世界不確定性指數(shù)與中國股市波動率預(yù)測研究

計 玉， 王 璐， 郝建陽， 張 莉

（西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611756）

伴隨著2020年新冠疫情的全球大流行，全球經(jīng)濟(jì)正處于結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)型、產(chǎn)業(yè)優(yōu)化等關(guān)鍵時期，許多國家陸續(xù)大量出臺了貨幣、財政等宏觀經(jīng)濟(jì)政策來促進(jìn)經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定高速發(fā)展. 然而，國家之間經(jīng)濟(jì)政策的不均衡性、國際貿(mào)易及進(jìn)出口等方面的摩擦進(jìn)一步加劇了世界經(jīng)濟(jì)不確定性的增加. 與此同時，中國股票市場作為新興股票市場越來越受到國際局勢的影響，特別是當(dāng)前中美關(guān)系的摩擦加劇更增加了股市的波動. 因此，在全球化背景下，理清世界不確定性與中國股票市場的關(guān)系，研究全球經(jīng)濟(jì)政策不確定性對中國股市波動的影響具有較好的理論及實(shí)際意義. 為填補(bǔ)在衡量經(jīng)濟(jì)政策不確定性方面研究的空白，Ahir等［1］為那些自1996年第一季度以來一直使用經(jīng)濟(jì)學(xué)人智庫國家報告的143個國家建立了一個新的不確定性指數(shù)——世界不確定性指數(shù)（World Uncertainty Index）. 國內(nèi)鮮有文獻(xiàn)研究世界不確定性指數(shù)對股票市場波動的影響，本文嘗試使用世界不確定性指數(shù)作為宏觀經(jīng)濟(jì)變量研究其對上證指數(shù)波動率的影響.

線性模型是研究股票金融市場波動率預(yù)測的經(jīng)典模型，然而像1987 年出現(xiàn)的“黑色星期一”等事件，經(jīng)濟(jì)學(xué)家們無法用傳統(tǒng)的線性模型（如自回歸模型AR（p）、自回歸滑動平均模型ARMA（p，q））來解釋股票市場的突變，但是非線性特征的存在卻受到了經(jīng)濟(jì)學(xué)家們的關(guān)注. 隨著對非線性特征的不斷研究，非線性模型也逐漸開始被應(yīng)用到金融市場. 非線性機(jī)制轉(zhuǎn)化模型是在研究非線性金融時間序列中比較成功的模型，一般由3 種常見的模型組成：馬爾可夫機(jī)制轉(zhuǎn)換模型、閾值模型和平滑轉(zhuǎn)換回歸模型（STR）. STR 模型是Granger 和Ter?svirta［2］提出的非線性模型，相比于馬爾可夫機(jī)制模型無法觀測到狀態(tài)變量和閾值模型的轉(zhuǎn)化狀態(tài)為可觀測到的離散值，STR 模型能夠刻畫出研究變量處于不同的狀態(tài)，以及不同狀態(tài)之間的非線性轉(zhuǎn)換，并且STR模型處于2個極端狀態(tài)下的變化是平滑. Ter?svirta［3］在1994年又進(jìn)一步對STR模型進(jìn)行完善并進(jìn)行了實(shí)證分析. McMillan［4］研究了股票市場收益與宏觀變量之間是否存在非線性關(guān)系，以及這種非線性關(guān)系是否可以用于預(yù)測的改進(jìn)，結(jié)果表明STR 模型不僅刻畫出宏觀變量和股票波動率的非線性關(guān)系并且提高了股票波動率預(yù)測的精度. 所以本文采用STR 模型來刻畫股票收益率與宏觀變量之間的非線性關(guān)系.

