盛液體燒杯重心位置的探討

李福奇

(甘肅省蘭煉一中 730060)

在高一的教輔資料中，有這樣的一道習(xí)題.

原題：如圖1所示，圓桶形容器內(nèi)裝有一定量的某種液體，容器和液體整體的重心正好位于液面上的O點(diǎn)，現(xiàn)將液體倒出少許，則關(guān)于整體重心位置的變化下列說法正確的是( ).

圖1

A．下降 B．上升 C．不變 D．不確定

對(duì)于這個(gè)題，參考答案給出了這樣的解析：

解析當(dāng)液體全部倒出時(shí)，重心在O點(diǎn)上方，當(dāng)液體倒出少許時(shí)，液體的重心是下降的，故整體的重心可能下降，也可能上升，要看倒出液體的質(zhì)量．故選D.

從這個(gè)題的解析可以看出，由于倒出液體的質(zhì)量的多少不確定，給出了系統(tǒng)重心位置的變化不確定的結(jié)果.而對(duì)于盛液體的燒杯系統(tǒng)重心的具體變化過程，答案沒有給出明確的分析.有學(xué)生對(duì)于這個(gè)問題產(chǎn)生了如下質(zhì)疑:

如圖2所示，初始狀態(tài)盛液體的燒杯系統(tǒng)重心在液面O點(diǎn)處.由于倒出部分液體，可以將系統(tǒng)分為倒出的液體和剩余部分(燒杯和剩余的液體)兩部分.從燒杯中倒出的液體重心設(shè)為A處，剩余的液體及燒杯的重心設(shè)為B處.現(xiàn)在將倒出的液體取走，剩余的液體及燒杯的重心依然不變，則系統(tǒng)的重心從O點(diǎn)移到B點(diǎn)，重心位置升高.學(xué)生認(rèn)為答案應(yīng)該是B.

圖2

學(xué)生對(duì)于這樣的分析，是合理的.若要得到盛液體燒杯的重心位置具體變化過程，需要通過定量計(jì)算來分析重心的位置變化.對(duì)于由多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)重心的位置，可以由質(zhì)心公式表示.

如圖3所示，設(shè)燒杯的高度為H，燒杯的截面積為S，液體的密度為ρ，以燒杯底面圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，燒杯中心軸為x軸，取燒杯質(zhì)心位置為H0，注入液體的深度為h，則液體的質(zhì)心位置h0，則系統(tǒng)的質(zhì)心x可以由質(zhì)心位置公式表示為：

圖3

其中x隨h0而發(fā)生變化，對(duì)方程進(jìn)行變形整理

由均值不等式，其中

取最小值的條件是：

則x的最小值為：

=2h0=h

即燒杯與液體組成的系統(tǒng)重心在液面處時(shí)，系統(tǒng)的重心位置最低.

綜上所述，若是注滿液體的燒杯，將燒杯里的液體逐漸倒出，系統(tǒng)重心先降低后升高.當(dāng)系統(tǒng)重心降至液面處時(shí)，燒杯與液體組成的系統(tǒng)重心位置最低.此時(shí)繼續(xù)倒出燒杯的液體，系統(tǒng)重心位置又會(huì)上升，當(dāng)液體全部倒完時(shí)，系統(tǒng)重心又會(huì)升至空燒杯重心處.