傅蘭英

摘? 要：學(xué)習(xí)并不是對(duì)所學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)單識(shí)別和記憶的過(guò)程，而是通過(guò)與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的比較、分析、判斷，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程. 數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是學(xué)生在教師的幫助與引導(dǎo)下主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過(guò)程.

關(guān)鍵詞：平方差公式;結(jié)構(gòu)化教學(xué);認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是人類歷史的積淀，是人類在實(shí)踐中認(rèn)識(shí)圖形和數(shù)量時(shí)所積累的成果，是數(shù)量關(guān)系、空間形式，以及它們之間的關(guān)系所形成的結(jié)構(gòu)體系. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生理解知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)是很重要的. 因此，通過(guò)結(jié)構(gòu)化教學(xué)幫助學(xué)生建立有關(guān)聯(lián)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是一種較好的教學(xué)方式.

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)分析

1. 總體分析

“平方差公式”一課是浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)“3.4 乘法公式”第1課時(shí)的內(nèi)容. 平方差公式是初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個(gè)乘法公式，它從多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則出發(fā)，引入特殊的多項(xiàng)式乘法，是從一般到特殊的范例，對(duì)后續(xù)研究完全平方公式，立方和、立方差公式等乘法公式起到了引領(lǐng)作用.

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)、整式的加減、單項(xiàng)式的乘法、多項(xiàng)式的乘法后學(xué)習(xí)的內(nèi)容，它同時(shí)又是學(xué)習(xí)因式分解的重要基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中關(guān)于平方差公式的表述為：能推導(dǎo)乘法公式[a+ba-b=][a2-b2，] 并能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算. 在教學(xué)過(guò)程中，教師要讓學(xué)生通過(guò)觀察和歸納體會(huì)模型思想、建立符號(hào)意識(shí)，由此制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

2. 知識(shí)分析

教學(xué)中要呈現(xiàn)公式學(xué)習(xí)的一般過(guò)程，即與概念教學(xué)類似，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷引入、本質(zhì)特征概括、給出公式、辨析公式、應(yīng)用公式等過(guò)程. 在得出公式的過(guò)程中，利用了從一般到特殊的歸納思想. 另外，《標(biāo)準(zhǔn)》指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力. 基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：推導(dǎo)和運(yùn)用平方差公式.

二、認(rèn)知結(jié)構(gòu)分析

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是人們?cè)趯?duì)數(shù)學(xué)對(duì)象和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行感知和理解的基礎(chǔ)上形成的一種心理結(jié)構(gòu)，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，感知、記憶、理解數(shù)形關(guān)系的一般方式，是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中形成的一種認(rèn)知模式和思維模式，這種認(rèn)知模式是學(xué)生個(gè)體認(rèn)知活動(dòng)的成果，也就是學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu). 學(xué)習(xí)過(guò)程并不是簡(jiǎn)單地對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行識(shí)別和記憶的過(guò)程，而是在學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系中的相關(guān)知識(shí)與新知識(shí)的相互作用下，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系的過(guò)程. 數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是學(xué)生在教師的幫助與引導(dǎo)下，主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，提升自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過(guò)程.

1. 預(yù)備基礎(chǔ)

在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)有了整式的加減、單項(xiàng)式的乘法、多項(xiàng)式的乘法等數(shù)式運(yùn)算基礎(chǔ)，已經(jīng)經(jīng)歷了從加法到乘法，從乘法到乘方等從一般到特殊的認(rèn)知過(guò)程，初步體會(huì)了特殊化的數(shù)學(xué)研究能夠豐富數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展.

2. 認(rèn)知起點(diǎn)

七年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了冪的運(yùn)算、單項(xiàng)式的乘法和多項(xiàng)式的乘法，對(duì)于一般的多項(xiàng)式乘法，學(xué)生已經(jīng)形成了固定的運(yùn)算方法. 在此基礎(chǔ)上，學(xué)生還欠缺何時(shí)需要進(jìn)行特殊化研究，以及如何進(jìn)行特殊化研究的經(jīng)驗(yàn).