由于宏觀變量和股票波動率之間存在數(shù)據(jù)不同頻率問題，Engel 等［5］提出的GARCH-MIDAS 模型很好地解決了這一問題，并將模型用于美國股票市場波動與宏觀經(jīng)濟(jì)之間的研究. 該模型將收益率分解為短期高頻成分與長期低頻成分，是目前研究宏觀經(jīng)濟(jì)與股票市場波動關(guān)系的較好方法. 國內(nèi)外學(xué)者也多以宏觀經(jīng)濟(jì)變量為研究變量，運(yùn)用多因子GARCH-MIDAS 模型將波動率分解為長期成分和短期成分，對股市進(jìn)行了預(yù)測［6-8］；鄭挺國和尚玉皇［9］研究結(jié)果表明，GARCH-MIDAS模型在研究過程中能夠利用更為豐富信息，較好地擬合股票市場，描述宏觀經(jīng)濟(jì)與股市波動之間的關(guān)系.

基于以上認(rèn)識，本文的不同之處在于：1）嘗試引入世界不確定性指數(shù)作為宏觀經(jīng)濟(jì)變量，研究全球政治政策和經(jīng)濟(jì)不確定性因素對我國股市波動的影響；2）在GARCH-MIDAS模型的基礎(chǔ)上結(jié)合非線性模型STR構(gòu)建出模型LSTR-GARCH-MIDAS，該模型不僅能夠解決數(shù)據(jù)之間存在不同頻率的問題，而且能刻畫出宏觀經(jīng)濟(jì)變量與金融時間序列之間存在的非線性特征.

1 模型介紹

1.1 GARCH-MIDAS模型

Engle等將Ghysels和Santa-Clara［10］提出的混頻數(shù)據(jù)抽樣（MIDAS）回歸模型引入到廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型中，提出了GARCH-MIDAS模型建模方法，并將收益率表示為：

其中：ri,t表示第t月內(nèi)第i個交易日的收益率；Ei-1,t(ri,t)表示在第t月內(nèi)第i-1個交易日之前的信息集的條件方差；hi,t為GARCH（1，1）模型擬合的波動率短期成分；τt為波動率長期成分；殘差εi,t為服從均值為0方差為1 的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)干擾項，即εi,t|Φi-1,t～N(0,1)，其中Φi-1,t為第t月內(nèi)第i-1 個交易日的信息集合；Nt為第t月的交易天數(shù). 將公式（1）改寫為：

其中：μ表示為均值；波動率短期成分hi,t服從GARCH（1，1）模型，即：

其中：α與β為參數(shù).

用已實(shí)現(xiàn)波動率RVt來刻畫長期波動率成分τt，表示為式（4）：

其中：K為波動率長期成分中的最大滯后階數(shù)；m,θ,ω1,ω2均為待估參數(shù)；φk(ω1,ω2)為權(quán)重函數(shù)，RVt-k為已實(shí)現(xiàn)波動率，分別由式（5）、（6）表示.

GARCH-MIDAS模型由式（1）～式（6）共同構(gòu)成，也稱已實(shí)現(xiàn)波動率的GARCH-MIDAS模型.

1.2 GARCH-MIDAS-X模型

如前文所述，宏觀經(jīng)濟(jì)變量對股票價格具有重要影響，與股票價格波動的長期成分密切相關(guān)，考慮在上述的GARCH-MIDAS模型中引入宏觀經(jīng)濟(jì)變量，即在波動率的長期成分中用宏觀經(jīng)濟(jì)變量來替代已實(shí)現(xiàn)波動率. 由于宏觀變量數(shù)據(jù)有正負(fù)之分，故對τt作對數(shù)變換得log(τt)，即將（4）式改為（7）式得到：

其中：xt-k表示宏觀變量滯后K期；m,θ,ω1,ω2均為待估參數(shù). 因此，納入宏觀經(jīng)濟(jì)變量的GARCH-MIDAS模型（GARCH-MIDAS-X）由式（2）、（3）、（5）、（6）和（7）構(gòu)成.

