傅里葉變換時-頻對稱性的Matlab可視化探討

王波

摘要：以門函數(shù)和降正弦函數(shù)在傅里葉變換時-頻對稱性約束下的對應(yīng)關(guān)系為例，探討在理論教學(xué)過程中利用Matlab軟件將傅里葉變換時-頻對稱性可視化的方法，通過改進(jìn)教學(xué)手段，達(dá)到取得良好教學(xué)效果的目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：傅里葉變換;時-頻對稱性;Matlab;可視化

中圖分類號：TP391? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）30-0130-02

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

1 引言

傅里葉變換理論誕生于十九世紀(jì)初，其經(jīng)歷了約200余年的發(fā)展歷程而日臻完善，并與由其衍生出的眾多分支理論一同構(gòu)成了完整的理論體系?，F(xiàn)今，高等學(xué)校理工科許多的專業(yè)課程中都有傅里葉變換理論的身影，其是一些課程不可或缺的理論基礎(chǔ)，是課程體系結(jié)構(gòu)的主要構(gòu)成部分，也是另外一些課程中分析和處理問題的重要工具。因此，傅里葉變換理論的教學(xué)很重要。

由于缺乏諸如數(shù)學(xué)、物理學(xué)和電路理論等必備的基礎(chǔ)知識，傅里葉變換理論對于一部分學(xué)生變得相對深奧，這些學(xué)生面對傅里葉變換理論時無所適從，學(xué)習(xí)的畏難情緒很大。加之傳統(tǒng)的課堂理論教學(xué)模式枯燥呆板，教學(xué)手段單調(diào)乏味，使學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情進(jìn)一步降低[1]。種種不利因素及其產(chǎn)生的負(fù)面影響，使傅里葉變換及其相關(guān)理論的教學(xué)過程難以正常進(jìn)行，難以取得良好的教學(xué)效果。

解決上述問題，可以嘗試從多個方面入手，其中，在課堂教學(xué)過程中輔助以Matlab軟件，就是一個可以選擇的有效途徑，借助于Matlab，使復(fù)雜的理論可視化，變抽象為形象，降低學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)生主動學(xué)習(xí)的熱情，進(jìn)而取得良好的教學(xué)效果。下文，以傅里葉變換的時-頻對稱性的理論教學(xué)為例進(jìn)行說明。

2傅里葉變換及其時-頻對稱性

2.1 傅里葉變換

以下兩個積分變換合稱為傅里葉變換對[2]。

[Fω=F[ft]=-∞∞fte-jωtdt? ? ? ? ? ? ?（1）ft=F-1[F（ω）]=12π-∞∞F（ω）ejωtdω? ? （2）]

式（1）即為傅里葉（正）變換積分表達(dá)式，籍以此式，可求出一個非周期連續(xù)時間信號f（t）所對應(yīng)的頻譜（密度函數(shù)）[F（ω）];而式（2）稱為傅里葉反變換，其物理意義非常清楚，說明信號f（t）由眾多的各種不同角頻率的虛指數(shù)諧波分量[12πF（ω）ejωt]疊加構(gòu)成，這正是傅里葉變換及系統(tǒng)頻域分析等相關(guān)理論的基本出發(fā)點。信號f（t）與其頻譜[F（ω）]的對應(yīng)關(guān)系也可以簡單的描述為[f（t）?F（ω）]。

2.2傅里葉變換的時-頻對稱性

傅里葉變換擁有眾多的性質(zhì)，借助這些性質(zhì)，可以使傅里葉變換理論的應(yīng)用更加靈活方便，時-頻對稱性就是其中之一，其可表述為[3]：

若[f（t）?F（ω）]，則

[Ft?2πf-ω? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3]

這表明，信號的時域變化與其頻譜特性之間存在著一定的對稱性，若時間信號f（t）的頻譜為[F（ω）]，則波形形狀為[Ft=F（ω）|ω=t]的時域信號的傅里葉變換即F（t）所對應(yīng)的頻譜為[2πf-ω=2πf（t）|t=-ω]。

特別地，若f（t）為偶函數(shù)，則有

[Ft?2πfω? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）]

3傅里葉變換時-頻對稱性的可視化

3.1 相關(guān)時間信號和頻譜

在許多教科書或參考資料中，或者在教學(xué)過程進(jìn)行的課堂上，常以門函數(shù)[gτ（t）]和降正弦函數(shù)[Sa（t）]以及它們所對應(yīng)的頻譜為例討論傅里葉變換的時-頻對稱性。

門函數(shù)[gτ（t）]定義為以時刻t=0為對稱中心的幅度為1，寬度為[τ]的單個矩形脈沖，根據(jù)式（1）對其進(jìn)行傅里葉變換，可得[Fgτt=-∞∞gτte-jωtdt=τSa（τ2ω）]，此頻譜為一個對稱中心頻率[（ω=0）]處幅度為[τ]的降正弦函數(shù)。即有以下傅里葉變換對。

[gτt?τSaτ2ω? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）]

以式（5）為前提，依托時-頻對稱性，可得對應(yīng)的另一傅里葉變換對。

[τSaτ2t?2πg(shù)τω? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）]

