朱盛 陳春焦

【摘要】 根據(jù)條件概率與概率兩個(gè)概念的比較，指出條件概率也是概率，從而說(shuō)明概率所具有的性質(zhì)對(duì)條件概率也成立.文中總結(jié)了與條件概率相關(guān)的三大重要公式，并給出計(jì)算條件概率的方法，最后運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)解決現(xiàn)實(shí)生活中的具體問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】 樣本空間;概率;條件概率

【基金項(xiàng)目】河南省高等學(xué)校精品在線(xiàn)開(kāi)放課程項(xiàng)目，河南省研究生教育改革與質(zhì)量提升工程項(xiàng)目“研究生教育優(yōu)質(zhì)課程”（No：hnyjs2017kc09），河南理工大學(xué)研究生教育教學(xué)改革基金項(xiàng)目“融入課程思政的應(yīng)用統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革”（No：2020YJ02）.

一、引言

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是高等院校多個(gè)學(xué)科本科專(zhuān)業(yè)的必修課程之一，也是相關(guān)專(zhuān)業(yè)碩士研究生入學(xué)考試的一門(mén)必考科目，更是本科學(xué)生運(yùn)用隨機(jī)思維模式解決本專(zhuān)業(yè)相關(guān)問(wèn)題的實(shí)用課程[1].它在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域中得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用.作為一門(mén)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性、廣泛的應(yīng)用性，并且具有更獨(dú)特的思維方法[2].條件概率是“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中的一個(gè)重要概念.本文給出條件概率與概率兩個(gè)概念的定義，并對(duì)其作出比較，指出條件概率也是概率，從而進(jìn)一步說(shuō)明概率所具有的性質(zhì)對(duì)條件概率也成立，最后運(yùn)用該性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.

二、條件概率與概率的定義與比較

定義1設(shè)E是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，S是它的樣本空間.對(duì)于E中每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P（A），稱(chēng)為A的概率，如果集合函數(shù)P（·）滿(mǎn)足下列條件[3]：

（1）非負(fù)性：對(duì)于每個(gè)事件A，有P（A）≥0;

（2）規(guī)范性：對(duì)于必然事件S，有P（S）=1;

（3）可列可加性：設(shè)A1，A2，…是兩兩互不相容的事件，則

P（∪∞i=1Ai）=∑∞i=1P（Ai）.

定義2設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且P（A）>0，則稱(chēng)P（B|A）=P（BA）[]P（A）為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率[3].

定理1條件概率也是概率[3].

證明設(shè)E是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，S是它的樣本空間.條件概率P（·|A）是集合函數(shù)，對(duì)于E中每一個(gè)事件B，都有實(shí)數(shù)P（B|A）與之對(duì)應(yīng).

（1）非負(fù)性：對(duì)于每個(gè)事件B，顯然有P（B|A）≥0;

（2）規(guī)范性：對(duì)于必然事件S，有P（S|A）=P（SA）[]P（A）=1;

（3）可列可加性：設(shè)A1，A2，…是兩兩互不相容的事件，則

P（∪∞i=1Ai|A）=P{（∪∞i=1Ai）A}P（A）=P{∪∞i=1（Ai∩A）}P（A）.

由于A(yíng)i∩A，i=1，2，…兩兩互不相容，故

P（∪∞i=1Ai|A）=∑∞i=1P（AiA）P（A）=∑∞i=1P（AiA）P（A）

=∑∞i=1P（Ai|A）.

綜上可知，條件概率P（·|A）滿(mǎn)足概率定義的條件，因此條件概率也是概率.

三、條件概率的性質(zhì)

由定理1可知，條件概率也是概率，因此概率具有的性質(zhì)，條件概率也具有.這與“白馬是馬”一樣，白馬一定具有馬所具有的生活習(xí)性和生理特征.我們知道概率有很多性質(zhì)，比如：有限可加性、加法公式、減法公式等.根據(jù)定理1可知，條件概率也應(yīng)該具有概率的相應(yīng)性質(zhì).在我們的教材中已經(jīng)給出條件概率的有限可加性、加法公式和減法公式了.下面我們通過(guò)幾個(gè)定理來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明如何將概率的性質(zhì)類(lèi)推到條件概率上.

定理2[4]設(shè)A1，A2，…，An是樣本空間S中的一組事件，則

P（∪ni=1Ai）≤∑1≤i1≤nP（Ai1）-∑2≤i1≤nP（A1Ai1）.

定理3[4]設(shè)A1，A2，…，An是樣本空間S中的一組事件，則

∑1≤i1≤nP（Ai1）-∑1≤i1

≤P（∪ni=1Ai）.