3. 認(rèn)知特征

平方差公式是具有特殊結(jié)構(gòu)的多項(xiàng)式乘法，從多項(xiàng)式乘法直接得到結(jié)果，進(jìn)行步驟化運(yùn)算，不經(jīng)歷推導(dǎo)過(guò)程，使學(xué)生有一個(gè)認(rèn)識(shí)和熟練的過(guò)程. 平方差公式是二次抽象的結(jié)果，學(xué)生對(duì)公式中字母的具體意義的理解需要一個(gè)認(rèn)識(shí)過(guò)程. 對(duì)于特征不明顯的問(wèn)題，學(xué)生很難靈活運(yùn)用公式. 由此確定本節(jié)課的難點(diǎn)為：對(duì)平方差公式的“結(jié)構(gòu)”和“=”的再認(rèn)識(shí).

三、目標(biāo)和目標(biāo)分析

1. 目標(biāo)

（1）經(jīng)歷公式的形成過(guò)程，能推導(dǎo)平方差公式.

（2）理解公式的結(jié)構(gòu)特征，會(huì)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.

（3）會(huì)靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，體會(huì)不同方向的代數(shù)式的計(jì)算過(guò)程.

2. 目標(biāo)分析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：學(xué)生能闡述特殊化的平方差公式和多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則之間的關(guān)聯(lián). 能用代數(shù)法推導(dǎo)平方差公式.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：學(xué)生能識(shí)別平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能辨別兩個(gè)多項(xiàng)式相乘能否利用平方差公式，能按照步驟運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：學(xué)生能根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)較復(fù)雜的乘法運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算.

四、基于結(jié)構(gòu)的教學(xué)主線設(shè)計(jì)

1. 推導(dǎo)公式

問(wèn)題1：上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，你能說(shuō)說(shuō)它的運(yùn)算法則嗎？它的運(yùn)算依據(jù)是什么？

練習(xí)1：利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，計(jì)算下列各題.

（1）（a+2）（a-2）;（2）（b+m）（b-m）.

師生活動(dòng)：回顧多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，并完成相關(guān)運(yùn)算.

【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生的思維最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，讓學(xué)生再次經(jīng)歷從掌握法則到運(yùn)用法則的過(guò)程，復(fù)習(xí)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則的學(xué)習(xí)過(guò)程，強(qiáng)化利用運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算的意識(shí).

問(wèn)題2：與（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd相比，觀察練習(xí)1中的2道小題有什么共性？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過(guò)三次有目的的觀察（① 初步觀察等號(hào)的兩邊;② 進(jìn)一步觀察計(jì)算過(guò)程;③ 重點(diǎn)觀察等號(hào)兩邊式子的結(jié)構(gòu)特征），發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的共性，體會(huì)從一般到特殊的探究過(guò)程，幫助學(xué)生掌握有序、理性的觀察方法，歸納研究問(wèn)題的特征，完成對(duì)平方差公式的第一次抽象.

追問(wèn)：你能寫(xiě)出與上述運(yùn)算形式相同的多項(xiàng)式乘法算式嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生在白板貼上寫(xiě)例子，教師選擇一部分展示在黑板上.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生大量舉例，為后續(xù)歸納一般性結(jié)論積累素材.

問(wèn)題3：能否用一般化的式子（符號(hào)語(yǔ)言）來(lái)表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師板書(shū)公式[（a+b）（a-b）=a2-b2.

追問(wèn)1：這只是我們通過(guò)大量例子得到的猜想，猜想一定是正確的嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則對(duì)猜想進(jìn)行證明. 教師總結(jié)，給出公式名稱，并寫(xiě)出課題——平方差公式.

追問(wèn)2：能用文字語(yǔ)言表述平方差公式嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生利用文字語(yǔ)言口述平方差公式，教師給予補(bǔ)充、完善.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言歸納發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，輔以文字語(yǔ)言表述，完善學(xué)生的認(rèn)知. 幫助學(xué)生加深對(duì)公式的理解，完成對(duì)公式的第二次抽象. 讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—發(fā)現(xiàn)—猜想—?dú)w納”的過(guò)程，通過(guò)歸納獲得新知——平方差公式，以及其中蘊(yùn)涵的推理思想. 這一過(guò)程符合學(xué)生的認(rèn)知邏輯，符合代數(shù)教學(xué)的一般規(guī)律. 有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力. 同時(shí)，也有利于訓(xùn)練學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力.

追問(wèn)3：我們?cè)賮?lái)觀察，從多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，到平方差公式，我們做了哪些處理？

師生活動(dòng)：學(xué)生觀察后回答，是讓法則中的c=a，d=-b?教師總結(jié)，如果我們把多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘看作是一般的多項(xiàng)式乘法，那么平方差公式就是其中的一種特殊情況.

