黃鳳森

（福建省莆田市城廂區(qū)靈川中心小學(xué)，福建莆田 351162）

引 言

推理、抽象和模型作為數(shù)學(xué)基本思想已引起小學(xué)數(shù)學(xué)教師的重視。推理又分為合情推理和邏輯推理，類比推理屬于合情推理的一種[1]。由知識(shí)經(jīng)驗(yàn)正遷移而實(shí)現(xiàn)新知識(shí)的獲得或新問題的解決，其實(shí)質(zhì)就是運(yùn)用類比推理的數(shù)學(xué)思想，最常見的便是“以此類推”。下面筆者從一個(gè)教學(xué)案例出發(fā)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力的策略展開深入分析。

一、源起：一個(gè)“以此類推”的教學(xué)案例

在解答“一部手機(jī)原價(jià)1000元，提價(jià)10%后又降價(jià)10%，現(xiàn)價(jià)是多少元”這種問題時(shí)，學(xué)生總是固執(zhí)地運(yùn)用整數(shù)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行類推，得出的答案是1000元。究其緣由，學(xué)生認(rèn)為“手機(jī)提價(jià)與降價(jià)的價(jià)格是一樣的”。筆者從單位“1”的角度進(jìn)行分析、解釋，告訴學(xué)生提價(jià)時(shí)的“單位1”是1000元，而降價(jià)時(shí)的“單位1”卻是1100元，“單位1”不一樣，因而其提價(jià)與降價(jià)的價(jià)格也就不一樣。學(xué)生貌似都能理解，可過幾天再檢測(cè)時(shí)，還是會(huì)出現(xiàn)現(xiàn)價(jià)是1000元的錯(cuò)誤答案。筆者追問學(xué)生：“為什么提價(jià)10%后又降價(jià)10%，現(xiàn)價(jià)是不變的？”然而，學(xué)生竟然十分肯定地答道：“這個(gè)推理很簡(jiǎn)單。提價(jià)10%又降價(jià)10%，說(shuō)明提價(jià)與降價(jià)的價(jià)格是一樣的，現(xiàn)價(jià)當(dāng)然就不變了?！惫P者繼續(xù)追問：“你能確定提價(jià)與降價(jià)的價(jià)格是一樣的嗎？”學(xué)生又不假思索地回答道：“一年級(jí)時(shí)就學(xué)會(huì)了，提價(jià)與降價(jià)都是10%，以此類推，現(xiàn)價(jià)與原價(jià)當(dāng)然是一樣的?！?/p>

二、思考：不可忽視類比推理的或然性

上述案例可以看出，“以此類推”的實(shí)質(zhì)便是類比推理，即按照兩個(gè)或兩類不同研究對(duì)象的某些方面（如特點(diǎn)、規(guī)律、關(guān)系等）具有的相同或相似性，自然推導(dǎo)這兩個(gè)或兩類不同研究對(duì)象在其他方面也有可能相同或相似的一種思維方式。兩個(gè)或兩類不同研究對(duì)象無(wú)論外部形式上的相似、內(nèi)部結(jié)構(gòu)上的相似，還是過程方法上的相似，都可以進(jìn)行類比。這種類比推理是小學(xué)階段常用的一種推理方法，有助于提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。然而，通過上述案例，教師需要理性思考的是在培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力的同時(shí)，不可忽視類比推理所具有的或然性。不可否認(rèn)的是，類比推理是合情推理的一種，也可稱為或然推理，因而會(huì)出現(xiàn)其推理過程“貌似”合情合理，而往往在本質(zhì)上二者間的條件和結(jié)論沒有必然聯(lián)系的情況。

上述案例，由于學(xué)生在一年級(jí)時(shí)已經(jīng)學(xué)過了“增加與減少同樣的數(shù)量，其結(jié)果不變”的知識(shí)，從而類推到“提價(jià)10%又降價(jià)10%，說(shuō)明提價(jià)與降價(jià)的價(jià)格是一樣的，現(xiàn)價(jià)當(dāng)然就不變”。顯然，一年級(jí)所學(xué)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是“增加與減少的是實(shí)際量”，而這里“提價(jià)與降價(jià)的是百分率，而非實(shí)際量”，這兩種數(shù)量關(guān)系在外部形式上有一定的相似性，而內(nèi)部本質(zhì)卻是不一樣的。這樣的類比推理顯然給學(xué)生的思維造成了負(fù)遷移。

又如，在學(xué)習(xí)了“能被2、5整除數(shù)的特點(diǎn)”后，再學(xué)習(xí)“能被3整除數(shù)的特點(diǎn)”時(shí)，學(xué)生會(huì)自然而然利用之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)而類比推理到“個(gè)位上的數(shù)能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除”。當(dāng)出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的類比推理時(shí)，教師應(yīng)積極讓學(xué)生通過自主舉例驗(yàn)證其猜想是錯(cuò)誤的?；谝陨戏治觯P者認(rèn)為，應(yīng)理性面對(duì)類比推理中的或然性。

