王倩 李瑩 劉金英

摘? 要：圓是平面幾何中的基本圖形之一，是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個曲線形圖形，它在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位. 圓的許多性質(zhì)都是通過與圓有關(guān)的線段和角等直線形圖形體現(xiàn)的，這也是學(xué)生在初中階段研究的重點(diǎn)內(nèi)容. 為此，在“與圓有關(guān)的角的計算”專題復(fù)習(xí)課中，教師可以通過“形異質(zhì)同”的變式題引導(dǎo)學(xué)生把握問題本質(zhì)，并養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.

關(guān)鍵詞：與圓有關(guān)的角;解題策略;思維習(xí)慣

思維習(xí)慣就是人類使用大腦的習(xí)慣，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣可以讓我們更好地適應(yīng)瞬息萬變的生活. 學(xué)生良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成則需要教師在日常教學(xué)中加以培養(yǎng). 圓是平面幾何中的基本圖形之一，是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個曲線形圖形，在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位. 本文結(jié)合“與圓有關(guān)的角的計算”專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計與反思，意在更具針對性地幫助學(xué)生把握問題的實(shí)質(zhì)，通過“形異質(zhì)同”的變式題目，歸納解決此類問題的策略，并讓學(xué)生深刻體會其中蘊(yùn)涵的轉(zhuǎn)化思想，以有利于學(xué)生良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

圓周角定理與推論和圓的切線的性質(zhì)定理專題復(fù)習(xí).

2. 內(nèi)容解析

本節(jié)課是九年級下學(xué)期的中考復(fù)習(xí)課，是在學(xué)生已經(jīng)復(fù)習(xí)了圓的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，以“與圓有關(guān)的角的計算”為專題開展的復(fù)習(xí)課，是對圓這一曲線形圖形與直線形圖形各元素之間關(guān)系的再認(rèn)識. 在復(fù)習(xí)圓的相關(guān)內(nèi)容前，學(xué)生已經(jīng)復(fù)習(xí)了三角形、四邊形等平面幾何的相關(guān)知識，為研究圓這一種特殊的曲線形圖形提供了知識基礎(chǔ)，以及研究的方法和思路. 由直線到曲線，是學(xué)生在認(rèn)知上的一個飛躍，而直線與曲線的組合更是學(xué)生對于幾何學(xué)習(xí)的升華，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的基礎(chǔ)，對學(xué)生未來的發(fā)展至關(guān)重要.

圓周角定理與推論和圓的切線的性質(zhì)定理是圓的重點(diǎn)內(nèi)容. 復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容不是簡單的重復(fù)，而是對這些知識的再認(rèn)識. 同時，要通過復(fù)習(xí)圓的相關(guān)知識，揭示圓與三角形等知識之間的聯(lián)系. 上節(jié)課以“垂徑定理”為專題，應(yīng)用圓的知識解決了有關(guān)圓的計算問題;本節(jié)課以“與圓有關(guān)的角的計算”為專題，綜合應(yīng)用圓的知識解決與圓有關(guān)的角的計算問題，并引導(dǎo)學(xué)生用符號語言表示圓周角定理與推論、圓的切線的性質(zhì)定理，深刻認(rèn)識圖形各元素之間的關(guān)系，體會知識之間的聯(lián)系，為與圓有關(guān)的角的計算提供解題策略，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：與圓有關(guān)的角的計算.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

（1）會用圓周角定理及其推論、圓的切線的性質(zhì)定理等知識解決與圓有關(guān)的角的計算問題.

（2）在解決問題的過程中進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化的思想方法.

（3）在解決問題的過程中進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力.

2. 目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：學(xué)生熟記圓周角定理及其推論、圓的切線的性質(zhì)定理，并會運(yùn)用相關(guān)定理解決與圓有關(guān)的角的計算問題.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：學(xué)生能夠在具體問題情境中，學(xué)會把未知化為已知，把復(fù)雜化為簡單，把一般化為特殊，能夠運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想方法分析和解決圓中求角的問題.

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：學(xué)生在解決與圓有關(guān)的角的計算問題的過程中，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)語言清晰、有條理地表述解題過程;恰當(dāng)?shù)靥砑虞o助線，使未知與已知產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，并能歸納幾種常見的關(guān)聯(lián)角的類型，形成解題策略.