1.3 STR模型

STR模型最先由Granger 和Ter?svirta 1993年提出，模型可以刻畫出研究變量處于不同的狀態(tài)以及不同狀態(tài)間的非線性轉(zhuǎn)換，對于變量yt，STR模型的一般形式為：

其中：G(st;γ,c)表示轉(zhuǎn)換函數(shù)，定義為值域［0，1］上的連續(xù)有界函數(shù). 轉(zhuǎn)換函數(shù)中共有3類參數(shù)：st為過渡變量，參數(shù)c為位置參數(shù)決定了轉(zhuǎn)換函數(shù)發(fā)生變化的位置，參數(shù)γ則為平滑參數(shù)，表示轉(zhuǎn)換函數(shù)從狀態(tài)0到狀態(tài)1的轉(zhuǎn)變速度；xt為解釋變量組成的向量，即xt=(1,x1t,…,xpt)′；φ′=(φ0,φ1,…,φp)′和θ′=(θ0,θ1,…,θp)′為有p+1個變量組成的參數(shù)向量；εt為獨(dú)立同分布的誤差序列. 根據(jù)轉(zhuǎn)換函數(shù)一般表達(dá)為邏輯函數(shù)（9）和指數(shù)函數(shù)（10），對于邏輯函數(shù)（9），模型為邏輯平滑轉(zhuǎn)換回歸（LSTR）模型，此時G(st;γ,c)是關(guān)于st的單調(diào)遞增函數(shù).

轉(zhuǎn)換函數(shù)為指數(shù)函數(shù)（10）時，模型為指數(shù)型平滑轉(zhuǎn)換回歸（ESTR）模型. 與式（9）不同的是，轉(zhuǎn)換函數(shù)為指數(shù)函數(shù)時，G(st:γ,c)為偶函數(shù).

1.4 STR-GARCH-MIDAS-X模型

平滑轉(zhuǎn)換回歸廣義條件異方差模型（STR-GARCH-MIDAS-X）作為GARCH-MIDAS-X 擴(kuò)展模型，在GARCH-MIDAS-X模型的基礎(chǔ)上結(jié)合非線性模型STR，不僅解決了經(jīng)濟(jì)變量不同頻率造成信息丟失影響預(yù)測精度的問題，還考慮到了宏觀經(jīng)濟(jì)變量和收益率之間的非線性結(jié)構(gòu)特征. 與GARCH-MIDAS-X 模型相比，該擴(kuò)展模型用STR模型中非線性結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變回歸替換波動率長期成分中的線性回歸得到新的波動率長期成分τt′，并對τt′ 作對數(shù)處理，得到模型的具體結(jié)構(gòu)如式（11）：

其中：m,θ1,θ2,ω1,ω2,ω3,ω4均為待估參數(shù). 因此，STR-GARCH-MIDAS-X模型由式（2）、（3）、（6）和（11）構(gòu)成.根據(jù)模型的轉(zhuǎn)換函數(shù)不同又將模型分為邏輯平滑轉(zhuǎn)換回歸-混頻廣義條件異方差（LSTR-GARCH-MIDAS-X）模型和指數(shù)平滑轉(zhuǎn)換回歸-混頻廣義條件異方差（ESTR-GARCH-MIDAS-X）模型.

本文采用極大似然估計法對上述非線性模型STR-GARCH-MIDAS-X 進(jìn)行參數(shù)估計，其極大似然函數(shù)為：

2 非線性檢驗(yàn)

在建立非線性模型之前要先進(jìn)行非線性檢驗(yàn)，對轉(zhuǎn)換函數(shù)G(st;γ,c)來說，若γ=0 時，轉(zhuǎn)換函數(shù)G(st;γ,c)的值為常數(shù)，模型就不再存在非線性特征. 所以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠窬哂蟹蔷€性特征通常是借助轉(zhuǎn)換函數(shù)G(st;γ,c)來進(jìn)行的. 依據(jù)Shuairu等［11］2015年的研究，選取已實(shí)現(xiàn)收益率RVt來替代條件方差來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠翊嬖诜蔷€性特征. 將公式（8）中的轉(zhuǎn)換函數(shù)G(st;γ,c)在γ=0 處進(jìn)行三階泰勒展開得到輔助回歸方程為：