定理2與定理3的證明見(jiàn)文獻(xiàn)[4].

上面兩個(gè)定理可以認(rèn)為是概率的兩個(gè)性質(zhì)，由于條件概率也是概率，故條件概率也有類(lèi)似的性質(zhì).

定理4設(shè)A1，A2，…，An是樣本空間S中的一組事件，則對(duì)于樣本空間S中的任一事件A，若P（A）>0，則

P（∪ni=1Ai|A）≤∑1≤i1≤nP（Ai1|A）-∑2≤i1≤nP（A1Ai1|A）.

證明取Bi=AiA，根據(jù)定理2可得

P（∪ni=1AiA）≤∑1≤i1≤nP（Ai1A）-∑2≤i1≤nP（A1Ai1A），

于是，

P（∪ni=1Ai|A）=P（∪ni=1AiA）P（A）

≤∑1≤i1≤nP（Ai1A）-∑2≤i1≤nP（A1Ai1A）P（A）

≤∑1≤i1≤nP（Ai1A）P（A）-∑2≤i1≤nP（A1Ai1A）P（A）

≤∑1≤i1≤nP（AiA）-∑2≤i1≤nP（A1Ai1|A）.

定理5設(shè)A1，A2，…，An是樣本空間S中的一組事件，則對(duì)于樣本空間S中的任一事件A，若P（A）>0，則

∑1≤i1≤nP（Ai1|A）-∑1≤i1

∑2≤i1

定理5的證明與定理4類(lèi)似.

四、條件概率相關(guān)的三大公式

在本節(jié)，我們主要探討與條件概率相關(guān)的三大重要公式，分別是：乘法公式，全概率公式，貝葉斯公式.該三大公式在相關(guān)的“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”教材中均有闡述，本文主要討論乘法公式，全概率公式以及貝葉斯公式之間的關(guān)系，通過(guò)比較說(shuō)明不同公式在實(shí)際應(yīng)用中的運(yùn)用場(chǎng)景.為便于相關(guān)分析的闡述，我們?cè)谙旅嫦瓤偨Y(jié)一下相關(guān)的結(jié)論[3].

設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且P（A）>0，則P（AB）=P（A）·P（B|A），該等式稱(chēng)為概率的乘法公式.類(lèi)似地，若P（B）>0，則P（AB）=P（B）P（A|B），該等式也稱(chēng)為概率的乘法公式.乘法公式可推廣到有限多個(gè)事件的情形，比如，若A1，A2，…，An是樣本空間S中的一組事件，且P（A1A2…An）>0，則

P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）…P（AnA1A2…An）.

設(shè)B1，B2，…，Bn是一組完備事件組，且P（Bi）>0，則對(duì)于任意事件A，有P（A）=∑ni=1P（Bi）P（ABi）.另外，若P（A）>0，則

P（Bi|A）=P（ABi）P（Bi）∑nj=1P（Bj）P（ABj）.

以上兩個(gè)公式分別稱(chēng)為全概率公式和貝葉斯公式.關(guān)于乘法公式、全概率公式與貝葉斯公式的進(jìn)一步分析以及相關(guān)性質(zhì)，有興趣的讀者可進(jìn)一步閱讀參考文獻(xiàn)[2][3].

下面，我們重點(diǎn)闡述乘法公式、全概率公式以及貝葉斯公式之間的聯(lián)系.從數(shù)學(xué)史的角度來(lái)說(shuō)，它們的產(chǎn)生順序是不同的.首先有乘法公式的定義，在乘法公式的基礎(chǔ)上獲得全概率公式，然后進(jìn)一步推導(dǎo)出貝葉斯公式.這樣的關(guān)系也體現(xiàn)在各個(gè)公式的證明中，比如，在證明全概率公式時(shí)需要用到乘法公式，而在證明貝葉斯公式時(shí)需要用到全概率公式.乘法公式通常應(yīng)用于求積事件的概率;全概率公式通常應(yīng)用于已知某事件在完備事件組下的條件概率，求該事件的概率;而貝葉斯公式主要用于解決條件概率問(wèn)題.在區(qū)分何時(shí)用全概率公式、何時(shí)用貝葉斯公式時(shí)，我們可采用以下判別方法：“由因求果”用全概率公式，而“執(zhí)果求因”用貝葉斯公式.所謂“由因求果”指的是，經(jīng)過(guò)一系列的原因，最后求結(jié)果的概率;“執(zhí)果求因”意味著已知結(jié)果，求由某個(gè)原因造成該結(jié)果的概率.我們可以用一個(gè)具體的例子來(lái)分析一下.