三、教學(xué)問題診斷分析

在解決與圓有關(guān)的角的計算問題時，需要根據(jù)不同的問題情境，利用最近聯(lián)想和合情推理，在圓中做有關(guān)聯(lián)的角的轉(zhuǎn)移，最終達(dá)成用演繹推理得出結(jié)果的目的. 學(xué)生在演繹推理方面的欠缺體現(xiàn)為：不能很好地將圓的知識與其他知識相關(guān)聯(lián)，在解決計算角度的問題時，往往找不到與所求角有關(guān)聯(lián)的角，導(dǎo)致思考問題時思路欠佳;在表述解題思路的過程中，不易做到清晰、有條理. 因此，在復(fù)習(xí)過程中，教師可以利用“形異質(zhì)同”的變式題目來幫助學(xué)生把握問題的本質(zhì)，通過問題解決引導(dǎo)學(xué)生歸納出常見關(guān)聯(lián)角的幾種類型，讓學(xué)生在解決同類問題時有切入點(diǎn)，同時發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性和靈活性.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：綜合應(yīng)用圓、三角形等知識解決圓中角的有關(guān)計算問題.

四、教學(xué)支持條件分析

根據(jù)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，為了更加直觀、形象地突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，借助希沃白板軟件制作課件并進(jìn)行課堂授課，以便更好地為課堂教學(xué)服務(wù). 例如，在制作課件過程中，教師將所需圖形復(fù)制多個，在有需要時及時提取，便于學(xué)生進(jìn)行多種解法的展示;教師借助希沃白板軟件中的“數(shù)學(xué)畫板”功能制作圖形的動態(tài)變化過程，讓學(xué)生在變化的過程中感知不變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系;在授課過程中，借助希沃白板軟件的“放大鏡”功能，幫助學(xué)生快速捕捉到圖形載體中的細(xì)節(jié).

教師利用手機(jī)拍照學(xué)生的練習(xí)解答，上傳反饋、及時糾錯;多屏展示學(xué)生解答，對不同的解題思路和方法進(jìn)行比較、討論，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)推理的興趣.

五、教學(xué)過程設(shè)計

1. 基礎(chǔ)熱身

問題1：解決下述例題，并說出都用到了圓的哪些知識.

例? 如圖1，已知AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，∠ABC = 50°，則∠CDB的度數(shù)為? ? ? .

思路1：如圖2，連接AC. 由“同弧所對的圓周角相等”，得∠CDB = ∠CAB. 由AB是⊙O的直徑，得∠ACB = 90°. 所以∠CAB + ∠ABC = 90°，即∠CAB = 90° -∠ABC = 40°. 所以∠CDB = 40°. 運(yùn)用了圓周角定理的推論1和推論2.

思路2：如圖3，連接OC. 由“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”，得[∠CDB=12∠COB.]由OB = OC，得∠OCB = ∠OBC = 50°. 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠COB = 80°，所以∠CDB = 40°. 運(yùn)用了圓周角定理.

思路3：如圖4，連接AD. 由AB是⊙O的直徑，得∠ADB = 90°. 所以∠CDB + ∠ADC = 90°. 由“同弧所對的圓周角相等”，得∠ADC = ∠ABC = 50°. 所以∠CDB = 40°. 運(yùn)用了圓周角定理的推論1和推論2.

師生活動：學(xué)生獨(dú)立完成后，上臺展示解題方法，并說出在解決問題過程中運(yùn)用到的與圓相關(guān)的知識點(diǎn). 教師和其他學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)評、補(bǔ)充，注重讓學(xué)生在解決問題的過程中養(yǎng)成在圖形上進(jìn)行標(biāo)注的習(xí)慣，有意識地讓學(xué)生感受到基礎(chǔ)知識和基本技能是思維發(fā)展的重要基礎(chǔ).

【設(shè)計意圖】為了幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，分析三種解題思路雖然不一樣，但實(shí)則都是通過添加輔助線構(gòu)造了∠CDB的關(guān)聯(lián)角，進(jìn)而求解. 總結(jié)常見的關(guān)聯(lián)角類型：等角型、倍分型、互余型、和差型. 同時，歸納梳理解決此類問題的三個基本步驟：一標(biāo)、二找、三作答，為接下來解決問題提供思路.