其中：et為誤差項，對公式（8）進(jìn)行非線性檢驗(yàn)即對輔助方程進(jìn)行非線性檢驗(yàn). 顯然，非線性檢驗(yàn)的原假設(shè)為H01:β1=β2=β3=0，若拒絕原假設(shè)H01即存在非線性特征. 當(dāng)原假設(shè)H01成立時，使用Luukkonen等［12］提出的LM檢驗(yàn)統(tǒng)計量來實(shí)現(xiàn)非線性檢驗(yàn)，本文中LM統(tǒng)計量漸近服從χ2(3K+3)分布，其中K為受約束參數(shù)個數(shù)，與長期波動成分中的滯后階數(shù)相同，通過基于AR（K）模型擬合STR-GARCH-MIDAS-X 模型中的波動率長期成分和Akaike信息準(zhǔn)則（AIC）、貝葉斯信息準(zhǔn)則（Bayesian Information Criterion，BIC）來確定的. LM統(tǒng)計量表達(dá)式如下所示：

其中：SSR0為原假設(shè)成立時的殘差平方和；SSR1為拒絕原假設(shè)時的殘差平方和；N為觀察值個數(shù). 通過輔助回歸方程（13）做進(jìn)一步檢驗(yàn)來選擇轉(zhuǎn)換函數(shù)G(st;γ,c)的形式：

原假設(shè)H02、H03和H04同樣是通過計算LM統(tǒng)計量來實(shí)現(xiàn)檢驗(yàn). 在拒絕原假設(shè)H01以后，H03的p值最小，轉(zhuǎn)換函數(shù)選擇指數(shù)函數(shù)，在拒絕原假設(shè)H01條件下的其余情況，轉(zhuǎn)換函數(shù)選擇邏輯函數(shù).

3 實(shí)證結(jié)果研究

3.1 數(shù)據(jù)和描述性統(tǒng)計

本文采用的數(shù)據(jù)樣本為上證指數(shù)日度數(shù)據(jù)和Hites Ahir 等建立的世界不確定性指數(shù)（WUI）月度數(shù)據(jù).上證指數(shù)的樣本區(qū)間為從1991年1月2日到2020年3月21日（共7149個數(shù)據(jù)），數(shù)據(jù)來自英為財情. WUI為該時間段對應(yīng)的月度數(shù)據(jù)（共351 個數(shù)據(jù)），數(shù)據(jù)來自經(jīng)濟(jì)政策不確定性網(wǎng)站（http：//www.policyuncertainty.com/wui_quarterly.html）. 根據(jù)收盤價計算出收益率，即rt=ln(pt)-ln(pt-1)，t=1,2,3,…，其中rt為t時刻的收益率，pt表示上證指數(shù)在第t天的收盤價. 在建模的過程中使用WUI的一階差分序列（記為X）作為建模變量，上證指數(shù)收盤價和收益率時序圖，以及WUI和對數(shù)差分后的WUI時序圖如圖1所示.

圖1 時序圖Fig.1 Sequence chart

表1給出了上證指數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計，可以看出收益率序列的均值接近零，從峰度和偏度來看，該收益率序列具有過度的峰度和右偏態(tài)，并且Jarque-Bera（J-B）統(tǒng)計量顯著，這表明收益率序列不服從正態(tài)分布，并且存在“尖峰厚尾”的特征. 單位根檢驗(yàn)是檢驗(yàn)序列平穩(wěn)性的常用方法，其中最經(jīng)典的方法為Augmented Dickey-Fuller（ADF）檢驗(yàn). 由表1中ADF檢驗(yàn)結(jié)果知，在1%顯著性水平下該統(tǒng)計量拒絕原假設(shè)，即我國上證指數(shù)收益率序列rt是平穩(wěn)序列.