某數(shù)據(jù)調(diào)查公司調(diào)研得出，投保的汽車(chē)司機(jī)按性格可分為三類(lèi)，分別是性格謹(jǐn)慎、性格溫和以及性格急躁三類(lèi)人群，我們分別將其稱(chēng)為第一類(lèi)投保人，第二類(lèi)投保人以及第三類(lèi)投保人.經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，三類(lèi)人群的比例分別為30%，40%，30%.已知第一類(lèi)投保人在保險(xiǎn)合同期內(nèi)發(fā)生事故的概率為0.03，第二類(lèi)投保人在保險(xiǎn)合同期內(nèi)發(fā)生事故的概率為0.04，第三類(lèi)投保人相應(yīng)的事故概率為0.02.現(xiàn)從所有投保人中任意選擇一位，（1）此人在保險(xiǎn)合同期內(nèi)發(fā)生事故的概率是多少？（2）如果某投保人在保險(xiǎn)合同期內(nèi)發(fā)生事故，則此人來(lái)自第三類(lèi)投保人的概率是多少？解決這個(gè)問(wèn)題，我們首先可以將相關(guān)事件用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái).設(shè)事件“此人在保險(xiǎn)合同期內(nèi)發(fā)生事故”為A，Bi（i=1，2，3）表示此人為第i類(lèi)投保人.于是前面所提的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成如下形式：?jiǎn)栴}（1）實(shí)質(zhì)上指的是求事件A發(fā)生的概率P（A）;問(wèn)題（2）可轉(zhuǎn)化為求條件概率P（B3|A）.我們首先考慮問(wèn)題（1），投保人的性格類(lèi)型不同使得他們?cè)诒ｋU(xiǎn)合同期內(nèi)發(fā)生事故的概率各不相同，不同類(lèi)型的投保人占總投保人群的比例也不同.基于這樣的原因，我們需要探討隨機(jī)選擇一名投保者，此人在保險(xiǎn)合同期內(nèi)發(fā)生事故的概率.“在保險(xiǎn)合同期內(nèi)發(fā)生事故”是一種結(jié)果，所以問(wèn)題（1）實(shí)質(zhì)上是“由因求果”的問(wèn)題.“由因求果”用全概率公式，故問(wèn)題（1）可用全概率公式解決，即

P（A）=∑3i=1P（Bi）P（ABi）.

由已知條件，可知P（B1）=0.3，P（B2）=0.4，P（B3）=0.3，P（AB1）=0.03，P（AB2）=0.04，P（AB3）=0.02.將上述條件代入全概率公式可得事件A的概率，即

P（A）=0.3×0.03+0.4×0.04+0.3×0.02=0.031.

接下來(lái)，我們來(lái)探討問(wèn)題（2），在這一問(wèn)題中，我們已經(jīng)知道了結(jié)果，即某投保人在保險(xiǎn)合同期內(nèi)發(fā)生事故，求在這種條件下，該投保人是第三類(lèi)投保人，也就是急躁型投保人的概率.顯然，這是一個(gè)已知結(jié)果求原因的概率，即“執(zhí)果求因”，所以我們可以運(yùn)用貝葉斯公式來(lái)求解問(wèn)題（2）.由貝葉斯公式，可得

P（B3|A）=P（AB3）P（B3）∑3j=1P（Bj）P（ABj）=631.

我們通過(guò)上面的例子給大家介紹了如何運(yùn)用全概率公式，以及如何運(yùn)用貝葉斯公式.這兩個(gè)公式可用來(lái)解決很多現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題.

五、計(jì)算條件概率的方法

在本節(jié)，我們主要介紹計(jì)算條件概率的方法.在學(xué)習(xí)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的過(guò)程中，條件概率是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn).對(duì)于從事隨機(jī)現(xiàn)象方面問(wèn)題研究的科研工作者來(lái)說(shuō)，這一概念是最基本的知識(shí).那么，如何計(jì)算條件概率呢？在這里，我們介紹以下三種方法.

（一）利用條件概率定義

根據(jù)定義2，設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且P（A）>0，則稱(chēng)P（B|A）=P（BA）[]P（A）為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率.若求條件概率P（B|A），可先求出A，B積事件發(fā)生的概率，然后再算出事件A發(fā)生的概率，最后計(jì)算兩者的比值即可.這一方法通常適用于求解較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題.下面給出一個(gè)簡(jiǎn)單的例題.

某橋梁在設(shè)計(jì)過(guò)程中執(zhí)行如下標(biāo)準(zhǔn)：使用壽命達(dá)到80年的概率為0.95，使用壽命達(dá)到100年的概率為0.82.假設(shè)該橋梁施工時(shí)嚴(yán)格按照設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)執(zhí)行，現(xiàn)已知該橋梁已經(jīng)使用了80年，試求該橋梁在未來(lái)的20年內(nèi)損毀的概率.