追問：你知道圓周角定理、圓周角定理的推論1和推論2的具體內(nèi)容嗎？怎樣用符號語言表示？

師生活動：學(xué)生獨(dú)立填寫下表并進(jìn)行展示，教師和其他學(xué)生點(diǎn)評、補(bǔ)充.

【設(shè)計意圖】通過回顧圓周角定理及其推論，鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識及對基本圖形的認(rèn)識，規(guī)范學(xué)生的書寫格式.

2. 例題精講

問題2：在例題的圖形基礎(chǔ)上，過點(diǎn)A作⊙O的切線與BC延長線交于點(diǎn)T，如圖5所示. 將題干中的已知條件稍微改變后，就是天津市2017年中考第21題第（1）小題，大家試著做一做.

變式1：（2017年天津卷第21題第（1）小題）已知AB是⊙O的直徑，AT是⊙O的切線，∠ABT = 50°，BT交⊙O于點(diǎn)C，E是AB上一點(diǎn)，延長CE交⊙O于點(diǎn)D. 如圖6. 求∠T和∠CDB的大小.

師生活動：由學(xué)生獨(dú)立完成∠T和∠CDB的求解，兩名學(xué)生在黑板上板書解題過程. 教師巡視并進(jìn)行指導(dǎo)，在學(xué)生完成解題后，教師和學(xué)生對黑板上的學(xué)生解題過程進(jìn)行點(diǎn)評. 為了幫助學(xué)生有邏輯地思考，養(yǎng)成系統(tǒng)解決此類問題的思維習(xí)慣，教師可追問以下問題.

追問1：通過讀題我們可以在圖形中標(biāo)注哪些信息？

追問2：你找到要求解的角的關(guān)聯(lián)角了嗎？

追問3：對比例題，你在這道題目的求解過程中還用到了哪些與圓相關(guān)的知識？

問題3：變式1中提到“E是AB上一點(diǎn)，延長CE交⊙O于點(diǎn)D”，大家思考，當(dāng)點(diǎn)E的位置發(fā)生改變時，哪個點(diǎn)的位置也隨之發(fā)生改變？

在變式1中，當(dāng)點(diǎn)E沿著BA的方向向下運(yùn)動，直到BE = BC時，去掉線段BD，連接OD，如圖7所示. 求∠CDO]的大小.

變式2：（2017年天津卷第21題第（2）小題）已知AB是⊙O的直徑，AT是⊙O的切線，∠ABT = 50°，BT交⊙O于點(diǎn)C，E是AB上一點(diǎn)，延長CE交⊙O于點(diǎn)D. 如圖8，當(dāng)[BE=BC]時，求∠CDO]的大小.

師生活動：通過動畫展示，讓學(xué)生感悟到變式2是如何從變式1過渡而來，再讓學(xué)生根據(jù)由變式1總結(jié)的分析方法進(jìn)行變式2的解答. 學(xué)生在黑板上板書，并進(jìn)行不同解法的講解，教師總結(jié)、歸納.

【設(shè)計意圖】變式2的難度有所提升，重在培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成系統(tǒng)解決此類問題的思維習(xí)慣. 讓學(xué)生進(jìn)行多種解法的展示，體現(xiàn)了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體. 通過展示交流，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力. 同時，培養(yǎng)了學(xué)生舉一反三和把握問題實(shí)質(zhì)的能力及推理能力，使學(xué)生學(xué)會了綜合應(yīng)用所學(xué)知識解題的策略. 最終，通過對不同解法的探討，師生共同發(fā)現(xiàn)解決此類問題的本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化.

3. 達(dá)標(biāo)測評

題目 （2020年天津卷）在⊙O中，弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)P，∠ABC = 63°.

（1）如圖9，若∠APC = 100°，求∠BAD和∠CDB的大小;

（2）如圖10，若CD⊥AB，過點(diǎn)D作⊙O的切線，與AB的延長線相交于點(diǎn)E，求∠E的大小.