表1 上證指數(shù)描述性統(tǒng)計Tab.1 Descriptive statistics of the Shanghai Composite Index

在確定上證指數(shù)收益率序列是否平穩(wěn)后，還需檢驗(yàn)宏觀變量的平穩(wěn)性. 本文中使用ADF 檢驗(yàn)和Phillips-Perron（P-P）檢驗(yàn)來檢驗(yàn)宏觀變量的平穩(wěn)性. 表2 為對宏觀變量X做平穩(wěn)性檢驗(yàn)的結(jié)果，可以看出無論是ADF 檢驗(yàn)還是P-P 檢驗(yàn)都在5%顯著水平上拒絕原假設(shè)，即宏觀變量X為平穩(wěn)序列，可以進(jìn)行后續(xù)的建模分析. 通過宏觀變量基于AR 模型擬合STR-GARCH-MIDAS-X模型中的長期波動成分和AIC、BIC準(zhǔn)則選擇模型的滯后階數(shù)為K=6.

表2 宏觀變量的平穩(wěn)性檢驗(yàn)Tab.2 Stationary test of macroscopic variables

3.2 非線性檢驗(yàn)

表3 宏觀變量對上證指數(shù)價格波動具有非線性影響的檢驗(yàn)結(jié)果Tab.3 The tests of non-linear influence of macroscopic variables on Shanghai Composite Index price fluctuations

由表3可以看出，選擇宏觀變量X的滯后一期觀測值xt-1作為轉(zhuǎn)換函數(shù)G(st;γ,c)中的轉(zhuǎn)換變量st，說明上證指數(shù)波動率的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換取決于宏觀變量滯后一期觀測值. 原假設(shè)為H01時拒絕原假設(shè)，即宏觀變量X對上證指數(shù)波動具有非線性影響，并且原假設(shè)為H03時的p值并不是原假設(shè)中的最小值，所以選擇LSTR模型來刻畫宏觀變量與上證指數(shù)波動率的非線性關(guān)系.

3.3 樣本內(nèi)估計結(jié)果

選取1991年1月2日到2010年6月24 日之間共4773 個數(shù)據(jù)作為樣本內(nèi)估計數(shù)據(jù)，邏輯函數(shù)作為轉(zhuǎn)換函數(shù)，建立LSTR-GARCH-MIDAS-X 模型，根據(jù)式（12）所構(gòu)造的對數(shù)似然函數(shù)，對參數(shù)進(jìn)行極大似然估計. 并且同時對GARCH-MIDAS 模型和GARCHMIDAS-X 模型的參數(shù)進(jìn)行了估計，參數(shù)估計結(jié)果見表4.

表4 參數(shù)估計結(jié)果Tab.4 The estimation results of parameters

從參數(shù)估計結(jié)果中可以看出：在3 個模型中除去長期成分的常數(shù)項m不顯著外，其余所有參數(shù)均在10%顯著水平上具有顯著性，表明上述模型在樣本內(nèi)能夠較好地擬合上證指數(shù)收益率. 參數(shù)α和參數(shù)β都大于零并且在1%的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，說明上證指數(shù)收益率歷史波動信息影響著當(dāng)期波動［13］. GARCH-MIDAS-X 模型中參數(shù)ω1和ω2的估計值都大于1，說明隨著滯后時間的增加，宏觀變量的權(quán)重系數(shù)φk的值減小，即越靠近當(dāng)前時間，宏觀變量的變化對上證指數(shù)波動率的影響也越大［14］. 模型LSTR-GARCH-MIDAS-X中參數(shù)γ=4.477 度量了轉(zhuǎn)換函數(shù)的轉(zhuǎn)變速度；位置參數(shù)c=0.592 3 表明了上證指數(shù)收益率上升和下降轉(zhuǎn)變的臨界水平，對數(shù)收益率低于0.592 3時，股票收益率處于上升狀態(tài)，反之，則判斷股票市場處于下降狀態(tài). 也說明宏觀變量WUI對上證指數(shù)價格波動存在非線性影響，上證指數(shù)收益率并不會一直處于上升或下降的狀態(tài)［15］.

AIC、BIC和對數(shù)似然函數(shù)值（lnF）用于模型的選擇，AIC、BIC值越小，表明模型的擬合程度越好，lnF的值越大，也表明模型的擬合度越高. 由模型相對應(yīng)的AIC、BIC和lnF值來看，都表明了非線性LSTR-GARCHMIDAS-X模型對于上證指數(shù)波動率樣本內(nèi)的擬合效果在3個模型中最好.