設(shè)A為事件“該橋梁使用壽命達(dá)到80年”，B表示事件“該橋梁使用壽命達(dá)到100年”.于是，P（A）=0.95，P（B）=0.82.根據(jù)題意可知，該題可轉(zhuǎn)化為求條件概率P（B-|A）.由條件概率的性質(zhì)，可知P（B-|A）=1-P（B|A）.再根據(jù)條件概率的定義可得

P（B-|A）=1-P（AB）P（A）=1395.

（二）利用乘法公式求解

我們知道，當(dāng)P（A）>0，P（B）>0時(shí)，以下兩個(gè)乘法公式均滿(mǎn)足：

P（AB）=P（A）P（B|A），

P（AB）=P（B）P（A|B）.

于是，若求解條件概率P（B|A），可利用上述兩個(gè)條件概率公式，即P（A）P（B|A）=P（B）P（A|B），則

P（B|A）=P（B）P（A|B）P（A）.

利用這一等式，先求出P（A），P（B），P（A|B），然后即可計(jì)算獲得P（B|A）.

（三）利用貝葉斯公式求解

在前文中，我們已經(jīng)總結(jié)分析了貝葉斯公式.設(shè)B1，B2，…，Bn是一組完備事件組，對(duì)于任意事件A，若P（A）>0，P（Bi）>0，則

P（Bi|A）=P（ABi）P（Bi）∑nj=1P（Bj）P（ABj）.

上述公式可用于解決較為復(fù)雜的條件概率問(wèn)題.利用這一公式時(shí)，可先根據(jù)題意計(jì)算P（A|Bi），P（Bi），i=1，2，…，n，然后代入貝葉斯公式即可計(jì)算獲得P（Bi|A）.

六、生活中的條件概率

綜上，我們給出了條件概率的定義，比較分析了條件概率與概率的關(guān)系，并總結(jié)了與條件概率密切相關(guān)的三大公式.在本節(jié)中，我們將從現(xiàn)實(shí)生活中遇到的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)闡述條件概率的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用.

（一）新冠病毒試劑實(shí)驗(yàn)中的條件概率

2020年新冠疫情在全球暴發(fā).由于快速有力的防控措施，我國(guó)疫情得到有效控制.在疫情防控過(guò)程中，我國(guó)的科學(xué)家們也在積極研發(fā)應(yīng)對(duì)新冠病毒的疫苗.要判斷新型冠狀病毒檢測(cè)試劑是否有效，通常需要做如下兩類(lèi)實(shí)驗(yàn)：

（1）對(duì)新冠肺炎病人的實(shí)驗(yàn).通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)對(duì)新冠肺炎病人進(jìn)行檢測(cè)，得出呈陽(yáng)性的概率.

（2）對(duì)未患有新冠肺炎病人的實(shí)驗(yàn).通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)對(duì)非新冠肺炎病人進(jìn)行檢測(cè)，得出呈陰性的概率.

基于這些實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，分析某人經(jīng)過(guò)該新型冠狀病毒檢測(cè)試劑的檢測(cè)能否正確判斷其是否患有新冠肺炎.前述實(shí)驗(yàn)實(shí)際上是對(duì)條件概率的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn).比如，若我們?cè)O(shè)A=“某人患有新冠肺炎”，B=“某人做此實(shí)驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性”，則對(duì)新冠肺炎病人的實(shí)驗(yàn)，檢測(cè)后呈陽(yáng)性的概率可寫(xiě)成P（B|A）.另外，對(duì)非新冠肺炎病人的實(shí)驗(yàn)，檢測(cè)后呈陰性的概率可寫(xiě)成P（B-|A-）.

（二）蒙提霍爾問(wèn)題

蒙提霍爾問(wèn)題源于美國(guó)一檔游戲節(jié)目，選手面對(duì)三扇關(guān)閉的門(mén)，在每扇門(mén)后有不同等級(jí)的獎(jiǎng)品.獎(jiǎng)品分別是汽車(chē)和山羊，其中一扇門(mén)后面是汽車(chē)，而另外兩扇門(mén)后面是山羊.主持人知道門(mén)后的獎(jiǎng)品情況.當(dāng)選手選擇一扇門(mén)后，先不打開(kāi).主持人打開(kāi)另外兩扇門(mén)中后面藏有山羊的那扇門(mén).然后，選手被詢(xún)問(wèn)是否要變更之前的選擇.這意味著，此時(shí)選手有機(jī)會(huì)從剩下兩扇關(guān)閉的門(mén)中任選一扇作為最終選擇的結(jié)果.在這樣的游戲中，請(qǐng)問(wèn)該選手是否應(yīng)該變更自己的選擇，或者說(shuō)換一扇門(mén)是否會(huì)提高其獲得汽車(chē)的概率呢[5].