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生獲得公式后，教師再次啟發(fā)學(xué)生從項(xiàng)之間的特殊關(guān)系出發(fā)，找到平方差公式與多項(xiàng)式乘法之間的聯(lián)系. 讓學(xué)生從上下位關(guān)系來(lái)分析公式的形成過(guò)程，理解從一般到特殊的研究方法. 從兩個(gè)方向完成了平方差公式的推導(dǎo)，突破了本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)之一.

追問(wèn)4：學(xué)習(xí)平方差公式有哪些作用？

師生活動(dòng)：師生共同得出，當(dāng)遇到符合平方差公式形式的多項(xiàng)式乘法時(shí)，可以直接運(yùn)用平方差公式寫(xiě)出結(jié)果，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.

【設(shè)計(jì)意圖】明確了為什么要研究平方差公式，讓學(xué)生體會(huì)研究特例的意義.

2. 辨析公式

練習(xí)2：判斷x+y與下列式子相乘能否運(yùn)用平方差公式計(jì)算.

（1）-y+x;（2）-x+y;（3）-x-y

問(wèn)題4：能運(yùn)用平方差公式計(jì)算（x+y）（-x-y）嗎？

師生活動(dòng)：采用學(xué)生回答，教師板書(shū)的形式. 在問(wèn)答中幫助學(xué)生辨析平方差公式的結(jié)構(gòu)特征. 第（3）小題通過(guò)反例幫助學(xué)生加深對(duì)平方差公式使用規(guī)則的理解與記憶.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)辨析理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，歸納總結(jié)出運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的基本步驟：① 判斷;② 確定a，b;③ 運(yùn)用公式計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生步驟化解題的意識(shí)，再通過(guò)反例幫助學(xué)生加深對(duì)平方差公式的理解與記憶.

變式：對(duì)（x+y）（-x-y）進(jìn)行適當(dāng)處理，使處理后的式子能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.

師生活動(dòng)：對(duì)反例進(jìn)行處理使之能適用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，并總結(jié)只要符合平方差公式的結(jié)構(gòu)，位置、符號(hào)、系數(shù)和指數(shù)的變化不影響公式的使用，讓學(xué)生明確平方差公式結(jié)構(gòu)的不變性和字母的廣泛性.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從改變符號(hào)、系數(shù)和指數(shù)等角度對(duì)[x+y-x-y]進(jìn)行處理（如圖1），讓學(xué)生體會(huì)平方差公式結(jié)構(gòu)的不變性. 通過(guò)從整體的角度進(jìn)行處理，總結(jié)平方差公式中字母的廣泛性. 讓學(xué)生在活動(dòng)體驗(yàn)中掌握平方差公式的本質(zhì)特征.

練習(xí)3：在“¨”內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使補(bǔ)充后的式子能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考完成.

【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)平方差公式結(jié)構(gòu)的不變性和字母的廣泛性.

練習(xí)4：運(yùn)用平方差公式計(jì)算.

練習(xí)5：先化簡(jiǎn)，再求值.

當(dāng)x=1/4時(shí)，求-（2x+1/2）（2x-1/2）的值.

師生活動(dòng)：給學(xué)生提供充足的時(shí)間，讓學(xué)生在平板上完成練習(xí). 學(xué)生提交后教師進(jìn)行批改，再讓學(xué)生根據(jù)批改進(jìn)行訂正.

【設(shè)計(jì)意圖】利用平方差公式進(jìn)行直接運(yùn)算，再遞進(jìn)到新舊知識(shí)的綜合運(yùn)用，采用“學(xué)生先行、案例呈現(xiàn)、正誤辨析、糾錯(cuò)改錯(cuò)、評(píng)價(jià)反思”五步流程，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解和鞏固平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，準(zhǔn)確運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，提高學(xué)生的運(yùn)算能力.

3. 應(yīng)用公式

練習(xí)6：運(yùn)用平方差公式計(jì)算.

（1）103 × 97;（2）60.2 × 59.8.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，在學(xué)案上完成計(jì)算并進(jìn)行小組交流，最后小組展示，教師對(duì)其進(jìn)行評(píng)析.

【設(shè)計(jì)意圖】題目中的結(jié)構(gòu)特征不明顯，但可以構(gòu)建符合平方差公式的結(jié)構(gòu)，這里把兩數(shù)相乘轉(zhuǎn)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差乘積的形式，建立了數(shù)的運(yùn)算與式的運(yùn)算之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)式通性.

