西方音樂中的數(shù)理思維溯源

王雪巖

公元前6 到4 世紀(jì)是古希臘的音樂發(fā)展最活躍的一段時(shí)期，歌唱曲、抒情詩、器樂演奏以及音樂戲劇等形式都發(fā)展到了很高的程度，還開展了眾多圍繞這些形式的公眾比賽和競技活動(dòng)。除此之外，古希臘在這一時(shí)期還產(chǎn)生了有關(guān)音律、音階、調(diào)式和記譜等理論，以及古希臘獨(dú)特的音樂哲學(xué)。公元前5 世紀(jì)雖然還是古希臘文明的黃金期，但還是顯示出了走向衰敗的狀態(tài)。在音樂上的表現(xiàn)為：簡單樸素、莊嚴(yán)肅穆、注重心智與教育的音樂被加以炫技且復(fù)雜，還強(qiáng)調(diào)注重娛樂的享樂音樂所沖擊。這一時(shí)期，圍繞著音樂的社會(huì)功能，還有音樂的守舊與革新等音樂美學(xué)問題展開了激烈的論爭。

一、畢達(dá)哥拉斯理論

和聲的1:1 比例關(guān)系起源于古希臘人古老的教義，他們用砝碼與和弦的長度來證明1：1 的比例產(chǎn)生和聲的音程。1：2 為八度，2：3 為五度，3：4 為四度，①音高的比例關(guān)系同時(shí)被認(rèn)為是上帝創(chuàng)造秩序的根本。在所有造物的宏觀和微觀世界中，都可以看到所謂的“普遍和諧”的存在，表現(xiàn)之一就是球體的音樂。畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前550）學(xué)派認(rèn)為，每個(gè)行星在旋轉(zhuǎn)時(shí)都會(huì)產(chǎn)生不同的音符，行星之間的距離是和諧的。1599 年，開普勒（Johannes Kepler，1571—1630）為每顆行星指定了一個(gè)速度，土星的速度為3，木星4，火星8，地球10，金星12，水星16。木星和火星產(chǎn)生了4:8，即1:2 的八度關(guān)系，火星和金星呈現(xiàn)出8:12，即2:3 的五度關(guān)系。

亞里士多德、托勒密和新柏拉圖傳統(tǒng)之間的概念性矛盾使希臘思想在歐洲的傳播和接受變得復(fù)雜化，引起了一場無法解決的爭論，即永恒的數(shù)學(xué)定律是否支配著自然界?；蛘呤欠催^來說，人類是否逐漸發(fā)現(xiàn)了這些定律。古希臘偉大的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯提出的和諧論是當(dāng)時(shí)音程和音階的代表性理論。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將宇宙和諧的基礎(chǔ)認(rèn)為是完美數(shù)字構(gòu)成的比例關(guān)系，音樂類似宇宙天體。因此，音樂可以更好地說明宇宙現(xiàn)象。為了證明這個(gè)理論，研究者將弦的兩端固定到一個(gè)共鳴體上，通過不斷改變琴馬的位置來確定不同弦長下的比例關(guān)系。結(jié)果呈現(xiàn)出以弦長為基礎(chǔ)產(chǎn)生音階中不同的音程關(guān)系，具體表現(xiàn)為：當(dāng)弦長比例為1：2 時(shí)，發(fā)出的兩個(gè)音正是相隔八度的音高關(guān)系組成的，弦長比例為3：4或者是2：3 時(shí)，發(fā)出的兩個(gè)音的音程關(guān)系分別對(duì)應(yīng)為四度和五度。由于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)定“4”以內(nèi)的數(shù)字為簡單數(shù)字，并且四度、五度和八度音程關(guān)系的弦長比又都是“4”以內(nèi)最簡單的數(shù)量比例關(guān)系。因此，他們認(rèn)為只有四度、五度和八度是完美和諧的音程，其余音程關(guān)系都是不和諧的。六個(gè)音階的數(shù)字，也被認(rèn)為是完美的，因?yàn)橥ㄟ^1:1；1:2；2:3；3:4；4:5 以及5:6 的比例，依次組成了單音、八度、五度、四度、大三度和小三度。這也是為什么圭多的六聲音階“Ut、Re、Mi、Fa、Sol、La”代表六弦的六度也被認(rèn)為是完美的原因之一。②畢達(dá)哥拉斯是第一位以數(shù)理的方式解釋音樂現(xiàn)象的人，和諧論的提出既是四音音列的基礎(chǔ)，同時(shí)也對(duì)西方音樂后來的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響。