這個(gè)問(wèn)題，實(shí)際上也是個(gè)條件概率的問(wèn)題.我們將三扇門(mén)編上序號(hào)，分別將其稱(chēng)為1號(hào)門(mén)，2號(hào)門(mén)，3號(hào)門(mén).假設(shè)選手第一次選擇時(shí)選擇1號(hào)門(mén)，而主持人打開(kāi)3號(hào)門(mén).我們記“主持人打開(kāi)3號(hào)門(mén)”的事件為事件A.事件Bi= “第i號(hào)門(mén)后是汽車(chē)，i=1，2，3”.要判斷換一扇門(mén)是否能提高其獲得汽車(chē)的概率.我們可把這兩扇門(mén)后有汽車(chē)的概率算出來(lái).需要注意的是，這個(gè)概率是有條件的，因?yàn)橹鞒秩艘呀?jīng)打開(kāi)了3號(hào)門(mén).顯然，在主持人打開(kāi)了3號(hào)門(mén)的條件下，汽車(chē)在1號(hào)門(mén)后的概率為P（B1|A）;在主持人打開(kāi)3號(hào)門(mén)的條件下，汽車(chē)在2號(hào)門(mén)后的概率為P（B2|A）.根據(jù)貝葉斯公式，能得到P（B1|A）=1[]3以及P（B2|A）=2[]3.在這里，我們忽略了具體的計(jì)算.通過(guò)比較，我們發(fā)現(xiàn)P（B2|A）>P（B1|A），故換一扇門(mén)可以提高其獲得汽車(chē)的概率.

（三）工業(yè)流水線(xiàn)中的條件概率問(wèn)題

某工廠(chǎng)有三條流水線(xiàn)，各自獨(dú)立生產(chǎn)相同的產(chǎn)品，比如節(jié)能燈.生產(chǎn)出來(lái)的節(jié)能燈都放在工廠(chǎng)的倉(cāng)庫(kù)中，并向不同地區(qū)的銷(xiāo)售商發(fā)售.根據(jù)之前的統(tǒng)計(jì)，這三條流水線(xiàn)生產(chǎn)的節(jié)能燈合格率是不同的，分別是0.98，0.99，0.97.現(xiàn)某人購(gòu)買(mǎi)了該工廠(chǎng)生產(chǎn)的節(jié)能燈，發(fā)現(xiàn)是次品，請(qǐng)問(wèn)該次品來(lái)自哪一條流水線(xiàn).在這個(gè)問(wèn)題中，我們可以記A為“節(jié)能燈是次品”，Bi=“該節(jié)能燈是第i條流水線(xiàn)所生產(chǎn)的，i=1，2，3”.于是，在某人購(gòu)買(mǎi)的節(jié)能燈是次品的條件下，該次品來(lái)自第1條流水線(xiàn)的概率可寫(xiě)為P（B1|A）.顯然這也是個(gè)條件概率問(wèn)題.要計(jì)算這一條件概率需要用到貝葉斯公式.實(shí)際上，在求解有關(guān)條件概率的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常使用貝葉斯公式.

類(lèi)似這樣的例子，生活中還有很多.火箭發(fā)射時(shí)，如發(fā)射失敗，就需要探討是由某部件導(dǎo)致的概率;在信號(hào)傳輸過(guò)程中，原信息為A，求經(jīng)過(guò)傳輸后接收方收到的是信號(hào)B的概率等.因此，只要我們認(rèn)真觀(guān)察，就會(huì)在生活中發(fā)現(xiàn)很多關(guān)于條件概率的例子.

七、總結(jié)

本文首先給出了概率和條件概率的定義.通過(guò)對(duì)兩者進(jìn)行比較分析發(fā)現(xiàn)，條件概率也是概率.基于這一結(jié)論可知，概率所具有的性質(zhì)，條件概率也都具有.文中總結(jié)了與條件概率密切相關(guān)的三大公式，通過(guò)例題進(jìn)一步闡述條件概率的性質(zhì).最后，本文結(jié)合新冠病毒試劑實(shí)驗(yàn)中的條件概率、蒙提霍爾問(wèn)題，以及工業(yè)流水線(xiàn)中的條件概率問(wèn)題，進(jìn)一步說(shuō)明了生活中的條件概率問(wèn)題無(wú)處不在.

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