怎樣從不同角度求解與三角函數(shù)對稱軸有關(guān)的問題

朱艷梅

與三角函數(shù)對稱軸有關(guān)的問題常出現(xiàn)在各類試題中，側(cè)重于考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).因此，要順利解答與三角函數(shù)對稱軸有關(guān)的問題，同學(xué)們不僅要熟練掌握三角函數(shù)中的基本公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，還要學(xué)會靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來輔助解題.本文以一道題為例，談一談如何從不同角度解答三角函數(shù)求值問題.

本題主要考查了三角函數(shù)的解析式、圖象、對稱軸.要求 a 的值，我們需根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸來確定函數(shù)的圖象、性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)、圖象來解題.

角度一：利用函數(shù)的對稱性求解

三角函數(shù)具有對稱性、周期性、單調(diào)性、奇偶性等，在解題時(shí)，合理利用這些性質(zhì)，有助于快速解答問題.我們知道，正弦函數(shù)的對稱中心為（kπ，0） （k∈Z），對稱軸為;余弦函數(shù)的對稱中心為，對稱軸為x=kπ（k∈Z）;正切函數(shù)的對稱中心為在解題時(shí)，可靈活運(yùn)用正弦、余弦、正切函數(shù)的對稱性，來確定函數(shù)的對稱中心、對稱軸，進(jìn)而求得問題的答案.對于本題，我們需先根據(jù)輔助角公式把三角函數(shù)化為 y = A sin（αx + φ） 形式，然后利用正弦函數(shù)的對稱軸建立關(guān)系式，即，求出 φ 的值，便可得到 α 的值.

解法一：

對于本題，我們還可以根據(jù)函數(shù)對稱性的定義來求解.一般地，若則函數(shù) f （x） 的圖象關(guān)于直線 x = c（c為常數(shù)） 對稱.本題中函數(shù)的對稱軸是已知的，因此可以根據(jù)函數(shù)對稱軸

的定義建立關(guān)系式，將其代入函數(shù)解析式中進(jìn)行化簡，對應(yīng)系數(shù)便可求得 α 的值.

解法二：∵函數(shù)關(guān)于直線對稱，

對應(yīng)系數(shù)可得 a = -1，即 a 的值為 -1 .

角度二：借助函數(shù)的圖象求解

三角函數(shù)的圖象能描述出函數(shù)的變化趨勢.借助函數(shù)的圖象，我們可以求得函數(shù)的解析式、明確函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、奇偶性、周期性等.因此在解答與三角函數(shù)對稱軸有關(guān)的問題時(shí)，我們可以以函數(shù)的圖象為突破口，根據(jù)題意繪制出相應(yīng)的函數(shù)圖象，然后找出函數(shù)的對稱軸，明確函數(shù)對稱軸的表達(dá)式，便可求得問題的答案.

解：

解得 a = -1 ，即 a 的值為 -1 .

解答本題，我們需熟悉正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì).仔細(xì)分析題目，可以發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)的最值與對稱軸之間的關(guān)系，由此建立關(guān)系式，求得 a 的值.

總之，解答與三角函數(shù)對稱軸有關(guān)的問題，我們要學(xué)會運(yùn)用發(fā)散性思維，靈活運(yùn)用函數(shù)的對稱性、分析三角函數(shù)圖象的特點(diǎn)，從不同的角度，探尋求解問題的思路.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)瓜洲中學(xué)）