師生活動：學(xué)生獨(dú)立解題，教師批閱組長的答案，然后由組長在組內(nèi)進(jìn)行批閱，教師將學(xué)生的解答情況投屏展示.

【設(shè)計意圖】選擇此題作為本節(jié)課的檢測題，是因為其第（2）小題也可以看成是由第（1）小題改變了∠APC的度數(shù)變式而來，讓學(xué)生體會到題目雖然發(fā)生了改變，但是思考問題的方向及解決問題的策略仍然是相同的，即通過尋找關(guān)聯(lián)角，建立已知和未知之間的聯(lián)系. 考查學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識與方法解決問題的能力，幫助學(xué)生跳出題海，感受養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣的重要性.

4. 反思提升

師生活動：通過對一題多解及變式的簡單探究，歸納多法歸一，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納與圓有關(guān)的角的計算問題的基本方法和解題策略，特別是建立已知與未知之間關(guān)聯(lián)過程中常見的四種關(guān)聯(lián)角類型.

【設(shè)計意圖】通過梳理解決此類問題的基本方法和解題策略，讓學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化思想在其中所起到的重要作用，將思維習(xí)慣的培養(yǎng)放在首位. 幫助學(xué)生認(rèn)識到在變化的過程中，只有把握好其中不變的本質(zhì)，以不變應(yīng)萬變，處理好已知與未知的關(guān)聯(lián)，才能更好地解決問題.

六、目標(biāo)檢測設(shè)計

1. 如圖11，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，若∠CAB = 55°，則∠ADC的度數(shù)為____.

【設(shè)計意圖】考查圓周角定理及其推論.

2. 如圖12，在⊙O中，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，BC經(jīng)過圓心，若∠B = 35°，則∠C的度數(shù)為____.

【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對通過添加輔助線尋找關(guān)聯(lián)角的掌握情況.

3. 如圖13，BE是⊙O的直徑，點(diǎn)A和點(diǎn)D是⊙O上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O的切線交BE的延長線于點(diǎn)C，若∠ADE = 25°，則∠C的度數(shù)為____.

【設(shè)計意圖】考查學(xué)生在復(fù)雜的圖形中，運(yùn)用圓中與角有關(guān)的定理和推論建立已知與未知之間關(guān)聯(lián)的能力.

七、教學(xué)反思

1. 注重知識間的內(nèi)在聯(lián)系，奠定思維發(fā)展的基礎(chǔ)

“與圓有關(guān)的角的計算”是直線與曲線的組合，是學(xué)生對幾何學(xué)習(xí)的升華. 然而，正所謂方圓縱橫，不變其宗. 抓住基本圖形及其本質(zhì)屬性是解決問題的關(guān)鍵. 例如，在基礎(chǔ)熱身環(huán)節(jié)，學(xué)生很快想到了思路1和思路2，這兩種思路實(shí)際上可以歸納為一種，都是將∠CDB作為圓中[BC]所對的圓周角去尋找它的關(guān)聯(lián)角. 對此，教師應(yīng)當(dāng)做好引導(dǎo)，能否立足于∠CDB本身，通過添加輔助線構(gòu)造角的和差關(guān)系來求∠CDB呢？這樣的引導(dǎo)，將思考的方向直接指向了問題的核心，既立足于這個角本身的屬性，又將其納入圓相關(guān)角之間的聯(lián)系之中，很好地優(yōu)化了解題方案.

2. 強(qiáng)化學(xué)生的主體地位，創(chuàng)設(shè)思維發(fā)展的情境

（1）問題引導(dǎo)的具體化，促進(jìn)學(xué)生的有效思考.

教師的有效提問能夠促進(jìn)學(xué)生的積極思考和思維的發(fā)展. 例如，在變式1的探究過程中，教師追問“通過讀題我們可以在圖形中標(biāo)注哪些信息？”“你找到要求解的角的關(guān)聯(lián)角了嗎？”營造了濃濃的課堂氛圍，幫助學(xué)生具體關(guān)注到思考的重點(diǎn)和關(guān)鍵，有益于學(xué)生展開有效的思考.

（2）學(xué)習(xí)內(nèi)容的層次化，適應(yīng)學(xué)生的個性需求.