取[τ=4]，依次將式（5）、式（6）實例化，即若有

[g4t?4Sa2ω? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）]

則? ? ? ? ? ? ? ?[4Sa2t?2πg(shù)4ω? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）]

3.2時-頻對稱性可視化的實現(xiàn)

在前述討論的基礎(chǔ)上，編制本文3.3部分給出的Matlab程序。需要特別說明的是，程序中通過組合調(diào)用Matlab的Symbolic Math Toolbox中的Heaviside函數(shù)對相關(guān)的門函數(shù)進(jìn)行描述[4]，而降正弦函數(shù)則是借助于Signal Processing Toolbox中的sinc函數(shù)得以實現(xiàn)的。

如圖1所示，通過程序代碼的順序執(zhí)行，在圖形窗口中從上到下依次將[g4t]、[4Sa2ω]、[4Sa2t]和[2πg(shù)4ω]等時間信號波形或頻譜圖形分別繪制的（a）、（b）、（c）和（d）四個子圖中。利用子圖（a）和（b）給出式（7）傅里葉變換對的圖示，而式（8）傅里葉變換對則圖示在子圖（c）和（d）中。

觀察各個子圖可以很容易得到“時域的門函數(shù)對應(yīng)頻域的降正弦函數(shù)，而時域的降正弦函數(shù)則對應(yīng)頻域的門函數(shù)”的結(jié)論，時間信號和對應(yīng)頻譜的諸如脈沖寬度、幅度及過零點坐標(biāo)等參數(shù)也一目了然。前述[g4t?4Sa2ω]和[4Sa2t?2πg(shù)4ω]兩個傅里葉變換對實例在傅里葉變換時-頻對稱性意義下的邏輯對應(yīng)關(guān)系通過這種方法得到了形象直觀的可視化。

3.3 程序代碼

subplot（411）;? %繪制g4（t）時域波形

t1=-4：0.001：4;

g4_t=Heaviside（t1+2）-Heaviside（t1-2）;

plot（t1，g4_t，'linewidth'，1.5）;hold on;

plot（[-2 -2]，[0 1]，'linewidth'，1.5）;

plot（[2 2]，[0 1]，'linewidth'，1.5）;

xlabel（'＼itt? ＼rm秒'）;ylabel（'（a）? g_4（t）'）;

axis（[-4 4 0 1.1]）;

subplot（412）; %繪制4Sa（2w）頻譜圖形

w1=-4*pi：0.001：4*pi;

Sa_2w_Mul_4=sinc（2.*w1/pi）.*4;

plot（w1，Sa_2w_Mul_4，'linewidth'，1.5）;

xlabel（'＼it＼omega? ＼rm弧度/秒'）;ylabel（'（b）? 4S_a（2＼omega）'）;

axis（[-10 10 -1 4.3]）;

subplot（413）; %繪制4Sa（2t）時域波形

t2=-5.*pi：0.001：5.*pi;

Sa_2t_Mul_4=sinc（2.*t2/pi）.*4;

plot（t2，Sa_2t_Mul_4，'linewidth'，1.5）;

xlabel（'＼itt? ＼rm秒'）;ylabel（'（c）? 4S_a（2t）'）;

axis（[-10 10 -1 4.3]）;

subplot（414）; %繪制2*pi*g4（w）頻譜圖形

w2=-4：0.001：4;

g4_w_Mul_2pi=[Heaviside（w2+2）-Heaviside（w2-2）].*2.*pi;

plot（w2，g4_w_Mul_2pi，'linewidth'，1.5）;hold on;

plot（[-2 -2]，[0 2.*pi]，'linewidth'，1.5）;

plot（[2 2]，[0 2.*pi]，'linewidth'，1.5）;

xlabel（'＼it＼omega? ＼rm弧度/秒'）;ylabel（'（d）? 2＼pig_4（＼omega）'）;

axis（[-4 4 0 7]）;

4結(jié)束語

以上，借助于一個實例描述了將傅里葉變換時-頻對稱性可視化的過程，這只是一個初步探索。實際上，功能強(qiáng)大的Matlab在輔助教學(xué)領(lǐng)域有著更廣闊的應(yīng)用空間，可以將Matlab可視化手段應(yīng)用到更多課程理論的教學(xué)過程。

為進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)理論知識的積極性，可以讓學(xué)生參與到可視化程序的設(shè)計過程中去，這亦有助于學(xué)生對理論本身的理解和掌握，進(jìn)一步獲得更好的輔助教學(xué)效果，使理論教學(xué)過程順利進(jìn)行。

參考文獻(xiàn)：

[1] 侯大有.基于MATLAB的《信號與系統(tǒng)》課程教學(xué)研究[J].電腦知識與技術(shù)，2018（2）：89-91.

[2] 馬金龍.信號與系統(tǒng)[M].北京：科學(xué)出版社，2010：129.

[3] 燕慶明.信號與系統(tǒng)教程[M].北京：高等教育出版社，2013：111.

[4] 梁虹.信號與線性系統(tǒng)分析[M].北京：高等教育出版社，2006：226.

【通聯(lián)編輯：王力】