3.4 樣本外預(yù)測

選取2010年6月25日到2020年3月31日共2376個數(shù)據(jù)作為樣本外預(yù)測數(shù)據(jù)，得到模型的預(yù)測值后與波動率的真實(shí)波動比較，圖2給出了模型關(guān)于上證指數(shù)波動率預(yù)測的效果圖，藍(lán)色為真實(shí)波動率，紅色為模型預(yù)測波動率.

圖2 真實(shí)波動和預(yù)測波動走勢圖Fig.2 Trend charts of real and forecast volatilities

本文通過損失函數(shù)來判斷模型對波動率的預(yù)測能力，損失函數(shù)越小，表明模型的預(yù)測效果越好. 在對上證指數(shù)波動率的研究中采用3種不同的損失函數(shù)，具體表達(dá)為：

公式（15）、（16）、（17）分別為平均平方誤差MSE、平均絕對誤差MAE及擬高斯損失函數(shù)QLIKE. 其中表示收益率的平方和；表示不同模型對波動率的預(yù)測值；n為樣本外預(yù)測值的個數(shù).

值得注意的是，在特定的樣本下用某一損失函數(shù)來評價模型預(yù)測能力的結(jié)果并不能運(yùn)用到類似樣本中. 為了解決這一問題，Hansen和Lunde［16］提出了“高級預(yù)測能力檢驗(yàn)法”（Superior Predictive Ability，SPA），但SPA 檢驗(yàn)法需要選擇基準(zhǔn)模型，Hansen 和Lunde［17］隨后又提出的模型信度集合（Model Confidence Set，MCS）檢驗(yàn)法的模型避免了選擇基準(zhǔn)模型的問題. MCS檢驗(yàn)是剔除所有模型中預(yù)測能力較差的模型，直到在顯著性水平α下不再拒絕原假設(shè)：兩個模型的預(yù)測能力相同，最后得到的模型就是在1-α的置信水平下的最優(yōu)模型集合. 選取MSE、MAE 和QLIKE 作為損失函數(shù)，使用范圍統(tǒng)計量（Range Statistic）和半二次方統(tǒng)計量（Semi-quadratic Statistic），定義如下：

表5 為MCS 檢驗(yàn)結(jié)果，由在各損失函數(shù)下統(tǒng)計量TR和TSQ統(tǒng)計量相對應(yīng)的概率p值可以看出LSTRGARCH-MIDAS-X 模型概率p值均為1 并且大于GARCH-MIDAS-X 模型和GARCH-MIDAS 模型相對應(yīng)的概率p值，說明在3個模型中非線性模型LSTR-GARCH-MIDAS-X 對上證指數(shù)波動率的預(yù)測能力明顯要好于另外2個模型.

表5 MCS檢驗(yàn)Tab.5 MCS tests

4 結(jié)論

本文嘗試使用宏觀變量WUI研究全球經(jīng)濟(jì)政策等不確定性因素對上證指數(shù)波動率的影響，在GARCHMIDAS模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮宏觀變量WUI對上證指數(shù)波動率的非線性影響，結(jié)合非線性STR模型提出新的模型LSTR-GARCH-MIDAS-X，并將模型應(yīng)用到上證指數(shù)波動率預(yù)測的實(shí)證研究中，在參數(shù)基本顯著的情況下可知，LSTR-GARCH-MIDAS-X 模型不僅在樣本內(nèi)能夠很好地擬合上證指數(shù)波動率，也證實(shí)了全球經(jīng)濟(jì)政策不確定性因素對上證指數(shù)波動存在非線性影響. 最后通過對模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行MCS檢驗(yàn)可知：非線性模型LSTR-GARCH-MIDAS-X對上證指數(shù)波動率預(yù)測的能力優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)的GARCH-MIDAS模型，表明在預(yù)測上證指數(shù)波動率時，考慮宏觀變量對波動率非線性的影響可以提高對波動率的預(yù)測精度.