三、實(shí)踐：類比推理是發(fā)展學(xué)生遷移能力的有效路徑

（一）順承已有經(jīng)驗(yàn)，搭建類比橋梁

眾所周知，數(shù)學(xué)是一門邏輯性極強(qiáng)的學(xué)科，各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間存在千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)都是建立在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)上的再遷移、再整合與再提升。教師要及時(shí)捕捉學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生“似曾相識(shí)”的感覺，并能及時(shí)地順承學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，啟發(fā)學(xué)生展開比較和聯(lián)想，找到新舊知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，為類比推理搭建橋梁[2]。

例如，在執(zhí)教數(shù)學(xué)人教版五年級(jí)（下冊(cè)）“異分母分?jǐn)?shù)加減法”這項(xiàng)內(nèi)容時(shí)，筆者直接快速地呈現(xiàn)“1/2+1/4=？” 讓學(xué)生嘗試計(jì)算。由于學(xué)生已有“整數(shù)加法計(jì)算方法”的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)被類比遷移了，結(jié)果出現(xiàn)的算法是分母與分子分別相加。顯然，學(xué)生只停留在算式“外形”上的類比，而沒有打通算法內(nèi)部的聯(lián)系。于是，筆者這樣啟發(fā)學(xué)生：“大家驗(yàn)證一下自己算得對(duì)不對(duì)？”接著，讓學(xué)生分別回憶前面所學(xué)的整數(shù)加法、小數(shù)加法和同分母分?jǐn)?shù)加法，并交流其算理，從而發(fā)現(xiàn)“整數(shù)加法、小數(shù)加法、同分母加法，共同的算理是相同的計(jì)數(shù)單位相加”。此時(shí)，學(xué)生類比推理產(chǎn)生了“分?jǐn)?shù)加法也應(yīng)該是相同計(jì)數(shù)單位才能相加”的猜想，因而要先將“1/2”與“1/4”轉(zhuǎn)化成分母相同的分?jǐn)?shù)。在學(xué)生明晰了“異分母分?jǐn)?shù)相加”的算法后，教師再呈現(xiàn)“1/2-1/4=？”讓學(xué)生計(jì)算，使學(xué)生能自然地從“異分母分?jǐn)?shù)相加”的算法中類比推導(dǎo)出“異分母相減”的算法。

（二）啟發(fā)生活原型，達(dá)成類比抽象

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又高于生活。小學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)不足，且大多來(lái)自生活。因而，教師可以結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)，致力從生活原型中尋找數(shù)學(xué)的影子，讓學(xué)生經(jīng)歷從生活原型類比抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[3]。

例如，在執(zhí)教“認(rèn)識(shí)角”一課時(shí)，當(dāng)筆者在黑板上板書課題時(shí)，學(xué)生便紛紛說(shuō)出自己在生活中看到的各種角。于是，筆者將學(xué)生列舉出的生活中的角用課件展現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生觀察生活中的角具有哪些共同的特征。接著，筆者便利用課件動(dòng)態(tài)展示“從生活實(shí)物剪刀、紅領(lǐng)巾、墻角等圖片上逐步抽象‘由一個(gè)頂點(diǎn)引出兩條邊的角’”。至此，學(xué)生建立了“生活中的角”與“數(shù)學(xué)概念上的角”的聯(lián)系。然后，筆者再讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光繼續(xù)尋找生活中常見的角。這樣的課堂教學(xué)立足學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，啟發(fā)學(xué)生通過類比抽象出數(shù)學(xué)概念上的角，促使學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)清晰而立體的數(shù)學(xué)模型。

（三）鼓勵(lì)大膽猜測(cè)，實(shí)現(xiàn)直覺類比

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生思維之間的距離，巧妙創(chuàng)設(shè)平臺(tái)，通過核心數(shù)學(xué)問題來(lái)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行大膽猜測(cè)，促使學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)直覺類比，從而發(fā)展學(xué)生的類比推理能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升[4]。

例如，在教學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方體的體積”這一內(nèi)容時(shí)，教師可在課堂伊始先讓學(xué)生回憶一下“長(zhǎng)方形的面積計(jì)算”公式的推導(dǎo)過程，并重點(diǎn)抓住“要計(jì)算長(zhǎng)方形面積的大小其實(shí)質(zhì)就是測(cè)量其含有多少個(gè)1cm2，這個(gè)長(zhǎng)方形就是幾cm2”。于是，學(xué)生從“長(zhǎng)方形的面積計(jì)算”大膽地猜測(cè)出“長(zhǎng)方體的體積計(jì)算”，提出了“要算長(zhǎng)方體的體積實(shí)質(zhì)就是要數(shù)出有幾個(gè)1cm3的小正方體，這個(gè)長(zhǎng)方體就是幾cm3”的猜想。有了這樣的猜測(cè)后，教師再引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作來(lái)驗(yàn)證其正確性，使學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。又如，有了常用面積單位1cm2、1dm2、1m2的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)后，學(xué)生在學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方體的體積單位”時(shí)，便可以大膽猜想，從而自然類比推理出常用的體積單位應(yīng)是1cm3、1dm3、1m3。

結(jié) 語(yǔ)

類比推理是合情推理的一種，是一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，更是發(fā)展小學(xué)生數(shù)學(xué)遷移力的有效路徑。教師應(yīng)積極為學(xué)生搭建類比推理的平臺(tái)，提供類比推理的素材，提供類比推理的線索，促使學(xué)生主動(dòng)積極地進(jìn)行類比聯(lián)想與猜測(cè)，提升舉一反三、觸類旁通的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。