應(yīng)用題教學(xué)中培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的策略分析

【摘 要】 當(dāng)前，高中生的數(shù)學(xué)建模教學(xué)是我國教育工作者共同關(guān)注的一個(gè)熱點(diǎn)問題，但是我國高中生的數(shù)學(xué)建模教學(xué)現(xiàn)在仍然處于起步階段，存在著諸多急需解決的問題。本文從當(dāng)下高中生在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中所存在的問題出發(fā)，提出了四個(gè)高中數(shù)學(xué)教師在應(yīng)用題教學(xué)中開展建模教學(xué)的策略，然后結(jié)合全國高考題對高中生數(shù)學(xué)建模教學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行具體的分析，最后為高中數(shù)學(xué)教師實(shí)施高中應(yīng)用題數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供了有效性的策略總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】 高中生? 數(shù)學(xué)建模教學(xué)? 策略? 應(yīng)用題? 數(shù)學(xué)模型

1. 實(shí)施高中數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題教學(xué)的原因

近年來，數(shù)學(xué)建模在國際上受到了越來越多的關(guān)注，數(shù)學(xué)建模在社會實(shí)踐生活當(dāng)中的應(yīng)用也越來越廣泛，我國許多的中學(xué)陸續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)的探索與實(shí)踐，并且越來越多的高考應(yīng)用題需要一定的數(shù)學(xué)建模能力才能進(jìn)行解答，因此將建模思維融入高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的學(xué)習(xí)，從而將零散的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化，將雜亂的數(shù)學(xué)思維變得有章可循，這在高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中是值得探索與學(xué)習(xí)的。

數(shù)學(xué)建模在高考應(yīng)用題教學(xué)中的重要作用主要是利用函數(shù)模型和方程不等式知識去解決最值問題;利用數(shù)列模型解決增長率問題;利用三角函數(shù)模型解決具有周期現(xiàn)象的實(shí)際問題;利用概率統(tǒng)計(jì)模型解決產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)問題;利用幾何模型解決表面積、體積、空間距離，圓錐曲線問題等。比如2015年全國卷出現(xiàn)了產(chǎn)品銷售利潤和經(jīng)濟(jì)效益問題，此題考查回歸方程知識點(diǎn)，一些選擇題和填空題中也不乏出現(xiàn)需要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型去求解，比如2007年浙江卷理科數(shù)學(xué)的第四道選擇題，涉及到圓面積的新運(yùn)算問題，可以用數(shù)學(xué)建模的思維進(jìn)行求解。

因此，不管對于教師或者是學(xué)生來說，總結(jié)出一套行之有效的高中數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題教學(xué)策略是很有必要的。

2. 實(shí)施高中數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題教學(xué)的策略

由于高中生對數(shù)學(xué)建模的陌生感，數(shù)學(xué)建模題目冗長，專業(yè)術(shù)語多，數(shù)據(jù)雜亂無章，題干關(guān)鍵信息提取困難等一系列原因，學(xué)生們通常對其有懼怕心理，所以教師自身要培訓(xùn)學(xué)習(xí)，了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知規(guī)律、路徑和方法，研究數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的知識結(jié)構(gòu)，知道如何去把數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)融入學(xué)生日常的課堂教學(xué)中，有以下四點(diǎn)：

2.1 日常授課過程中引導(dǎo)學(xué)生的建模思維，培養(yǎng)學(xué)生建模的意識

高考題中的絕大部分應(yīng)用題都可以用建模的方法去解答，新課標(biāo)非常重視學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，因此在日常授課過程中引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的思想，從而體會到數(shù)學(xué)建模的好處，是非常有效的一條途徑。高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的人口增長模型，一般是以指數(shù)函數(shù)的知識點(diǎn)進(jìn)行解答，倘若利用指數(shù)函數(shù)模型便可輕松進(jìn)行解答。這樣不僅使學(xué)生在實(shí)際情景中體會和應(yīng)用了指數(shù)函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，更重要的是讓學(xué)生知道以后在遇到類似題目時(shí)，可以從數(shù)學(xué)建模的角度去思考解決問題。比起單調(diào)的傳授指數(shù)函數(shù)，這種在日常課堂中構(gòu)建模型的教學(xué)方法，顯然是非常有趣且實(shí)用的。

