這種解法正確嗎
——對(duì)“一道極值問題的另一種解法”的探討和感悟

劉永平

(中央民族大學(xué)附屬中學(xué)海南陵水分校 572400)

問題跳臺(tái)滑雪是勇敢者的運(yùn)動(dòng)，它是利用山勢(shì)特點(diǎn)建造的一個(gè)特殊跳臺(tái)．一運(yùn)動(dòng)員穿著專用滑雪板，不帶雪杖，在助滑路上獲得高速后從O點(diǎn)水平飛出，在空中飛行一段距離后在山坡上A點(diǎn)著陸，如圖1所示．已知可視為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)員水平飛出的速度v0=20 m/s，山坡看成傾角為37°的斜面，不考慮空氣阻力，求運(yùn)動(dòng)員從O點(diǎn)水平飛出后到達(dá)與斜坡之間的距離最大處所用的時(shí)間及最大距離.(g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8)

圖1 圖2

在這個(gè)解題過程中用到了EC=v0t1，為何EC=v0t1？式中的“t1”是運(yùn)動(dòng)員從O到達(dá)與斜坡之間的距離最大距離的時(shí)間，在“t1”內(nèi)的水平位移BD應(yīng)該等于v0t1，但這里用EC=v0t1計(jì)算結(jié)果也正確，說明了EC=BD，為啥這兩段相等呢？

我們猜想：如果C點(diǎn)是OA的中點(diǎn)，那EC就是△OFA的中位線，EC就是FA的一半.若“t1”是總時(shí)間的一半，那么BD也是FA的一半，這樣就得到EC=BD，那“t1”是總時(shí)間的一半嗎？

證明如圖3所示，與斜坡之間的距離最大處的速度方向應(yīng)與斜坡平行.

圖3

由此可見，上面求解極值的過程已經(jīng)應(yīng)用了“運(yùn)動(dòng)員從O點(diǎn)到達(dá)與斜坡之間最大距離的時(shí)間是總時(shí)間的一半”，實(shí)際形成了循環(huán)推理，所以上面的求解極值的方法應(yīng)該是不正確的.但由這個(gè)解答過程，我們不免可得到如下結(jié)論.

1.運(yùn)動(dòng)員從O到達(dá)與斜坡之間的距離最大時(shí)的水平位移，數(shù)值上等于豎直位移、水平位移、總位移構(gòu)成的三角形的中位線，也就是只要物體從斜面的頂端水平拋出，且落在斜面上，都會(huì)得到這個(gè)結(jié)論的.

2.運(yùn)動(dòng)員從O點(diǎn)到達(dá)與斜坡之間的最大距離B點(diǎn)時(shí)，所用時(shí)間是總時(shí)間的一半，但在一半時(shí)間里沿OA方向的位移并非是總位移的一半，即時(shí)間上具有對(duì)稱性時(shí)，而空間上并沒有對(duì)稱性.

空間上為什么沒有對(duì)稱性呢？

證明：如圖4所示，沿斜坡和垂直斜面方向建立平面直角坐標(biāo)系，將v0和G，分別向X軸進(jìn)行分解，可得，沿斜坡方向做的是初速度為v0cosθ，加速度為Gsinθ勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以沿OA方向時(shí)間對(duì)稱時(shí)，位移并非稱.

圖4

從以上的證明思路我們發(fā)現(xiàn)，在解決平拋運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，有時(shí)可以沿平拋運(yùn)動(dòng)位移方向和垂直于位移方向建立直角坐標(biāo)系，將一個(gè)平拋運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為“斜上拋運(yùn)動(dòng)”去分析，可能使問題簡單化.