數(shù)學(xué)課程的核心理念是“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”. 因此，本節(jié)課的研究內(nèi)容在安排上由易到難，從簡單的數(shù)學(xué)問題入手，留給學(xué)生足夠的思考空間，并且鼓勵學(xué)生從多角度思考問題，由淺入深、逐層遞進(jìn)，使學(xué)生通過學(xué)習(xí)各有所得.

（3）學(xué)習(xí)方式的多樣化，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位.

本節(jié)課屬于習(xí)題類的復(fù)習(xí)課，通過讓學(xué)生說方法、講思路、板演、糾錯，并采用組內(nèi)互判等方式，充分體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體地位，這樣的過程也是學(xué)生思維發(fā)展、個性成長與共同發(fā)展統(tǒng)一的過程.

3. 重視教學(xué)的呈現(xiàn)過程，關(guān)注思維習(xí)慣的養(yǎng)成

學(xué)生良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成，需要在課堂教學(xué)中完成. 本節(jié)課圍繞同類問題展開變式，逐級呈現(xiàn)，就是要幫助學(xué)生在紛繁復(fù)雜、不斷變化的問題中尋找不變的元素，抓住問題的核心，通過總結(jié)與歸納，由淺入深、由低級到高級地對問題進(jìn)行認(rèn)識與思考，從而使學(xué)生達(dá)到“會一題，通一類”的效果.

同時，本節(jié)課課件的設(shè)計與呈現(xiàn)，充分體現(xiàn)了教學(xué)資源的輔助功能. 教師借助希沃白板軟件中的“數(shù)學(xué)畫板”功能，展示圖形的動態(tài)變化過程，通過讓圖形動起來，幫助學(xué)生感知圖形中不變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，激發(fā)學(xué)生探索圖形變化的興趣，為促進(jìn)學(xué)生形成良好的思維序列搭建了優(yōu)質(zhì)的平臺.

4. 彰顯課程的育人價值，形成思維發(fā)展的格局

雖然現(xiàn)階段學(xué)生解決此類問題的方式、方法不具有社會價值，但本節(jié)課中所蘊(yùn)含的思考問題的習(xí)慣和解決問題的方法，對學(xué)生今后面對新的問題情境具有特別重要的遷移和借鑒意義，這也正是課堂教學(xué)所要積極倡導(dǎo)的育人的價值. 例如，添加同一條輔助線卻有不同解法，讓學(xué)生體會到對于同一件事情，觀察和思考的角度不同，就會打開不一樣的世界. 在針對不同解法進(jìn)行講解時，強(qiáng)調(diào)沒有規(guī)矩不成方圓，教材中的定理就是“規(guī)矩”，在解題過程中，要做到有理可依，遵守教材中的“規(guī)矩”;在生活中，要遵守法律法規(guī)，做一個對社會、對國家有用的人. 因此，深刻挖掘數(shù)學(xué)課程中的育人價值，促使學(xué)生形成思維發(fā)展的格局，是本節(jié)課重要的“隱形”教學(xué)目標(biāo).

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生領(lǐng)悟解決問題的思想和方法，在變化的題目、變化的圖形中總結(jié)、歸納解題策略，讓學(xué)生學(xué)以致用，把解決問題的思路和方法運(yùn)用到生活、生產(chǎn)問題的解決過程中，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)立德樹人的根本目標(biāo);幫助學(xué)生將對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)樯畹闹腔?，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，“圓”來如此美好.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]劉金英. 聚焦核心? 行穩(wěn)致遠(yuǎn)：2020年中考“圖形的性質(zhì)”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2021（1 / 2）：57-66.

[3]周嬋娟. 習(xí)題講評如何講出新意、評出深度：以一元一次方程的習(xí)題講評為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2019（2）：12-13.

[4]張長新. 九年級數(shù)學(xué)中關(guān)于“圓”的解題策略教學(xué)[J]. 科學(xué)咨詢（教育科研），2020（8）：279.

[5]薛春燕. 一題多解“再歸一”，教學(xué)設(shè)計“重變式”：以F市一道九年級圓的綜合題研習(xí)為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2019（4）：56-57.