孤波解

定理3方程（1）有如下形式的孤波解：

這里a、c、A是常數(shù)，且滿足：

證明：對(duì)廣義BBM-KdV 方程（1）考慮雙曲余割-ans?tze 方法，假設(shè)方程（1）的孤波解為：

其中，A、a、c為待定常數(shù)。則有

將式（27）—式（31）代入方程（1），得

令pn=p+2，則

將式（33）式代入式（34）、式（35），即有式（25）、式（26），從而得到廣義BBM-KdV 方程（1）的雙曲余割孤波解為（24）。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文用最有效最直接的ans?tze 方法構(gòu)造了廣義BBM-KdV 方程（1）的兩種不同形式的孤波解，從定理2 和定理3 可以看出，只需要給定一個(gè)常數(shù)a，就可以確定常數(shù)c和A，從而到廣義BBM-KdV 方程（1）的雙曲正割形式孤波解（11）或雙曲余割形式孤波解（24）。同時(shí)也進(jìn)一步驗(yàn)證廣義BBMKdV 方程（1）所滿足的物理邊界條件（4）。