二、數(shù)字象征意義

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的有關(guān)合理與數(shù)理的自然觀，摒棄了原始階段人們視自然及其作用力為一種神秘的且不能明確解釋的玄學(xué)思想，將原本混亂的現(xiàn)象歸結(jié)為一種井然有序且可以理喻的事實(shí)。直至今日，處在當(dāng)代的人們雖已具備高度發(fā)達(dá)的智慧與思維，也仍不懷疑從抽象的自然得來的數(shù)學(xué)是可以對(duì)自然界的某些現(xiàn)象進(jìn)行合理的抽象闡釋的，也不會(huì)對(duì)具備顯而易見序性的事物才能被數(shù)學(xué)所抽象的事實(shí)產(chǎn)生懷疑，并且會(huì)將和諧的、有序的作為主要特征的音樂視作人類情感和理性的產(chǎn)物。盡管現(xiàn)如今仍不乏有人將它看作是與數(shù)學(xué)或是科學(xué)分屬人類文化不可相交的兩個(gè)方向，但最終的多數(shù)人還是信服于音樂是可以借數(shù)學(xué)來抽象反映的。反過來，一個(gè)事物如果可以把音樂包括在內(nèi)，能夠做到直接并且全面地受控于數(shù)理邏輯思維之下，那這個(gè)事物就必定是可以排除可能產(chǎn)生混亂的所有可能性，從而具備了高度的有序性。

一般而言，音樂也是作為世界萬物之一的物質(zhì)的，因而也是可以被數(shù)學(xué)所抽象的。具體到一部音樂作品中，可能出現(xiàn)的數(shù)字表現(xiàn)而言，是不能被直接隨意的數(shù)學(xué)方法來抽象解釋的。這緣于音樂作品一定是也只能是有方向、有順序、有目的、且有時(shí)間限制的一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的這一前提。多數(shù)的和聲標(biāo)記法中，也是借以數(shù)字才得以實(shí)現(xiàn)清晰說明和弦性質(zhì)以及和弦的根音或低音所在的依據(jù)。相對(duì)音樂這類藝術(shù)門類在生理和心理上能夠被創(chuàng)作者和聽眾甚至全部人所接受并把握的音樂作品而言，其中所需要的正是勻稱協(xié)調(diào)、有序和諧等諸多特性的數(shù)。比如，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派稱數(shù)字“1，2，3，4”是“四象數(shù)”（tetractys）。這個(gè)學(xué)派有一句宣言為：“謹(jǐn)以賦予我們靈魂的四象之名宣誓，長流不息的自然根源包含在其中”。③這個(gè)學(xué)派將自然界的“四元”視作是由點(diǎn)、線、面、體，以及土、氣、水、火這八個(gè)方面分別組成的。無獨(dú)有偶，古希臘的音階同樣是以“a、g、f、e”的四音組為核心的。在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)行四次的連續(xù)轉(zhuǎn)位才構(gòu)成一條完整的音階，這個(gè)四象數(shù)正好是有理數(shù)集中自然數(shù)子集的前四項(xiàng)。畢達(dá)哥拉斯還將1—10 中的每一個(gè)數(shù)字都賦予了特別的意義。數(shù)字“1”是全部數(shù)字的第一位原則，也是萬物之母，是智慧的表現(xiàn)；數(shù)字“2”有對(duì)立和否定的原則意義，是意見的表達(dá)；數(shù)字“3”是世間萬物的形式組成；數(shù)字“4”意為正義，象征著宇宙的創(chuàng)造者；數(shù)字“5”包含奇數(shù)和偶數(shù)，是雄性與雌性的結(jié)合體，代表著婚姻；數(shù)字“6”意為神的生命，是靈魂歸屬；數(shù)字“7”代表著機(jī)會(huì)；數(shù)字“8”象征著和諧的愛情與友誼；數(shù)字“9”有理性與強(qiáng)大的意義；數(shù)字“10”包含著一切基礎(chǔ)的數(shù)字，象征著完滿與美好。

