一道函數(shù)最值問題的分析與探究

摘要：函數(shù)最值問題是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，因其解法靈活多樣，且綜合性強(qiáng)，對(duì)于學(xué)生而言是一大難點(diǎn).解決函數(shù)最值問題的關(guān)鍵是方法的選擇，而在求解函數(shù)最值的諸多方法中，數(shù)形結(jié)合法處于一個(gè)十分重要的地位.函數(shù)最值問題往往與其他知識(shí)內(nèi)容綜合起來進(jìn)行考查，這需要解題者善于對(duì)問題進(jìn)行分析、處理，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的問題情境.

關(guān)鍵詞：函數(shù)最值問題;解題方法;數(shù)形結(jié)合

函數(shù)最值問題作為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，因其解法靈活多樣，且綜合性強(qiáng)，對(duì)于學(xué)生而言是一大難點(diǎn)，需要解題者能夠綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)各方面內(nèi)容，選擇正確易解的方法進(jìn)行求解。在求解函數(shù)最值問題的方法中，數(shù)形結(jié)合法處于一個(gè)十分重要、不可或缺的地位.當(dāng)題目涉及到函數(shù)的圖像和幾何意義，此時(shí)借助條件中隱含著的幾何信息，以形助數(shù)，不僅可以幫助我們開闊解題思路使問題變得清晰直觀、簡捷易解，幫助我們開闊解題思路，還可以避免錯(cuò)解，提升問題解決的能力 [1].

本文從一道數(shù)學(xué)高考題出發(fā)，揭示解題過程中的思維演進(jìn)和問題轉(zhuǎn)化，從而加深對(duì)函數(shù)最值問題的認(rèn)識(shí)與理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展.

一、問題呈現(xiàn)

分析：變式與原題的呈現(xiàn)方式不同，此題給出一個(gè)初等函數(shù)，解題者需要觀察函數(shù)的形式，通過巧妙地?fù)Q元進(jìn)行求解，這部分的處理略有難度，對(duì)解題者的解題經(jīng)驗(yàn)有一定的要求.順利完成對(duì)問題的初步表征后，此時(shí)的問題情境與原題本質(zhì)上是相同的，都是通過數(shù)形結(jié)合的方法，求解直線與曲線相交時(shí)的最值問題.但需要注意的是，此題中的曲線存在限制條件，并非原題中的整圓情形，而是位于 軸上方的半圓，因此解答時(shí)需要注意范圍的限制，以防錯(cuò)解.

四、回顧反思

回顧本題的解題過程，有以下兩點(diǎn)感悟：

一是靈活選擇解題方法.函數(shù)最值問題的解法多樣，解題時(shí)需要根據(jù)問題的情境以及給出的條件靈活選擇解題方法.其中，數(shù)形結(jié)合法往往會(huì)使問題變得簡潔、直觀，通過將數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙結(jié)合，解題者會(huì)更容易發(fā)現(xiàn)解題信息之間的關(guān)聯(lián)，從而迅速找到問題的突破口.因此，解題者需要充分挖掘“數(shù)”背后隱含著的“形”方面的信息，當(dāng)問題涉及函數(shù)圖像以及相關(guān)幾何意義時(shí)，優(yōu)先考慮數(shù)形結(jié)合的方法，提高解題的效率.

二是善于轉(zhuǎn)化問題情境.求解本題的一個(gè)難點(diǎn)在于如何處理題目中給出的 ，利用平面向量的相關(guān)知識(shí)，將求 的最大值轉(zhuǎn)化為求 的最大值，對(duì)于部分解題經(jīng)驗(yàn)欠缺的解題者來說無疑是十分棘手的.然而解題目標(biāo)（求 的最大值）一經(jīng)轉(zhuǎn)化，此時(shí)問題就變?yōu)槲覀兪煜さ念}型，即直線與曲線相交時(shí)的最值問題，問題到此往往可以得到順利解答.因此，在解題過程中，我們需要善于“撥云見日”，去除覆蓋在問題表面的復(fù)雜形式，發(fā)掘問題考察的實(shí)質(zhì)內(nèi)容，將問題回歸于我們熟悉的問題情境，將解題思維由朦朧的問題表征引向光明的通途[2].

參考文獻(xiàn)

[1] 戴海軍.巧用數(shù)形結(jié)合思想求解最值問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（27）：17-18.

[2] 段志貴.數(shù)學(xué)解題研究——數(shù)學(xué)方法論的視角[M].北京：清華大學(xué)出版社，2018：17-19.

作者簡介：

楊潔濤（1997-）男，漢族，安徽省滁州市，碩士研究生，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)