2.2以實(shí)際生活情境為背景，促使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)建模在生活中的應(yīng)用價(jià)值

由于高中生在開始的時(shí)候，不能把學(xué)習(xí)的知識與社會生活實(shí)踐聯(lián)系起來，因此學(xué)生對于應(yīng)用數(shù)學(xué)建模去解決實(shí)際應(yīng)用題的難度是比較大的。所以創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)纳钋榫?，在此問題情境中去啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)建模的思維去分析問題和解決問題，使得學(xué)生對于數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用價(jià)值有著更加深入的體會，才能達(dá)到好的教學(xué)效果。

比如對于父母去商場購物的多種優(yōu)惠方案，如果學(xué)生用數(shù)學(xué)建模的方法去進(jìn)行分析計(jì)算就可以得出最優(yōu)的購買方法，這種常見的生活情境的滲透，使高中生直截了當(dāng)?shù)匾庾R到數(shù)學(xué)建模在自己實(shí)際生活中的應(yīng)用是非常廣泛且常見的。因此，教師可以從自己的日常生活中構(gòu)建生活情境，結(jié)合學(xué)生的興趣，更好地引導(dǎo)高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模。

2.3 成立建模小組，學(xué)生間分享合作共同完成任務(wù)

成立建模小組的目的是讓高中生之間互相幫助、共同進(jìn)步。因?yàn)槊總€(gè)同學(xué)的優(yōu)勢是不一樣的，有些同學(xué)在審題和提取關(guān)鍵信息方面思路清晰，有些同學(xué)在構(gòu)建模型方面思維敏捷，有些同學(xué)在求解模型上方法簡便快捷，同學(xué)之間各司其職，發(fā)揮所長，卻又分享方法，互相促進(jìn)，共同完成數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題，在這個(gè)過程中，不僅收獲了知識和能力還加深了同學(xué)間的友誼。

2.4 組織數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題的比賽，鼓勵(lì)學(xué)生參加并設(shè)置獎(jiǎng)勵(lì)

設(shè)立比賽和獎(jiǎng)勵(lì)是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的有效手段，學(xué)生在參加活動(dòng)的過程中不僅增長了數(shù)學(xué)建模的知識和提高了數(shù)學(xué)建模的能力，還獲得了成就感，從而能夠有著更大的熱情把數(shù)學(xué)建模應(yīng)用到實(shí)際問題中去。當(dāng)然設(shè)立比賽有幾點(diǎn)注意事項(xiàng)：首先是要建立完整合理的賽制，得到學(xué)校與學(xué)生的支持，然后是要進(jìn)行小組的組建，把數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)能力特點(diǎn)不同卻又互補(bǔ)的學(xué)生組合在一起，進(jìn)行專門的訓(xùn)練才能在比賽中取得好的成績，最后是比賽的獎(jiǎng)品方面，對于在活動(dòng)中表現(xiàn)出色的學(xué)生及其教師，學(xué)?？梢越o他們頒發(fā)榮譽(yù)證書，并且將這份榮譽(yù)寫入他們的檔案，這不只是對學(xué)生建模能力和教師教學(xué)能力的肯定，也會激發(fā)更多的教師和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，推動(dòng)高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的長遠(yuǎn)發(fā)展。

3. 高中數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題教學(xué)的具體內(nèi)容分析

3.1數(shù)列模型

高中數(shù)列模型與平均增長率和利率等實(shí)際問題有關(guān)，可以把實(shí)際問題抽象為等差數(shù)列模型或者等比數(shù)列模型。

高中數(shù)列模型應(yīng)用題教學(xué)思想分析：首先根據(jù)題目所給出的相關(guān)信息，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際將題目中的實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，從而構(gòu)建恰當(dāng)?shù)臄?shù)列模型，之后可應(yīng)用數(shù)列的概念和性質(zhì)進(jìn)行模型的求解，例如2007年安徽卷理科數(shù)學(xué)的壓軸題：