在偶數(shù)集中，尤其那些能夠被以“2”或“4”為單位等分或是偶除的偶數(shù)，例如“2、4、6、8、16……”，由這些數(shù)字進(jìn)一步構(gòu)成了首項(xiàng)為“2”，公比也為“2”的等比或幾何數(shù)列。緣于這類偶數(shù)的特殊性質(zhì)，使他們能夠讓人直接地感受到對(duì)稱和平衡的美感，因而在音樂創(chuàng)作中被廣泛采用，正如傳統(tǒng)曲式學(xué)中常見的方整性結(jié)構(gòu)。這類結(jié)構(gòu)中的小節(jié)數(shù)量直接體現(xiàn)出了數(shù)字的方整特征，正如上文所述，自然數(shù)集中除偶數(shù)之外的一類數(shù)是奇數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)不具備被“2”或除“2”外其他一切偶數(shù)整除或是完全等分的特征。因而，音樂創(chuàng)作中對(duì)奇數(shù)的使用相比偶數(shù)的應(yīng)用范圍就要狹窄很多。例如，方整性的曲式結(jié)構(gòu)往往有著偶數(shù)的性質(zhì)，在任何創(chuàng)作的時(shí)代、任何作品的類型，甚至是不論體裁及表達(dá)內(nèi)容，幾乎在全部作品中的任何一個(gè)位置都可以見到這類曲式的結(jié)構(gòu)模式。而具有奇數(shù)性質(zhì)的非方整性的曲式結(jié)構(gòu)，就更多見于用以破壞原作平衡感，加強(qiáng)作品動(dòng)力，或者是應(yīng)用在滿足某些特殊需要的地方。但是，除了“1”之外的任意奇數(shù)，還又都具備以“1”為對(duì)稱中心且可分的性質(zhì)，也就是：（2n-1）=（n-1）+1+（n-1）的結(jié)構(gòu)模式，例如，3：1、1、1，5：2、1、2，7：3、1、3，9：4、1、4……，（2n-1）：（n-1）、1、（n-1）……等等諸如此類。如果將奇數(shù)特性這樣加以理解，那么其在既往的音樂創(chuàng)作中也是多見的，例如，以“快—慢—快”或是“慢—快—慢”的結(jié)構(gòu)模式來布局的三個(gè)樂章的作品；以“A—B—A—B—A”的結(jié)構(gòu)來布局對(duì)稱的五部性結(jié)構(gòu)；還有以“A—B—A—C—A—B—A”為結(jié)構(gòu)來布局的奏鳴回旋曲式等都符合上述的奇數(shù)對(duì)稱特性。

質(zhì)數(shù)也被稱為素?cái)?shù)，指的是大于“1”的自然數(shù)中，除了“1”和本身外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)，否則稱為合數(shù)。由于質(zhì)數(shù)特有的性質(zhì)，使其在自然數(shù)中顯得神秘且特殊的，音樂的獨(dú)特性決定了它具備數(shù)性的可能性，質(zhì)數(shù)集合中的前幾個(gè)數(shù)字“2、3、5、7、11、13、17、19、23……”，在音樂作品中有較為普遍的反映。值得提的是，在已有的大量音樂實(shí)例中可以證實(shí)，質(zhì)數(shù)的數(shù)字性還不僅體現(xiàn)在音樂作品的形式與特性中。甚至可以被作為一種象征，用來關(guān)聯(lián)或影響音樂作品要表達(dá)的內(nèi)容，這一點(diǎn)尤其在表達(dá)悲劇性的內(nèi)容時(shí)較為突出。如貝多芬《第七交響曲》的第二樂章，這部分表達(dá)的是沉重哀婉的情緒，賦予悲憤壯烈風(fēng)格的進(jìn)行曲，樂曲這部分開始的主題在呈示部內(nèi)完整變奏了三次，到了再現(xiàn)部又完整出現(xiàn)了兩次，這樣一來，兩部分出現(xiàn)的總和數(shù)即為“5”，再將呈示部與尾聲放在一起，可發(fā)現(xiàn)這個(gè)主題在樂章中共出現(xiàn)了“7”次。肖邦《序曲》中的作品28 號(hào)，可謂是其眾多經(jīng)典作品的其中之一，其中的第20 首c小調(diào)是一首沉重嚴(yán)肅的“葬禮進(jìn)行曲”，由三個(gè)樂句組成，全曲共有十三小節(jié)。貝爾格（Alban Maria Johannes Berg，1885—1935）是一位對(duì)數(shù)論很感興趣的作曲家，他贊成柏林著名學(xué)者W.威利斯（W.Willis）的觀念，也認(rèn)為“23”這個(gè)數(shù)字是一個(gè)極有意義且有關(guān)宿命論的數(shù)字，在他的音樂創(chuàng)作中也如癡如醉地加以對(duì)數(shù)字“23”的運(yùn)用，并借以“23”這個(gè)數(shù)字使音樂作品中暗含著作曲家的獨(dú)具匠心之處。④

