楊鳴宇

函數思想是高中數學中比較重要的一種數學思想，是指構造函數模型，利用函數的圖象和性質解題的數學思想.函數思想在解答高中數學問題中應用廣泛，在解答方程、不等式、解析幾何、概率等問題時，經常需要運用到函數思想.在解題教學中，教師可引導學生運用函數思想來輔助解題，這樣能達到化繁為簡、化難為易的目的，有助于提升解題的效率.

一、函數思想在方程解題教學中的應用

方程與函數的關系緊密.一般地，函數y=f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標，即函數的零點，是方程f（x）=0的解.因此，在解答方程問題時，教師可以引導學生結合方程的特點來構造相應的函數模型，然后借助函數的圖象和性質來討論方程的根的情況.

例1.已知函數f（x）=x2 -2x，如果關于x的方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有4個不同的實數根，且所有實數根的和為2，求實數t的取值范圍.

解：令h（x）=f（a-x）+f（x），則h（a -x）=h（x），

則h（x）的圖象關于直線

對稱.

又因為方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0的4個實數根之和為2，

所以4xa=2，a=l.

故

作出函數h（x）的圖象，如圖所示，

由圖象可知，當

時，函數y=h（x）的圖象與y=t有4個不同交點.

所以實數t的取值范圍為

.

在解答本題時，教師要引導學生從函數的角度去思考該方程問題，將方程有四個實數根轉化為兩個函數圖象有四個交點，然后借助函數圖象來求得t的取值范圍.

二、函數思想在不等式解題教學中的應用

在解答不等式問題時，函數思想發(fā)揮著巨大的作用.在解題時，教師可指導學生根據不等式的形式構造合適的函數，然后利用函數的單調性、奇偶性、最值等來建立新的不等式關系，使不等式問題快速得解.

例2.若對任意0≤m≤4，不等式X2+ mx+3>4x+m恒成立，求x的取值范圍.

分析：本題直接求解較為困難，教師可以引導學生將m看作自變量，構造函數廠（m） =x2+（m -4）x+3-m，只需要使當0≤m≤4時，f（m）>0恒成立，求x的取值范圍即可.要使f（m）>0恒成立，學生需要利用二次函數的性質，求得f （m）的最小值. 解：設f（m） =X2+ （m - 4）x+3-m=（x- 1）m+ （X2-4x+3），

若x-l≥0，即x≥1，則y=廠（m）在定義域內是增函數，

則f（m）-=f（0）=x2-4x+3>0，

解得x>3或x3.

若x-l<0，即x

則f（m）max=f（4）=x2—1>o，

解得x>1（舍去）或x<一1，故x<-1.

綜上所述，x的取值范圍為x<-1或x>3.

在解答此類問題時，教師要引導學生嘗試將不同未知數看作變量，構造函數，靈活運用函數思想來解題.

在解題教學中，教師要重視滲透函數思想，讓學生明確函數思想的應用條件和技巧，并組織他們開展有針對性的訓練，讓其學會運用函數思想來輔助解題.

（作者單位：江蘇省溧陽市光華高級中學）