某國的養(yǎng)老儲備金制度：公民就業(yè)一年交納的養(yǎng)老儲備金數(shù)目為a1，之后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d（d>0），故歷年所交納的儲備金數(shù)目a1·a1...是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列。與此同時(shí)，國家給予優(yōu)惠的計(jì)息政府，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利：設(shè)固定年利率為r（r>0），則在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍1（1+r）n-1，第二年所交納的儲備金就變成a2（1+r）n-2，…，以Tn表示到第n年末所累計(jì)的儲備金總額。寫出Tn與Tn-1（n≥2）的遞推關(guān)系式。

考點(diǎn)分析：本題考查了數(shù)列遞推式，數(shù)列在利率方面的應(yīng)用，等差關(guān)系的確定等高考重難點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是將利率問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題從而正確地構(gòu)建數(shù)列模型，還要考慮到每一年末所累計(jì)的儲備金總額的計(jì)算方法。

模型的分析與求解：由在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍1（1+r）n-1，第二年所交納的儲備金就變成a2（1+r）n-2可知，第1年末所累計(jì)的儲備金總額T1=a1（1+r）0，第2年末所累計(jì)的儲備金總額T2=a1（1+r）1+a2（1+r）0。第n-1年末所累計(jì)的儲備金總額Tn-1=a1（1+r）n-2+a2（1+r）n-3+…+an-1（1+r）0，第n年末所累計(jì)的儲備金總額Tn=a1（1+r）n-1+a2（1+r）n-2+…+an（1+r）0，將Tn與Tn-1比較化簡得到Tn=Tn-1（1+r） + an （n≥2）。

3.2函數(shù)方程不等式導(dǎo)數(shù)

高中數(shù)學(xué)建模與函數(shù)方程不等式的應(yīng)用相關(guān)的有：函數(shù)最值模型，比如用料最省、成本最低、利潤最大等實(shí)際問題，高中經(jīng)常應(yīng)用到的函數(shù)模型包括二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型、指對冪函數(shù)模型等。

函數(shù)模型應(yīng)用題教學(xué)思想分析：首先帶領(lǐng)學(xué)生審題，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從中得出確定的數(shù)量關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生選擇建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型;之后學(xué)生利用函數(shù)、方程、不等式以及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識求解數(shù)學(xué)模型，從而得出結(jié)論，例如2009年江蘇卷的 19題：

若一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元，他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為m元，則他的滿意度為;如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為n元，則他的滿意度為;若一個(gè)人對這兩種交易（賣出或買進(jìn)）的滿意度分別為h1和h2，則他對這兩種交易的綜合滿意度為。現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品的單價(jià)分別為mA元和mB元，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為h甲，乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為h乙。求h甲和h乙關(guān)于mA和mB的表達(dá)式。

知識點(diǎn)分析：本題主要考查學(xué)生對函數(shù)定義的掌握情況，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力以及數(shù)學(xué)材料閱讀能力。

模型的分析與求解：閱讀材料可知，甲對賣出的滿意度為h1，對買進(jìn)的滿意度為h2，則甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度? ?h甲=，而h1=，h2=，故h甲=×=。同理，h乙=×。

3.3 概率統(tǒng)計(jì)

概率統(tǒng)計(jì)模型應(yīng)用題教學(xué)思想分析：首先要審題，注意文字、圖表和符號語言之間的轉(zhuǎn)化，從而根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)知識建立相應(yīng)的模型進(jìn)行求解，之后根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行模型的檢驗(yàn)。

高考概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題是對課本的基礎(chǔ)應(yīng)用題進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M合、變式和拓展，從而改變?yōu)榍榫承路f、問題巧妙、貼近學(xué)生日常生活的題目。這類試題數(shù)據(jù)雜亂繁多，材料專業(yè)術(shù)語多，故不易理解和作答，恰好可以用數(shù)學(xué)建模去解決。