結(jié) 語

歌德說：在限制中才顯出大師的本領(lǐng)，只有規(guī)律才能給我們自由。席勒說：如果我們開始進(jìn)入經(jīng)驗(yàn)的領(lǐng)域，那么你就會(huì)得到完全不同的說明，那時(shí)你才會(huì)正確理解感性的自律。但是，接下去：我們?cè)谝欢ǜ拍畹那疤嵯虏拍塬@得的形式在現(xiàn)象中表現(xiàn)為他律。因?yàn)閷?duì)于對(duì)象來說，每一概念都是某種外在的東西。這種形式具有嚴(yán)密的合規(guī)律性（其中首先是數(shù)學(xué)形式），因?yàn)檫@種形式把構(gòu)成它的概念強(qiáng)加給我們；這種形式具有嚴(yán)格的合目的性（特別是實(shí)用的合目的性。因?yàn)樗偸呛推渌恍〇|西相關(guān)），因?yàn)樗刮覀兿肫饘?duì)象的規(guī)定和應(yīng)用，由此必然破壞了現(xiàn)象中的自律。⑤畢達(dá)哥拉斯學(xué)派早在公元前585—400 年，就已經(jīng)提出了“萬物皆數(shù)”這一信條。在他們看來，自然界下隱藏的且不斷變化著的世間萬象，其真實(shí)性都可以借用數(shù)學(xué)來予以說明，并且還把“數(shù)”視作他們解釋自然的第一位原則。音樂屬于世間萬物的一類，也就必定與萬物具備一定的同一性，也可以借數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系來解釋音樂現(xiàn)象。■

注釋：

① 大三度和小三度分別對(duì)應(yīng)4：5 和5：6 的比例，這樣的音程比例關(guān)系在復(fù)調(diào)音樂中極其重要。

② 作為中世紀(jì)音高系統(tǒng)規(guī)范化形式之一的六聲音階，將古希臘人確立的四聲音階大范圍地取代了，還在當(dāng)時(shí)及之后的音樂理論和創(chuàng)作實(shí)踐中，都占據(jù)著極其重要的地位，廣泛地運(yùn)用在作曲創(chuàng)作和理論研究中。例如，對(duì)音樂的音域采用六聲音階為單位來進(jìn)行分組，還有作為當(dāng)時(shí)主要寫作模式的定旋律，也通常采用的是六個(gè)音符并進(jìn)行六次的結(jié)構(gòu)構(gòu)成等的應(yīng)用現(xiàn)象。

③ 彭志敏.音樂有限運(yùn)動(dòng)過程矢量在無限數(shù)集系統(tǒng)中的閉合區(qū)間——《音樂數(shù)控理論》導(dǎo)言[J].中國音樂學(xué),1986,(04):22.

④ A.伯格、W.威利斯及小提琴協(xié)奏曲的秘密題性內(nèi)容[J].世界音樂,1985,(03).

⑤ [徳]席勒.美育書簡[M].徐恒醇譯,北京:中國文聯(lián)出版社,1984:154.