陳 春

圓錐曲線中的定點定值問題不僅是一個考查學(xué)生基本功的問題,也是對學(xué)生在化歸思想應(yīng)用上的一個考查。通性通法可以幫學(xué)生逐步化簡求解相應(yīng)問題,但其中所包含的計算相對煩瑣,對運算能力不強的同學(xué),這類問題往往會成為解題路上的攔路虎。如果我們轉(zhuǎn)換思維靈活的利用點線關(guān)系,借助曲線系方程來求解這類問題,那么學(xué)生就能很快地解決這類問題。

【結(jié)論1】

已知直線l1:A1x+B1y+C1=0 與直線l2:A2x+B2y+C2=0,則方程(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0 可以表示這兩條直線,而展開后是一個二次方程形式,這個方程可以理解為一個曲線Γ。

【結(jié)論2】

若過圓錐曲線C上一點P(x0,y0)處的兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,與圓錐曲線C交于A,B兩點,且kPA+kPB或kPA·kPB為定值,則直線AB必過定點。反之,若直線AB過定點,則kPA+kPB或kPA·kPB為定值。

分析:過點E的兩條直線EA,EB的斜率之積為-1,可設(shè)直線EA,EB的方程,借助曲線系方程思想,找出橢圓與新曲線的交點P,M所在直線PM,進而解出直線l的斜率。

解析:設(shè)直線EA,EB的方程分別為t1x -y -1=0,t2x -y -1=0 且t1t2=-1.

則可得二次曲線Γ:(t1x -y -1)(t2x -y -1)=0,即t1t2x2-(t1+t2)x(y +1)+(y +1)2=0.

∵y≠-1,且x2=2(1-y2)

∴ (t1+t2)x -3y +1=0 即是橢圓C1與二次曲線Γ的交線

分析:點(1,1)可以理解為直線所經(jīng)過的定點,利用結(jié)論2 的逆向結(jié)論,就可以直接求解。

解析:設(shè)直線AP與AQ的分別方程為k1x -y -1=0,k2x -y-1=0.

可得到二次曲線Γ:(k1x -y -1)(k2x -y -1)=0,即k1k2x2-(k1+k2)x(y +1)+(y +1)2=0.

∵y≠-1,且x2=2(1-y2)

∴2k1k2(1-y)-(k1+k2)x+y +1=0 即是橢圓E與二次曲線Γ的交線PQ,

又PQ過點(1,1),則k1+k2=2.

例3、(2020 年全國理20 題)已知A,B分別為橢圓=1(a＞1)的左、右頂點,G為E的上頂點,為直線x=6 上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點.

上述幾個問題都是利用曲線系的引入來求解問題的,聯(lián)立圓錐曲線方程時要注意條件的使用,如例3 中“x≠3” 原因是什么。這種求解可以讓很多學(xué)生跳過必須使用韋達定理的思維誤區(qū),要讓學(xué)生在解決這種問題的同時思考這樣做的本質(zhì)是什么,解析幾何的實質(zhì)是什么。

利用這種方法我們不但可以讓學(xué)生多掌握一種解決問題的方法,也能讓學(xué)生站在更高的角度思考問題,從而提升學(xué)生對解析幾何認知水平,進而發(fā)展學(xué)生的解題思維。