高中概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思維，需要從實(shí)際問題出發(fā)，對概率統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行理解和應(yīng)用，從而提高學(xué)生的推導(dǎo)計(jì)算能力，聯(lián)系實(shí)際，處理分析數(shù)據(jù)的能力。高中常見的概率統(tǒng)計(jì)實(shí)際問題有彩票中獎(jiǎng)，系統(tǒng)可靠性，經(jīng)濟(jì)效益，產(chǎn)品利潤等問題。

利用數(shù)學(xué)建模思維來解決概率統(tǒng)計(jì)方面的高考題，能夠科學(xué)高效地解決概率統(tǒng)計(jì)的高考學(xué)習(xí)，例如2018年全國卷2理科數(shù)學(xué)的18題：

某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖如下

為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型，根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，17）建立模型1： =-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量/的值依次為1.2，…，7）建立模型2：=99+17.5t。這兩個(gè)模型用哪個(gè)模型得到的該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值更可靠？

知識點(diǎn)分析：本題考查高中數(shù)學(xué)回歸直線方程的應(yīng)用，學(xué)生的分析、處理數(shù)據(jù)的能力、利用線性回歸方程構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力，以現(xiàn)實(shí)生活情景為背景，設(shè)計(jì)的問題貼近學(xué)生的日常生活，如何利用所學(xué)知識合理的建立或選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型以及如何利用數(shù)學(xué)模型解決所求的問題，是對學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的一種綜合考查。

模型的分析與求解：

一方面，從折線圖的角度來看， 2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線=-30.4+13.5t上下，證明模型1不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢。

而2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加。 2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線=99+17.5t的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，模型2：=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型2得到的預(yù)測值更可靠。

另一方面從計(jì)算結(jié)果的角度來看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型1得到的2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值=-30.4+13.5×19=226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型2得到的2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值=99+17.5×19=256.5億元的增幅比較合理，說明利用模型2得到的預(yù)測值更可靠。

4. 教學(xué)建議

通過以上對在高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的策略的分析，我有以下五點(diǎn)感想：

4.1在高中數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題教學(xué)中，教師要做學(xué)生的引導(dǎo)者，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活實(shí)際去構(gòu)建合適的數(shù)學(xué)模型，解決問題過程中所用到的知識、思想、方法應(yīng)與高考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)有聯(lián)系。

4.2高中數(shù)學(xué)建模問題具有生活化的特點(diǎn)，提供的信息和數(shù)據(jù)量非常大，因此，計(jì)算機(jī)信息技術(shù)在問題解決的過程中是必要的。應(yīng)用計(jì)算機(jī)信息技術(shù)，學(xué)生能夠更加方便地進(jìn)行模型的求解過程，例如教師可以簡要地介紹MATLAB和lingo軟件在高中數(shù)學(xué)方面的功能，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的興趣，為以后學(xué)生在大學(xué)生活當(dāng)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模打下基礎(chǔ)。

4.3由于高考數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題更追求實(shí)踐性，所以教師應(yīng)該關(guān)注新情境應(yīng)用題，注重題目的背景研究。教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)新穎的、緊扣時(shí)代氣息的問題情境，充分利用數(shù)學(xué)教材上的一些背景改編一些應(yīng)用問題。

4.4高考應(yīng)用題的閱讀量越來越大，要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)題目材料審題能力。所以教學(xué)中，要加強(qiáng)學(xué)生的審題意識，信息提取加工能力，快速掌握有用信息，提高材料閱讀效率。

4.5加強(qiáng)應(yīng)用題模型教學(xué)，總結(jié)高中數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題解題方法：

4.5.1閱讀題目，提取有用信息。

4.5.2把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

4.5.3利用高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)構(gòu)建合適的數(shù)學(xué)模型，找到關(guān)鍵變量，建立相關(guān)變量之間的相等關(guān)系或者不等關(guān)系。

4.5.4對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算求解。

4.5.5對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行回歸檢驗(yàn)，檢查是否滿足實(shí)際情況，如果與實(shí)際情況相差太大，繼續(xù)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型并再次求解。

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作者簡介：高賽，女，1996年7月生，漢族，山西忻州人，湖北省荊州市長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)一年級? ? 研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)論。