■廖慶偉

對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是每年高考的必考內(nèi)容之一,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),難度中等。高考對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查主要有四種命題角度,下面舉例分析。

一、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

例1 函數(shù)f(x)= lgx+log2(5-3x)的定義域是( )。

評(píng)注:求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域應(yīng)遵循的三個(gè)原則:分母不能為0;根指數(shù)為偶數(shù)時(shí),被開(kāi)方數(shù)非負(fù);對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不等于1。

二、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=loga|x|在(-∞,0)上單調(diào)遞增,則f(a+1)與f(2)的大小關(guān)系是( )。

A.f(a+1)>f(2)

B.f(a+1)

C.f(a+1)=f(2)

D.不能確定

由函數(shù)f(x)=loga|x|在(-∞,0)上單調(diào)遞增得0f(2)。應(yīng)選A。

例3 已知函數(shù)y=f(x)是周期為2的奇函數(shù),當(dāng)x∈[2,3)時(shí),f(x)=log2(x-1)?，F(xiàn)給出以下結(jié)論:①函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(k,0)(k∈Z)對(duì)稱;②函數(shù)y=|f(x)|是以2為周期的周期函數(shù);③當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)=-log2(1-x)。

其中正確結(jié)論的序號(hào)是( )。

A.①②③ B.①②

C.②③ D.①③

因?yàn)閒(x)是周期為2的奇函數(shù),又奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,所以函數(shù)y=f(x)的圖像也關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱。當(dāng)x∈[2,3)時(shí),f(x)=log2(x-1),作出函數(shù)f(x)在(1,3)上的圖像,左右平移即得f(x)的圖像,如圖1所示。

由圖可知,f(x)關(guān)于點(diǎn)(k,0)(k∈Z)對(duì)稱,①正確。由y=f(x)的圖像可知其周期為2,由此易知y=|f(x)|的周期也為2,②正確。設(shè)0

評(píng)注:函數(shù)的奇偶性問(wèn)題要在定義域上求解;函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題可以在定義域或定義域的某個(gè)子區(qū)間上求解。

三、比較對(duì)數(shù)值的大小

例4 設(shè)a=60.4,b=log0.40.5,c=log80.4,則a,b,c的大小關(guān)系是____。

利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解。因?yàn)閍=60.4>60=1,0b>c。

評(píng)注:比較對(duì)數(shù)值的大小的三種方法:化為同底數(shù)后,利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較;化為同真數(shù)后,利用圖像進(jìn)行比較;借用中間量(0或1等)進(jìn)行估值比較。

四、解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式

評(píng)注:解對(duì)數(shù)不等式的常用方法:形如logax>logab的 不 等式,借 助y=logax的 單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0b的不等式,先將b化為以a為底的對(duì)數(shù)再求解。