練習(xí)7：運(yùn)用平方差公式計(jì)算.

（1）132 - 122;（2）9992 - 1.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，在學(xué)案上完成計(jì)算并進(jìn)行小組交流，最后小組展示，教師對(duì)其進(jìn)行評(píng)析.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生再次辨別、理解平方差公式的結(jié)構(gòu)，打破思維定勢(shì)，完善學(xué)生對(duì)平方差公式結(jié)構(gòu)的認(rèn)知，以及對(duì)平方差公式中“=”的再認(rèn)識(shí). 同時(shí)為后續(xù)學(xué)習(xí)因式分解奠定基礎(chǔ). 練習(xí)6和練習(xí)7讓學(xué)生體會(huì)到平方差公式的運(yùn)用靈活而多變，通過(guò)構(gòu)造平方差公式結(jié)構(gòu)能夠達(dá)到簡(jiǎn)便運(yùn)算的目的.

練習(xí)8：運(yùn)用平方差公式計(jì)算（2+1）（22+1）（24+1）×（28+1）+1.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后，進(jìn)行小組交流，最后小組展示，各小組補(bǔ)充. 教師為學(xué)生提供必要的幫助.

【設(shè)計(jì)意圖】由于題目中只出現(xiàn)部分平方差公式結(jié)構(gòu)，學(xué)生在求解過(guò)程中會(huì)遇到一些困難，通過(guò)小組合作，進(jìn)行思維的碰撞，發(fā)現(xiàn)通過(guò)添加式子使之具備平方差公式的結(jié)構(gòu)就可以解決問(wèn)題，有效培養(yǎng)了學(xué)生知識(shí)應(yīng)用的能力. 同時(shí)，教師還要強(qiáng)調(diào)，乘以（2-1）的同時(shí)還要除以（2-1），讓學(xué)生明確算理、算法.

4. 梳理創(chuàng)新

采用問(wèn)題串的形式引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行回顧和整理.

（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么公式？怎樣推導(dǎo)得到公式？它與多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則是什么關(guān)系？

（2）為什么要研究平方差公式？如何運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算？

（3）平方差公式的本質(zhì)特征是什么？運(yùn)用平方差公式解決特征不明顯的問(wèn)題時(shí)有哪些方法？

（4）對(duì)平方差公式的學(xué)習(xí)經(jīng)歷了怎么樣的過(guò)程？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題串整理知識(shí)體系，總結(jié)公式學(xué)習(xí)的過(guò)程（掌握公式→運(yùn)用公式），為后續(xù)學(xué)習(xí)完全平方、立方和、立方差等乘法公式提供路徑和方法.

5. 目標(biāo)檢測(cè)

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)電子書(shū)包讓學(xué)生完成課堂檢測(cè)，編制的檢測(cè)題要指向目標(biāo)的落實(shí)和思維的提升. 學(xué)生完成后及時(shí)反饋答題情況，達(dá)到精準(zhǔn)教學(xué)的目的.

五、反思升華

本節(jié)課始終從學(xué)生的認(rèn)知出發(fā)，通過(guò)回顧舊知，讓學(xué)生感受到問(wèn)題的引入是自然而然的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體性. 通過(guò)平方差公式的學(xué)習(xí)教會(huì)學(xué)生特殊形式多項(xiàng)式乘法研究的一般路徑.

1. 研究問(wèn)題的“基本套路”就是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的主線

如圖2，平方差公式其實(shí)是把多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則進(jìn)行特殊化處理獲得的.

2. 形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)

本節(jié)課通過(guò)平方差公式的學(xué)習(xí)教會(huì)學(xué)生特殊形式多項(xiàng)式乘法研究的一般方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)類比、遷移的數(shù)學(xué)思想，為今后的公式學(xué)習(xí)提供了一般觀念的示范引領(lǐng)作用. 教師可以循著上述思路，再提出一些值得研究的問(wèn)題.

例如，從對(duì)多項(xiàng)式乘法特殊化的角度，提出如下值得研究的問(wèn)題.

公式的推廣雖然不是《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，但可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力，為以后的學(xué)習(xí)做好鋪墊. 因此，教師可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推導(dǎo). 同時(shí)，學(xué)科基本結(jié)構(gòu)有利于促進(jìn)學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成. 結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系的建構(gòu)，體現(xiàn)了知識(shí)的連貫性，有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為單元整體教學(xué)奠定基礎(chǔ).

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